Sách bài tập Toán 8 (Cánh diều) Bài tập cuối chương 5 trang 103

Admin Vietjack Ngày: 17-11-2023 Lớp 8

2.1 K

Với giải sách bài tập Toán 8 Bài tập cuối chương 5 trang 103 sách Cánh diều hay, chi tiết giúp học sinh dễ dàng xem và so sánh lời giải từ đó biết cách làm bài tập trong SBT Toán 8. Mời các bạn đón xem:

Giải SBT Toán 8 Bài tập cuối chương 5 trang 103

Giải SBT Toán 8 trang 103

Bài 37 trang 103 SBT Toán 8 Tập 1: Cho hình bình hành $A B C D$ có $\hat{A} = 3 \hat{B}$ . Số đo các góc của hình bình hành $A B C D$ là:

A. $\hat{A} = \hat{C} = 120^{\circ}, \hat{B} = \hat{D} = 60^{\circ}$ .

B. $\hat{A} = \hat{D} = 45^{\circ}, \hat{B} = \hat{C} = 135^{\circ}$ .

C. $\hat{A} = \hat{C} = 135^{\circ}, \hat{B} = \hat{D} = 45^{\circ}$ .

D. $\hat{A} = \hat{D} = 135^{\circ}, \hat{B} = \hat{D} = 45^{\circ}$ .

Lời giải:

Xét hình bình hành $A B C D$ , ta có:

$\hat{A} = \hat{C}; \hat{D} = \hat{B}$

Mà $\hat{A} = 3 \hat{B}$ nên $\hat{A} + \hat{B} + \hat{C} + \hat{D} = 360^{\circ} \Leftrightarrow \hat{3 B} + \hat{B} + 3 \hat{B} + \hat{B} = 360^{\circ}$

Suy ra $\hat{B} = \hat{D} = 45^{\circ}; \hat{A} = \hat{C} = \frac{360^{\circ} - 45^{\circ} .2}{2} = 135^{\circ}$

→ Đáp án đúng là đáp án C.

Bài 38 trang 103 SBT Toán 8 Tập 1: Cho hình vuông $A B C D$ có độ dài bằng 8 cm. Độ dài đường chéo $A C$ là:

A. $4 \sqrt{2} c m$

B. $8 \sqrt{2} c m$

C. $2 \sqrt{8} c m$

D. $4 \sqrt{8} c m$

Lời giải:

Xét tam giác vuông cân $A B C$ ta có:

$A C^{2} = A B^{2} + B C^{2}$ suy ra $A C^{2} = 8^{2} + 8^{2} = 128$

Vậy độ dài đường chéo $A C = \sqrt{128} = 8 \sqrt{2} c m$

→ Đáp án đúng là đáp án B.

Bài 39 trang 103 SBT Toán 8 Tập 1: Cho tứ giác $A B C D$ có $E, F, G, H$ lần lượt là trung điểm của $A B, B C, C D, D A$ . Điều kiện của tứ giác $A B C D$ để tứ giác $E F G H$ là hình chữ nhật là:

A. $B D = A C$

B. $A B ⊥ B C$

C. $B D ⊥ A C$

D. $A B = C D$

Lời giải:

Sách bài tập Toán 8 (Cánh diều) Bài tập cuối chương 5 trang 103 (ảnh 1)

Nối $A C, B D$

Xét tam giác $A B C D$ có $E, H$ lần lượt là trung điểm của $A B, A D$ nên $E H$ là đường trung bình của tam giác $A B D$ .

Suy ra $E H / / B D, E H = \frac{1}{2} B D$ (1)

Tương tự xét tam giác $C B D$ có $F, G$ lần lượt là trung điểm của $B C, C D$ nên $F g$ là đường trung bình của tam giác $C B D$ suy ra $F G / / B D, F G = \frac{1}{2} B D$ (2)

Từ (1), (2) suy ra $E H / / F G; E H = F G$ nên $E F G H$ là hình bình hành (dấu hiệu nhận biết).

Để hình bình hành $E F G H$ là hình chữ nhật thì $\hat{E H G} = 90^{\circ}$ hay $E H ⊥ H G$

Lại có $H G / / A C$ (do $H G$ là đường trung bình của tam giác $D A C$ ) nên $E H ⊥ A C$ mà $E H ⊥ B D$ (cmt) nên $A C ⊥ B D$ .

Vậy tứ giác $A B C D$ cần có $A C ⊥ B D$ thì $E F G H$ là hình chữ nhật.

→ Đáp án đúng là đáp án C.

