Sách bài tập Toán 8 Bài 6 (Cánh diều): Hình thoi

Admin Vietjack Ngày: 23-09-2024 Lớp 8

2.1 K

Với giải sách bài tập Toán 8 Bài 6: Hình thoi sách Cánh diều hay, chi tiết giúp học sinh dễ dàng xem và so sánh lời giải từ đó biết cách làm bài tập trong SBT Toán 8. Mời các bạn đón xem:

Giải SBT Toán 8 Bài 6: Hình thoi

Giải SBT Toán 8 trang 99

Bài 26 trang 99 SBT Toán 8 Tập 1: Cho hình thoi $A B C D$ có góc $B$ tù. Kẻ $B E$ vuông góc $A D$ tại $E$ , $B F$ vuông góc với $C D$ tại $F$ . Gọi $M, N$ lần lượt là giao điểm của $B E, B F$ với $A C$ . Chứng minh tứ giác $B M D N$ là hình thoi.

Lời giải:

Sách bài tập Toán 8 Bài 6 (Cánh diều): Hình thoi (ảnh 1)

Gọi $O$ là giao điểm của $A C$ và $B D$

Do $A B C D$ là hình thoi nên $A C$ vuông góc với $B D$ tại trung điểm $O$ của $B D$ . Suy ra $A C$ là đường trung trực của $B D$ . Do đó $B M = D M, B N = D N$ .

Do $A B C D$ là hình thoi nên $B A = B C, \hat{B A E} = \hat{B C F}$ .

Suy ra $Δ A B E = Δ B C F$ (cạnh huyền – góc nhọn kề)

Do đó $\hat{A B E} = \hat{C B F}$ . Mà $\hat{A B D} = \hat{C B D}$ , suy ra $\hat{M B O} = \hat{N B O}$ .

$Δ M B O = Δ N B O$ (cạnh góc vuông – góc nhọn). suy ra $B M = B N$

Mà $B M = D M$ và $B N = D N$ , suy ra $B M = D M = B N = D N$ .

Tứ giác $B M D N$ có $B M = D M = B N = D N$ nên $B M D N$ là hình thoi.

Bài 27 trang 99 SBT Toán 8 Tập 1: Cho một hình thoi có độ dài hai đường chéo là $\frac{18}{5}$ m và $\frac{27}{10}$ m. Tính chu vi và diện tích của hình thoi đó.

Lời giải:

Sách bài tập Toán 8 Bài 6 (Cánh diều): Hình thoi (ảnh 2)

Xét hình thoi $A B C D$ có $A C = \frac{18}{5} m$ , $B D = \frac{27}{10} m$ .

Gọi $O$ là giao điểm của hai đường chéo $A C$ và $B D$ .

Do $A B C D$ là hình thoi nên $A C ⊥ B D, O$ là trung điểm của $A C$ và $B D$ .

Ta tính được:

$O A = \frac{A C}{2} = \frac{9}{5} m$

$O B = \frac{B D}{2} = \frac{27}{20} m$ .

Trong tam giác $O A B$ vuông tại $O$ , ta có: $A B^{2} = O A^{2} + O B^{2}$ . Suy ra $A B = \frac{9}{4} m$

Chu vi của hình thoi $A B C D$ là: $4. \frac{9}{4} = 9 (m)$

Diện tích của hình thoi $A B C D$ là: $\frac{1}{2} . \frac{18}{5} . \frac{27}{10} = \frac{243}{50} (m^{2})$ .

Giải SBT Toán 8 trang 100

Bài 28 trang 100 SBT Toán 8 Tập 1: Cho tam giác $A B C$ nhọn có các đường cao $B D, C E$ . Tia phân giác của các góc $A C E, A B D$ cắt nhau tại $O$ và cắt $A B, A C$ lần lượt tại $M, N$ . Tia $B N$ cắt $C E$ tại $K$ , tia $C M$ cắt $B D$ tại $H$ . Chứng minh:

a) $B N ⊥ C M$

b) Tứ giác $M N H K$ là hình thoi.

Lời giải:

Sách bài tập Toán 8 Bài 6 (Cánh diều): Hình thoi (ảnh 3)

a) Do tam giác $A B D$ vuông tại $D$ và tam giác $A C E$ vuông tại $E$ nên $\hat{A B D} + \hat{A} = \hat{A C E} + \hat{A} = 90^{\circ}$ . Suy ra $\hat{A B D} = \hat{A C E}$ .

Mà $B N$ và $C M$ lần lượt là tia phân giác của $\hat{A B D}$ và $\hat{A C E}$ , suy ra $\hat{A B N} = \hat{D B N} = \hat{A C M} = \hat{E C M}$ .

