Sách bài tập Toán 8 Bài 7 (Cánh diều): Hình vuông

Admin Vietjack Ngày: 23-09-2024 Lớp 8

2.1 K

Với giải sách bài tập Toán 8 Bài 7: Hình vuông sách Cánh diều hay, chi tiết giúp học sinh dễ dàng xem và so sánh lời giải từ đó biết cách làm bài tập trong SBT Toán 8. Mời các bạn đón xem:

Giải SBT Toán 8 Bài 7: Hình vuông

Giải SBT Toán 8 trang 102

Bài 31 trang 102 SBT Toán 8 Tập 1: Cho hình vuông $A B C D$ có hai đường chéo $A C$ và $B D$ cắt nhau tại $O$ . Trên tia đối của tia $C B$ lấy điểm $K$ sao cho $B C = C K$ . Từ điểm $B$ kẻ đường thẳng song song với $A C$ cắt tia $D C$ tại $E$ . Gọi $F$ là trung điểm của $B E$ .

a) Chứng minh các tứ giác $B O C F$ và $B D K E$ đều là hình vuông.

b) Tứ giác $C D O F$ có thể là hình vuông không? Vì sao?

Lời giải:

Sách bài tập Toán 8 Bài 7 (Cánh diều): Hình vuông (ảnh 1)

a) Tứ giác $A B C D$ là hình vuông suy ra $\hat{A C B} = 45^{\circ}, O B = O C, \hat{B O C} = \hat{D O C} = 90^{\circ}$ .

Ta có: $\hat{B O F} = \hat{D O C}$ (hai góc đồng vị) nên $\hat{O B F} = 90^{\circ}; \hat{C B E} = \hat{A C B}$ (hai góc so le trong) nên $\hat{C B E} = 45^{\circ}$ .

Từ đó ta chứng minh được tam giác $B D E$ vuông cân tại $B$ và tam giác $B C E$ vuông cân tại $C$ . Suy ra $B D = B E$ và $B C = E C$ .

$Δ B C F = Δ E C F$ (c.c.c). Suy ra ta tính được $\hat{B F C} = \hat{E F C} = 90^{\circ}$

Tứ giác $B O C F$ có $\hat{B O C} = \hat{O B F} = \hat{B F C} = 90^{\circ}$ nên $B O C F$ là hình chữ nhật.

Hình chữ nhật $B O C F$ có $O B = O C$ nên $B O C F$ là hình vuông.

Ta có: $B C = C D$ và $B C = C E$ nên $C D = C E$ .

Tứ giác $B D K E$ có hai đường chéo $B K$ và $D E$ cắt nhau tại trung điểm $C$ của mỗi đường nên $B D K E$ là hình bình hành.

Hình bình hành $B D K E$ có $\hat{D B E} = 90^{\circ}$ nên $B D K E$ là hình chữ nhật

Hình chữ nhật $B D K E$ có $B D = B E$ nên $B D K E$ là hình vuông

b) Tứ giác $C D O F$ có $\hat{O D C} = 45^{\circ}$ nên $C D O F$ không thể là hình vuông.

Bài 32 trang 102 SBT Toán 8 Tập 1: Cho hình chữ nhật $A B C D$ có hai cạnh kề không bằng nhau. Tia phân giác của các góc $A$ và $B$ cắt nhau tại $E$ . Tia phân giác của các góc $C$ và $D$ cắt nhau tại $F$ . Gọi $G$ là giao điểm của $A E$ và $D F$ , $H$ là giao điểm của $B E$ và $C F$ . Chứng minh:

a) $G H / / C D$

b) Tứ giác $G F H E$ là hình vuông

Lời giải:

Sách bài tập Toán 8 Bài 7 (Cánh diều): Hình vuông (ảnh 2)

a) Do $A B C D$ là hình chữ nhật nên $\hat{D A B} = \hat{A B C} = \hat{B C D} = \hat{C D A} = 90^{\circ}$

Mà $A E, B E, C F, D F$ lần lượt là các tia phân giác của các góc $D A B, A B C, B C D, C D A$

suy ra $\hat{D A E} = \hat{E A B} = \hat{A B E} = \hat{E B C} = \hat{B C F} = \hat{F C D} = \hat{C D F} = \hat{F D A} = 45^{\circ}$

Do đó, các tam giác $E A B, F C D, G A D, H B C$ đều là tam giác vuông cân.