Bài 40 trang 103 SBT Toán 8 Tập 1: Một công ti dự định làm một đường ống dẫn từ một nhà máu ở địa điểm $C$ trên bờ đến một địa điểm $B$ trên biển. Khoảng cách giữa địa điểm $A$ trên đảo với địa điểm $B$ , địa điểm $C$ lần lượt là $9 k m$ , $15 k m$ ; $A B$ vuông góc với $B C$ (minh họa ở Hình 27). Giá làm 1 km đường ống là 5 000 đô la Mỹ. Hỏi chi phí làm đường ống từ địa điểm $C$ đến địa điểm $B$ là bao nhiêu đồng? Biết 1 đô la Mỹ bằng 23 635 đồng.

Sách bài tập Toán 8 (Cánh diều) Bài tập cuối chương 5 trang 103 (ảnh 2)

Lời giải:

Trong tam giác $A B C$ vuông tại $B$ ta có: $A C^{2} = A B^{2} + B C^{2}$ (theo định lí Pythagore).

Suy ra $B C^{2} = A C^{2} - A B^{2} = 15^{2} - 9^{2} = 144$ . Do đó $B C = \sqrt{144} = 12 (k m)$

Chi phí làm đường ống từ địa điểm $C$ đến địa điểm $B$ là:

$5000.23635.12 = 1418100000$ (đồng)

Giải SBT Toán 8 trang 104

Bài 41 trang 104 SBT Toán 8 Tập 1: Cho tam giác $A B C$ vuông tại $A$ có đường cao $A H$ . Kẻ $H J$ vuông góc với $A B$ tại $J$ và $H K$ vuông góc với $A C$ tại $K$ . Trên tia $H J$ lấy điểm $D$ sao cho $D J = J H$ . Trên tia $H K$ lấy điểm $E$ sao cho $E K = K H$ .

a) Chứng minh $A$ là trung điểm của $D E$ .

b) Tứ giác $A J H K$ là hình gì? Vì sao?

c) Chứng minh $B C = B D + C E$ .

Lời giải:

Sách bài tập Toán 8 (Cánh diều) Bài tập cuối chương 5 trang 103 (ảnh 3)

a) Xét $Δ A D J$ vuông tại $J$ và $Δ A H J$ vuông tại $J$ có:

$D J = H J$ (gt), $A J$ là cạnh chung

Do đó $Δ A D J = Δ A H J$ (hai cạnh góc vuông)

Suy ra $A D = A H$ (hai cạnh tương ứng) và $\hat{J A D} = \hat{J A H}$ (hai góc tương ứng)

Tương tự ta cũng chứng minh được $Δ A H K = Δ A E k$ (hai cạnh góc vuông)

Suy ra $A H = A E$ (hai cạnh tương ứng) và $\hat{K A H} = \hat{K A E}$ (hai góc tương ứng)

Ta có:

$\hat{J A D} + \hat{J A H} + \hat{K A H} + \hat{K A E} = 2 (\hat{J A H} + \hat{K A H}) = 2. \hat{J A K} = {2.90}^{\circ} = 180^{\circ}$

Hay $\hat{D A E} = 180^{\circ}$ nên ba điểm $D, A, E$ thẳng hàng

Lại có $A D = A H$ và $A H = A E$ nên $A D = A E$

Do đó $A$ là trung điểm của $D E$ .

b) Ta có $A B ⊥ H E$ tại $K$ nên $\hat{A J H} = 90^{\circ}$

$A C ⊥ H E$ tại $K$ nên $\hat{A K H} = 90^{\circ}$

Xét tứ giác $A J K H$ có:

$\hat{A J H} = \hat{J A K} = \hat{A K H} = 90^{\circ}$ nên là hình chữ nhật.

c) Xét tam giác $B D J$ vuông tại $J$ và tam giác $B H J$ vuông tại $J$ có:

$D J = H J$ (gt), $B J$ là cạnh chung

Do đó $Δ B D J = Δ B H J$ (hai cạnh góc vuông)

Suy ra $B D = B H$ (hai cạnh tương ứng)

Tương tự, ta cũng có $Δ C H K = Δ C E K$ (hai cạnh góc vuông)

Suy ra $C H = C E$ (hai cạnh tương iwnsg)

Khi đó $B C = B H + C H = B D + C E$

Vậy $B C = B D + C E$ .

Bài 42 trang 104 SBT Toán 8 Tập 1: Cho hình thang cân $A B C D$ có $A B / / C D, \hat{D} = 45^{\circ}$ . Kẻ $A H$ vuông góc với $C D$ tại $H$ . Lấy điểm $E$ thuộc cạnh $C D$ sao cho $H E = D H$ .

a) Chứng minh tứ giác $A B C E$ là hình bình hành.

b) Đường thẳng qua null song song với $A E$ cắt $A H$ tại $F$ . Tứ giác $A D F E$ là hình gì? Vì sao?

c) Tìm điều kiện của hình thang cân $A B C D$ để $E$ là trung điểm của $B F$ (bỏ qua giả thiết $\hat{D} = 45^{\circ}$ ).

