Bài tập phân tích đa thức thành nhân tử lớp 8 có đáp án

Trả lời nhanh

Để phân tích đa thức thành nhân tử, hãy làm theo thứ tự: (1) đặt nhân tử chung; (2) dùng hằng đẳng thức; (3) nhóm các hạng tử; (4) phối hợp nhiều cách và kiểm tra xem còn phân tích tiếp được không. Bài viết này gồm 20 bài tập từ cơ bản đến nâng cao, mỗi bài đều có lời giải từng bước.

1. Nhắc nhanh phương pháp trước khi làm bài

Phân tích đa thức thành nhân tử là biến một tổng thành một tích của các đa thức. Kết quả đúng khi nhân ngược lại ta được đa thức ban đầu. Em có thể xem lại phần lý thuyết ở bài Lý thuyết Phân tích đa thức thành nhân tử.

Bảy hằng đẳng thức cần thuộc lòng:

Tên	Công thức
Bình phương của một tổng	A² + 2AB + B² = (A + B)²
Bình phương của một hiệu	A² – 2AB + B² = (A – B)²
Hiệu hai bình phương	A² – B² = (A – B)(A + B)
Lập phương của một tổng	A³ + 3A²B + 3AB² + B³ = (A + B)³
Lập phương của một hiệu	A³ – 3A²B + 3AB² – B³ = (A – B)³
Tổng hai lập phương	A³ + B³ = (A + B)(A² – AB + B²)
Hiệu hai lập phương	A³ – B³ = (A – B)(A² + AB + B²)

Mẹo nhớ: với tổng/hiệu hai lập phương, thừa số thứ hai có dấu “ngược” ở hạng tử giữa khi là tổng (A² – AB + B²) và luôn có B² dương. Thừa số đó không phân tích thêm được nữa.

2. Quy trình 4 bước cho mọi bài

Quan sát các hạng tử: có chung số, chung biến, chung một nhị thức (như x – 2) không? Nếu có, đặt ra ngoài.
Còn lại 2 hay 3 hạng tử: thử xem có khớp hằng đẳng thức nào không.
Có từ 4 hạng tử trở lên: nhóm sao cho mỗi nhóm xuất hiện nhân tử chung hoặc tạo thành hằng đẳng thức.
Kiểm tra từng thừa số: còn là hiệu hai bình phương hay còn nhân tử chung không? Nếu còn thì phân tích tiếp.

3. Bài tập và lời giải chi tiết

Dạng 1: Đặt nhân tử chung (Bài 1)

Bài 1. Phân tích thành nhân tử: a) 6x²y – 9xy²; b) 5x(x – 2) + 3(2 – x); c) 4a²b³ + 12a³b².

Lời giải.

a) Nhân tử chung là 3xy: 6x²y – 9xy² = 3xy(2x – 3y).
b) Đổi dấu 2 – x = –(x – 2): 5x(x – 2) – 3(x – 2) = (x – 2)(5x – 3).
c) Nhân tử chung là 4a²b²: 4a²b²(b + 3a).

Dạng 2: Dùng hằng đẳng thức (Bài 2 – 5)

Bài 2. Phân tích: a) 25x² – 49; b) 9 – (x + 2)²; c) 16x⁴ – 1.

a) (5x)² – 7² = (5x – 7)(5x + 7).
b) 3² – (x + 2)² = [3 – (x + 2)][3 + (x + 2)] = (1 – x)(x + 5).
c) 16x⁴ – 1 = (4x²)² – 1 = (4x² – 1)(4x² + 1) = (2x – 1)(2x + 1)(4x² + 1). Phải phân tích tiếp 4x² – 1, đừng dừng ở bước đầu.

Bài 3. Phân tích: a) x² + 10x + 25; b) 4x² – 12xy + 9y²; c) –x² + 6x – 9.

a) x² + 2·x·5 + 5² = (x + 5)².
b) (2x)² – 2·2x·3y + (3y)² = (2x – 3y)².
c) Đặt dấu trừ ra ngoài: –(x² – 6x + 9) = –(x – 3)².

Bài 4. Phân tích: a) x³ + 27; b) 64x³ – 1; c) 27x³ + 8y³.

a) x³ + 3³ = (x + 3)(x² – 3x + 9).
b) (4x)³ – 1³ = (4x – 1)(16x² + 4x + 1).
c) (3x)³ + (2y)³ = (3x + 2y)(9x² – 6xy + 4y²).

Bài 5. Phân tích: a) x³ + 6x² + 12x + 8; b) 8x³ – 12x²y + 6xy² – y³.

a) Có x³ và 2³; 3·x²·2 = 6x², 3·x·2² = 12x. Vậy đa thức bằng (x + 2)³.
b) A = 2x, B = y: 3A²B = 12x²y, 3AB² = 6xy². Vậy đa thức bằng (2x – y)³.