$Δ G A D = Δ H B C$ (g.c.g). Suy ra $G D = H C$ . Mà $F D = F C$ , suy ra $F G = F H$ .

Do đó, tam giác $F G H$ vuông cân tại $F$ . Suy ra $\hat{F G H} = 45^{\circ}$ .

Ta có: $\hat{F G H} = \hat{C D F} = 45^{\circ}$ và $\hat{F G H}, \hat{C D F}$ nằm ở vị trí đồng vị nên $G H / / C D$ .

b) $\hat{E G F} = \hat{A G D} = 90^{\circ}$ (hai góc đối đỉnh)

Tứ giác $G F H E$ là hình chữ nhật.

Hình chữ nhật $G F H E$ có $F G = F H$ nên $G F H E$ là hình vuông.

Bài 33 trang 102 SBT Toán 8 Tập 1: Cho hình bình hành $A B C D$ . Ở phía ngoài hình bình hành, vẽ các hình vuông $A B E F$ và $A D G H$ (Hình 26). Chứng minh:

a) $Δ A H F = Δ A D C$

b) $A C ⊥ H F$ .

Sách bài tập Toán 8 Bài 7 (Cánh diều): Hình vuông (ảnh 3)

Lời giải:

Sách bài tập Toán 8 Bài 7 (Cánh diều): Hình vuông (ảnh 4)

Gọi $K$ là giao điểm của $A C$ và $H F$

a) Do $A B E F$ và $A D G H$ đều là hình vuông nên $\hat{B A F} = \hat{D A H} = 90^{\circ}, A H = B A, A H = D A$

Do $A B C D$ là hình bình hành nên $B A = D C$ . Suy ra $A F = D C$

Ta chứng minh được $\hat{H A F} + \hat{D A B} = 180^{\circ}$ và $\hat{A D C} + \hat{D A B} = 180^{\circ}$

Suy ra $\hat{H A F} = \hat{A D C}$

Xét hai tam giác $H A F$ và $A D C$ , ta có: $A H = D A, \hat{H A F} = \hat{A D C}, A F = D A$

Suy ra $Δ H A F = Δ A D C$ (c.g.c)

b) Ta có: $\hat{H A K} + \hat{D A H} + \hat{D A C} = \hat{C A K} = 180^{\circ}$ và $\hat{D A H} = 90^{\circ}$ nên $\hat{H A K} + \hat{D A C} = 90^{\circ}$

Mà $\hat{A H F} = \hat{D A C}$ (vì $Δ H A F = Δ A D C$ ), suy ra $\hat{H A K} + \hat{A H F} = 90^{\circ}$

Trong tam giác $A H K$ , ta có: $\hat{A K H} + \hat{H A K} + \hat{A H F} = 180^{\circ}$ . Suy ra $\hat{A K H} = 90^{\circ}$

Vậy $A K ⊥ H K$ hai $A C ⊥ H F$ .

Bài 34 trang 102 SBT Toán 8 Tập 1: Cho tam giác $A B C$ có các đường trung tuyến $B D, C E$ cắt nhau tại $G$ . Gọi $F, H$ lần lượt là trung điểm của $B G, C G$ .

a) Tứ giác $E F H D$ là hình gì? Vì sao?

b) Tìm điều kiện của tam giác $A B C$ để tứ giác $E F H D$ là hình vuông.

Lời giải:

Sách bài tập Toán 8 Bài 7 (Cánh diều): Hình vuông (ảnh 5)

a) Do $G$ là trọng tâm tam giác $A B C$ nên $D G = \frac{1}{2} B G, E G = \frac{1}{2} C G$ . Mà $F, H$ lần lượt là trung điểm của $B G, C G$ nên $D G = B F = F G, E G = C H = H G$ .

Tứ giác $E F H G$ có hai đường chéo $E H$ và $D F$ cắt nhau tại trung điểm của mỗi đường nên $E F H G$ là hình bình hành.

b) Để hình bình hành $E F H G$ là hình vuông thì $E H = D F$ và $E H ⊥ D F$

suy ra $B G = C G, E G = D G$ và $B D ⊥ C E$ .

$Δ B E G = Δ C D G$ (c.g.c). Suy ra $B E = C D$ . Mà $A B = 2 B E, A C = 2 C D$ , suy ra $A B = A C$ .