Lời giải:

Sách bài tập Toán 8 (Cánh diều) Bài tập cuối chương 5 trang 103 (ảnh 4)

a) $Δ A D H = Δ A E H$ (cạnh góc vuông – cạnh góc vuông), suy ra $A D = A E$ (hai cạnh tương ứng)

Xét tứ giác $A B C E$ , ta có:

$A B / / E C$

Vì $A D = A E$ mà $A D = B C$ nên $A E = B C$

Vậy tứ giác $A B C E$ là hình bình hành.

b) Xét tam giác $A H E$ và $F H D$ , ta có:

$\hat{A E H} = \hat{F D H}$ (so le trong); $\hat{A H E} = \hat{F H D} = 90^{\circ}$ ; $D H = H E$

Suy ra $Δ A H E = Δ D H D$ (g.c.g)

Suy ra $A H = H F$

Xét tứ giác $A D E F$ , ta có:

$H D = H E; H A = H F$

Mà $A F ⊥ D E$

Suy ra tứ giác $A D E F$ là hình thoi.

c) Để $E$ là trung điểm của $B F$ thì $B E = F E$ và ba điểm $B, E, F$ thẳng hàng.

Khi bỏ qua giả thiết $\hat{A D C} = 45^{\circ}$ thì ta chứng minh được tứ giác $A D E F$ có hai đường chéo cắt nhau tại trung điểm của mỗi đường nên $A D E F$ là hình bình hành.

Do $A B C E$ và $A D E F$ đều là hình bình hành nên $A E = B C, A E / / B C$ và $A E = D F . A E / / D F$

Suy ra $B C = D F$ và $B C / / D F$

Tứ giác $B C F D$ có $B C = D F$ và $B C / / D F$ nên $B C F D$ là hình bình hành.

Mà $E$ là trung điểm của $B F$ , suy ra $E$ là trung điểm của $C D$ hay $E C = E D = \frac{1}{2} C D$ .

Mặt khác, $A B = E C$ (vì $A B C E$ là hình bình hành), suy ra $A B = \frac{1}{2} C D$

Dễ thấy nếu hình thang cân $A B C D (A B / / C D)$ có $A B = \frac{1}{2} C D$ thì $E$ là trung điểm của $B F$ .

Vậy điều kiện của hình thang cân $A B C D (A B / / C D)$ để $E$ là trung điểm của $B F$ là $A B = \frac{1}{2} C D$ .

Bài 43 trang 104 SBT Toán 8 Tập 1: Cho hình bình hành $A B C D$ có $B C = 2 A B$ . Gọi $M, N$ lần lượt là trung điểm của $B C, A D$

a) Chứng minh tứ giác $M B N D$ là hình bình hành.

b) Gọi $P$ là giao điểm của $A M$ và $B N, Q$ là giao điểm của $C N$ và $D M$ . Chứng minh tứ giác $P M Q N$ là hình chữ nhật.

c) Tìm điều kiện của hình bình hành $A B C D$ để tứ giác $P M Q N$ là hình vuông.

d) Tính diện tích của tứ giác $P M Q N$ , biết $A B = 2 c m, \hat{M A D} = 30^{\circ}$ .

Lời giải:

Sách bài tập Toán 8 (Cánh diều) Bài tập cuối chương 5 trang 103 (ảnh 5)

a) Do $A B C D$ là hình bình hành nên $B C / / A D$ và $B C = A D$

Mà $M \in B C, N \in A D$ nên $M B / / N D$

Lại có $M, N$ lần lượt là trung điểm của $B C, A D$ nên $M B = M C = \frac{1}{2} B C, N A = N D = \frac{1}{2} A$

Do đó $M B = M C = N A = N D$

Tứ goác $M B N D$ có $M B / / N D$ và $M B = N D$ nên là hình bình hành.

b) Tương tự câu a, ta chứng minh được $M A N C$ là hình bình hành.

Do $M B N D, M A N C$ đều là hình bình hành nên $P N / / M Q, P M / / N Q$ . Suy ra tứ giác $P M Q N$ là hình bình hành.

$Δ A B N = Δ M B N$ (c.g.c). Suy ra $A B = M N$ .

Tứ giác $A B M N$ có $A B = B M - M N = A N$ nên $A B M N$ là hình thoi. Suy ra $A M ⊥ B n$

Hình bình hành $P M Q N$ có $\hat{M P N} = 90^{\circ}$ nên $P M Q N$ là hình chữ nhật.

c) Để hình chữ nhật $P M Q N$ là hình vuông thì $P M = P N$ .