Dạng 3: Nhóm hạng tử (Bài 6 – 8)

Bài 6. Phân tích: a) x² – 3x + xy – 3y; b) xy – 2x + 5y – 10; c) x³ – 4x² + x – 4.

a) (x² – 3x) + (xy – 3y) = x(x – 3) + y(x – 3) = (x – 3)(x + y).
b) (xy – 2x) + (5y – 10) = x(y – 2) + 5(y – 2) = (y – 2)(x + 5).
c) (x³ – 4x²) + (x – 4) = x²(x – 4) + (x – 4) = (x – 4)(x² + 1).

Bài 7. Phân tích: a) x² – y² + 4x + 4y; b) x² – 6x + 9 – y²; c) 4x² – 4x + 1 – 9y².

a) (x – y)(x + y) + 4(x + y) = (x + y)(x – y + 4).
b) Nhóm ba hạng tử đầu thành bình phương: (x – 3)² – y² = (x – 3 – y)(x – 3 + y).
c) (2x – 1)² – (3y)² = (2x – 1 – 3y)(2x – 1 + 3y).

Bài 8. Phân tích: a) a³ – b³ + a – b; b) x³ + y³ + x + y.

a) (a – b)(a² + ab + b²) + (a – b) = (a – b)(a² + ab + b² + 1).
b) (x + y)(x² – xy + y²) + (x + y) = (x + y)(x² – xy + y² + 1).

Dạng 4: Tách hạng tử và phối hợp (Bài 9 – 10)

Bài 9 (mở rộng). Phân tích: a) x² – 5x + 6; b) x² + 7x + 12; c) x² – x – 6.

Cách làm: với x² + bx + c, tìm hai số có tích bằng c và tổng bằng b rồi tách hạng tử giữa.

a) Hai số –2 và –3 (tích 6, tổng –5): x² – 2x – 3x + 6 = x(x – 2) – 3(x – 2) = (x – 2)(x – 3).
b) Hai số 3 và 4: x² + 3x + 4x + 12 = (x + 3)(x + 4).
c) Hai số –3 và 2 (tích –6, tổng –1): x² – 3x + 2x – 6 = x(x – 3) + 2(x – 3) = (x – 3)(x + 2).

Bài 10. Phân tích: a) 3x³ – 12x; b) 2x³ + 12x² + 18x; c) 5x³ – 5x²y – 5xy² + 5y³.

a) 3x(x² – 4) = 3x(x – 2)(x + 2).
b) 2x(x² + 6x + 9) = 2x(x + 3)².
c) 5(x³ – x²y – xy² + y³) = 5[x²(x – y) – y²(x – y)] = 5(x – y)(x² – y²) = 5(x – y)²(x + y).

Dạng 5: Tìm x (Bài 11 – 13)

Ý tưởng: đưa vế trái về tích, vế phải bằng 0, rồi dùng tính chất A·B = 0 khi A = 0 hoặc B = 0.

Bài 11. Tìm x: a) x² – 9x = 0; b) (2x – 1)² – 25 = 0.

a) x(x – 9) = 0 nên x = 0 hoặc x = 9.
b) (2x – 1 – 5)(2x – 1 + 5) = 0 ⇒ (2x – 6)(2x + 4) = 0 ⇒ x = 3 hoặc x = –2.

Bài 12. Tìm x: a) x³ – 16x = 0; b) x² – 7x + 12 = 0.

a) x(x – 4)(x + 4) = 0 nên x ∈ {0; 4; –4}.
b) (x – 3)(x – 4) = 0 nên x = 3 hoặc x = 4.

Bài 13. Tìm x: a) x(x – 2) + 3x – 6 = 0; b) 4x² – 4x + 1 = 0; c) x³ + 2x² – 9x – 18 = 0.

a) x(x – 2) + 3(x – 2) = (x – 2)(x + 3) = 0 nên x = 2 hoặc x = –3.
b) (2x – 1)² = 0 nên x = 1/2 (chỉ một nghiệm).
c) x²(x + 2) – 9(x + 2) = (x + 2)(x – 3)(x + 3) = 0 nên x ∈ {–2; 3; –3}.

Dạng 6: Tính nhanh giá trị biểu thức (Bài 14 – 15)

Bài 14. Tính nhanh: a) 85² – 15²; b) 2026² – 2·2026·26 + 26²; c) giá trị của M = x² – 2xy + y² – 9 tại x = 53, y = 44.

a) (85 – 15)(85 + 15) = 70·100 = 7 000.
b) (2026 – 26)² = 2000² = 4 000 000.
c) M = (x – y)² – 3² = (x – y – 3)(x – y + 3). Với x – y = 9: M = 6·12 = 72.

Bài 15. Tính: a) P = x³ + 3x² + 3x + 1 tại x = 99; b) Q = x(x – y) + y(y – x) tại x = 12,5 và y = 2,5.

a) P = (x + 1)³ = 100³ = 1 000 000.
b) Q = x(x – y) – y(x – y) = (x – y)(x – y) = (x – y)² = 10² = 100.

Dạng 7: Chứng minh chia hết (Bài 16 – 17)

Bài 16. Chứng minh 7⁵ – 7³ chia hết cho 48.

Ta có 7⁵ – 7³ = 7³(7² – 1) = 7³·48. Tích này có thừa số 48 nên chia hết cho 48.