Do tam giác $C E M$ vuông tại $E$ nên $\hat{E C M} + \hat{E M C} = 90^{\circ}$

Suy ra $\hat{A B N} + \hat{E M C} = 90^{\circ}$ hay $\hat{M B O} + \hat{B M O} = 90^{\circ}$ .

Do đó ta tính được $\hat{B O M} = 90^{\circ}$ . Vậy $B N ⊥ C M$ .

b) $Δ B M O = Δ B H O$ (cạnh góc vuông – góc nhọn kề). Suy ra $O M = O H$

$Δ C N O = Δ C K O$ (cạnh góc vuông – góc nhọn kề). Suy ra $O N = O K$ .

Tứ giác $M N H K$ có hai đường chéo $M H$ và $N K$ cắt nhau tại trung điểm $O$ của mỗi đường nên $M N H K$ là hình bình hành.

Hình bình hành $M N H K$ có $M H ⊥ N K$ nên $M N H K$ là hình thoi.

Bài 29 trang 100 SBT Toán 8 Tập 1: Cho góc $x O y$ khác góc bẹt. Dùng thước hai lề (thước có hai cạnh song song). Đặt thước hai lề sao cho một cạnh của thước trùng với cạnh $O x$ của góc $x O y$ , vẽ đường thẳng $a$ theo cạnh kia của thước. đặt thước hai lề sao cho một cạnh của thước trùng với cạnh $O y$ của góc $x O y$ . Chứng minh tia $O M$ là tia phân giác của góc $x O y$ .

Sách bài tập Toán 8 Bài 6 (Cánh diều): Hình thoi (ảnh 4)

Lời giải:

Sách bài tập Toán 8 Bài 6 (Cánh diều): Hình thoi (ảnh 5)

Gọi $A$ là giao điểm của đường thẳng $a$ với tia $O y$ , $B$ là giao điểm của đường thẳng $b$ với tia $O x$ . Kẻ $A H$ vuông góc với $O B$ tại $H, A K$ vuông góc với $B M$ tại $K$ . Do khoảng cách giữa hai lề của thước là không đổi nên ta có $A H = A K$ .

Tứ giác $O A M B$ có $A M / / O B, M B / / O A$ nên $O A M B$ là hình bình hành. Suy ra $\hat{A O H} = \hat{A M K}$ . Do đó $\hat{O A H} = \hat{M A K}$ .

$Δ A O H = Δ A M K$ (cạnh góc vuông – góc nhọn kề). Suy ra $O A = A M$ .

Hình bình hành $O A M B$ có $O A = A M$ nên $O A M B$ là hình thoi. Vậy $O M$ là tia phân giác của góc $x O y$ .

Bài 30 trang 100 SBT Toán 8 Tập 1: Cho hình thoi $A B C D$ có $A B = 2$ cm, $\hat{A} = \frac{1}{2} \hat{B}$ . Các điểm $H, K$ thay đổi lần lượt trên cạnh $A D, C D$ sao cho $\hat{H B K} = 60^{\circ}$ .

a) Chứng minh $D H + D K$ không đổi

b) Xác định vị trí của các điểm $H, K$ để độ dài $H K$ ngắn nhất. Tính độ dài ngắn nhất đó.

Lời giải:

Sách bài tập Toán 8 Bài 6 (Cánh diều): Hình thoi (ảnh 6)

a) Do $A B C D$ là hình thoi nên $A B = D A = 2 c m, \hat{A B D} = \hat{C D B} = \frac{1}{2} \hat{A B C}$

Mà $\hat{B A D} = \frac{1}{2} \hat{A B C}$ , suy ra $\hat{B A D} = \hat{A B D}$ . Do đó tam giác $A B D$ cân tại $D$ . Suy ra $D A = D B$ .

Mà $A B = D A$ , suy ra $A B = D A = D B$ .

$Δ A B H = Δ D B K$ (g.c.g). Suy ra $A H = D K$ . Do đó $D H + D K = D H + A H = A D$ .

Vậy $D H + D K$ không đổi

b) Do $Δ A B H = Δ D B k$ nên $B H = B K$ .

Tam giác $B H K$ có $B H = B K$ và $\hat{H B K} = 60^{\circ}$ nên tam giác $B H K$ là tam giác đều.

Suy ra $H K = B H = B K$ .

Do đó, độ dài $H K$ ngắn nhất khi $B H$ và $B K$ ngắn nhất. Vậy $H, K$ lần lượt là hình chiếu của $B$ trên $A D, C D$ .

Khi đó $Δ A B H = Δ D B H$ (cạnh huyền – cạnh góc vuông)

Suy ra $A H = D H = \frac{A D}{2} = 1 c m$

Trong tam giác $A B H$ vuông tại $H$ , ta có: $A B^{2} = A H^{2} + B H^{2}$ . Suy ra ta tính được $B H = \sqrt{3} c m$ . Vậy độ dài ngắn nhất của $H K$ là $\sqrt{3}$ cm.