Dễ thấy nếu $A B = A C$ và $B D ⊥ C E$ thì tứ giác $E F H G$ là hình vuông.

Vậy tam giác $A B C$ cân tại $A$ có đường trung tuyến $B D$ , $C E$ vuông góc với nhau thì tứ giác $E F H G$ là hình vuông.

Giải SBT Toán 8 trang 103

Bài 35 trang 103 SBT Toán 8 Tập 1: Cho hình vuông $A B C D$ có $A B = 12 c m$ . Trên cạnh $C D$ lấy điểm $E$ sao cho $D E = 5 c m$ . Tia phân giác của góc $B A E$ cắt $B C$ tại $F$ . Trên tia đối của tia $B C$ lấy điểm $M$ sao cho $B M = D E$ .

a) Chứng minh $A E = A M = D E$

b) Tính độ dài $B F$ .

Lời giải:

Sách bài tập Toán 8 Bài 7 (Cánh diều): Hình vuông (ảnh 6)

a) $Δ A D E = Δ A B M$ (c.g.c)

Suy ra $A E = A M$ và $\hat{D A E} = \hat{B A M}$ .

Do $A F$ là tia phân giác của $\hat{B A E}$ nên $\hat{E A F} = \hat{B A F}$ .

Suy ra $\hat{D A E} + \hat{E A F} = \hat{B A M} + \hat{B A F}$ hay $\hat{D A F} = \hat{M A F}$ .

Mà $\hat{D A F} = \hat{M F A}$ (hai góc so le trong) , suy ra $\hat{M F A} = \hat{M A F}$

Do đó, tam giác $M A F$ cân tại $M$ . Suy ra $A M = F M$

Mà $A E = A M$ , suy ra $A E = A M = F M$ .

b) Trong tam giác $A D E$ vuông tại $D$ , ta có: $A E^{2} = A D^{2} + D E^{2}$

Suy ra $A E = 13 c m$ . Mà $F M = A E$ , suy ra $F M = 13 c m$ .

Ta có: $F M = B M + B F$ . Mà $B M = D E = 5 c m$ và $F M = 13 c m$ , suy ra $B F = 8 c m$ .

Bài 36 trang 103 SBT Toán 8 Tập 1: Cho hình vuông $A B C D$ . Lấy điểm $E$ thuộc cạnh $C D$ và điểm $F$ thuộc tia đối của tia $B C$ sao cho $B F = D E$ .

a) Chứng minh tam giác $A E F$ là tam giác vuông cân

b) Gọi $I$ là trung điểm của $E F$ . Trên tia đối của tia $I A$ lấy điểm $K$ sao cho $I K = I A$ . Chứng minh tứ giác $A E K F$ là hình vuông.

c) Chứng minh $I$ thuộc đường thẳng $B D$ .

Lời giải:

Sách bài tập Toán 8 Bài 7 (Cánh diều): Hình vuông (ảnh 7)

Từ điểm $F$ kẻ đường thẳng song song với $C D$ cắt đường thẳng $B D$ tại $M$

a) $Δ A D E = Δ A B F$ (c.g.c)

Suy ra $A E = A F$ và $\hat{D A E} = \hat{B A F}$

Suy ra $\hat{D A E} + \hat{B A E} = \hat{B A F} + \hat{B A E}$ hay $\hat{B A D} = \hat{E A F}$ .

Do đó, $\hat{E A F} = 90^{\circ}$

Tam giác $A E F$ có $\hat{E A F} = 90^{\circ}, A E = A F$ nên tam giac $A E F$ vuông cân tại $A$ .

b) Tứ giác $A E K F$ có hai đường chéo $A K, E F$ cắt nhau tại trung điểm $I$ của mỗi đường nên $A E K F$ là hình bình hành

hình bình hành $A E K F$ có $\hat{E A F} = 90^{\circ}$ nên $A E K F$ là hình chữ nhật.

hình chữ nhật $A E K F$ có $A E = A F$ nên $A E K F$ là hình vuông.

c) Do $A B C D$ là hình vuông nên ta tính được $\hat{C B D} = 45^{\circ}$ . Mà $\hat{F B M} = \hat{C B D}$ (hai góc đối đỉnh), suy ra $\hat{F B M} = 45^{\circ}$ .