Bài 17. Chứng minh (n + 5)² – (n – 1)² chia hết cho 12 với mọi số nguyên n.

(n + 5 – n + 1)(n + 5 + n – 1) = 6(2n + 4) = 12(n + 2). Vậy biểu thức bằng 12(n + 2), chia hết cho 12 với mọi số nguyên n.

Dạng 8: Bài toán thực tế (Bài 18 – 19)

Bài 18. Một tấm bìa hình vuông cạnh 2a (cm). Người ta cắt đi ở một góc một hình vuông nhỏ cạnh b (cm), với b < 2a. a) Viết diện tích S phần bìa còn lại và phân tích thành nhân tử. b) Tính S khi a = 12,5 và b = 5.

a) S = (2a)² – b² = 4a² – b² = (2a – b)(2a + b).
b) 2a = 25, nên S = (25 – 5)(25 + 5) = 20·30 = 600 (cm²). Kiểm tra: 25² – 5² = 625 – 25 = 600.

Bài 19. Một hình hộp chữ nhật có thể tích V = x³ + 3x² + 2x (cm³) và chiều cao x (cm). a) Tìm biểu thức chiều dài, chiều rộng (biết chiều dài hơn chiều rộng 1 cm). b) Tính V khi x = 4.

a) V = x(x² + 3x + 2) = x(x + 1)(x + 2). Vậy chiều rộng x + 1 (cm), chiều dài x + 2 (cm).
b) V = 4·5·6 = 120 (cm³). Kiểm tra: 64 + 48 + 8 = 120.

Dạng 9: Nâng cao – thêm bớt hạng tử (Bài 20)

Bài 20. Phân tích: a) x⁴ + 4; b) x⁴ + x² + 1.

a) Thêm và bớt 4x²: x⁴ + 4x² + 4 – 4x² = (x² + 2)² – (2x)² = (x² – 2x + 2)(x² + 2x + 2).
b) Thêm và bớt x²: (x⁴ + 2x² + 1) – x² = (x² + 1)² – x² = (x² – x + 1)(x² + x + 1).

Mục tiêu của kỹ thuật này là biến đa thức thành “bình phương trừ bình phương”.

4. Những lỗi sai thường gặp

Sai dấu khi đổi chiều: 2 – x = –(x – 2), không phải (x – 2). Bài 1b sai nhiều nhất ở chỗ này.
Dừng quá sớm: 16x⁴ – 1 = (4x² – 1)(4x² + 1) chưa xong, vì 4x² – 1 còn phân tích được.
Quên nhân tử chung bằng số: 8x² + 32xy + 32y² nên đặt 8 trước rồi mới nhận ra bình phương.
Nhầm công thức lập phương: x³ + 27 ≠ (x + 3)³. Hãy nhân ngược để kiểm tra.
Mất nghiệm khi giải phương trình tích: chia hai vế cho x làm mất nghiệm x = 0. Phải chuyển vế rồi phân tích.
Cố phân tích x² + y²: với số thực, tổng hai bình phương không phân tích được.

5. Tự kiểm tra nhanh (có đáp án)

Phân tích 9x² – 6x + 1 – y². Đáp án: (3x – 1 – y)(3x – 1 + y).
Tìm x biết x³ – 4x² + 4x = 0. Đáp án: x(x – 2)² = 0 nên x = 0 hoặc x = 2.
Tính 101² – 99². Đáp án: (101 – 99)(101 + 99) = 2·200 = 400.

6. Học tiếp ở đâu?

Giải SGK Toán 8 Bài 9 (Kết nối tri thức)
Sách bài tập Toán 8 Bài 9
Vở thực hành Toán 8 Bài 9
20 câu trắc nghiệm Phân tích đa thức thành nhân tử
Chuyên đề dạy thêm Toán 8 – Kết nối tri thức

Câu hỏi thường gặp

Phân tích đa thức thành nhân tử nên bắt đầu từ đâu?

Luôn thử đặt nhân tử chung trước (kể cả nhân tử bằng số). Sau đó mới xét hằng đẳng thức rồi đến nhóm hạng tử. Làm đúng thứ tự này thì phần lớn bài ở lớp 8 giải được gọn.

Làm sao biết đã phân tích xong?

Mỗi thừa số trong tích không còn nhân tử chung và không còn dạng hằng đẳng thức nào dùng được. Ví dụ x² + x + 1 hay x² + 1 là thừa số đã “tối giản” với số thực.

Khi nào phải nhóm hạng tử?

Khi đa thức có 4 hạng tử trở lên và không có nhân tử chung chung cho cả đa thức. Em nhóm sao cho mỗi nhóm cho ra cùng một nhị thức, ví dụ cùng (x – 3), rồi đặt nhân tử chung đó.

Phân tích đa thức thành nhân tử dùng để làm gì?

Dùng để giải phương trình tích (tìm x), rút gọn phân thức, tính nhanh giá trị biểu thức và chứng minh chia hết, như các Bài 11 đến 17 ở trên.