Mà $A B M N$ là hình thoi nên $A B M N$ là hình bình hành. Suy ra $A M, B N$ cắt nhau tại trung điểm $P$ của mỗi đường. mà $P M = P N$ , suy ra $A M = B N$

Hình bình hành $A B M N$ có $A M = B N$ nên $A B M N$ là hình chữ nhật

Suy ra $\hat{A B M} = 90^{\circ}$ hay $\hat{A B C} = 90^{\circ}$

Hình bình hành $A B C D$ có $\hat{A B C} = 90^{\circ}$ nên $A B C D$ là hình chữ nhật.

Dễ thấy, nếu hình bình hành $A B C D$ là hình chữ nhật và $B C = 2 A B$ thì $P M Q N$ là hình vuông.

Vậy điều kiện của hình bình hành $A B C D$ để $P M Q N$ là hình vuông là hình bình hành $A B C D$ là hình chữ nhật có $B C = 2 A B$ .

d) Ta có: $B M = A B$ nên $B M = 2 c m$

Do $A B M N$ là hình thoi nên $A M$ là tia phân giác của $\hat{B A N}$

Suy ra $\hat{B A N} = 2 \hat{M A D} = 60^{\circ}$

Tam giác $A B N$ có $A B = A N$ và $\hat{B A N} = 60^{\circ}$ nên tam giác $A B N$ đều.

Suy ra $B N = A N = A B = 2 c m$

Do $P$ là trung điểm của $B N$ nên $B P = N P = \frac{B N}{2} = 1 c m$

Trong tam giác $B M P$ vuông tại $P$ , ta có: $B M^{2} = B P^{2} + M P^{2}$

Suy ra $M P^{2} = B M^{2} - B P^{2} = 3$ . Do đó $M P = \sqrt{3}$ cm

Do $P M Q N$ là hình chữ nhật nên diện tích của $P M Q N$ là:

$M P . N P = \sqrt{3} .1 = \sqrt{3} (c m^{2})$ .

Bài 44 trang 104 SBT Toán 8 Tập 1: Cho hình vuông $A B C D$ . Lấy điểm $M$ thuộc đường chéo $B D$ . Kẻ $M E$ vuông góc với $A B$ tại $E$ , $M F$ vuông góc với $A D$ tại $F$ .

a) Chứng minh: $D E = C F; D E ⊥ C F$ .

b) Chứng minh ba đường thẳng $D E, B F, C M$ cùng đi qua một điểm.

c) Xác định vị trí của điểm $M$ trên đường chéo $B D$ để diện tích của tứ giác $A E M F$ lớn nhất.

Lời giải:

Sách bài tập Toán 8 (Cánh diều) Bài tập cuối chương 5 trang 103 (ảnh 6)

Gọi $H$ là giao điểm của $D E$ và $C F$ , $K$ là giao điểm của $C M$ và $E F$ .

Do $A B C D$ là hình vuông nên ta có:

$\hat{D A B} = 90^{\circ}, C D = D A, \hat{A D B} = \hat{A B D} = \hat{D B C} = 45^{\circ}$

a) Ta chứng minh được tam giác $F D M$ vuông cân tại $F$ .

Suy ra $F M = D F$

Tứ giác $A E M F$ có $\hat{M F A} = \hat{F A E} = \hat{A E M} = 90^{\circ}$ nên $A E M F$ là hình chữ nhật. Suy ra $A E = F M$ .

Do đó $A E = D F$ (vì cùng bằng $F M$ )

$Δ A D E = Δ D C F$ (c.g.c). Suy ra $D E = C F$ , $\hat{A E D} = \hat{D F C}$ .

Trong tam giác $A D E$ vuông tại $A$ , ta có: $\hat{A E D} + \hat{A D E} = 90^{\circ}$

Suy ra $\hat{D F C} + \hat{A D E} = 90^{\circ}$ hay $\hat{D F H} + \hat{F H D} = 90^{\circ}$ . Từ đó ta tính được $\hat{D H F} = 90^{\circ}$ . Vậy $D E ⊥ C F$ .

b) Tương tự câu a, ta chứng minh được $B F ⊥ C E$ .

$Δ A B M = Δ C B M$ (c.g.c). Suy ra $A M = C M$ . Mà $E F = A M$ (vì $A E M F$ là hình chữ nhật) suy ra $E F = C M$ .

$Δ D E F = Δ F C M$ (c.c.c). Suy ra $\hat{D E F} = \hat{F C M}$ hay $\hat{F E H} = \hat{F C K}$

Trong tam giác $H E F$ vuông tại $H$ , ta có $\hat{F E H} + \hat{E F H} = 90^{\circ}$

Suy ra $\hat{F C K} + \hat{E F H} = 90^{\circ}$ hay $\hat{F C K} + \hat{K F C} = 90^{\circ}$ . Từ đó, ta tính được $\hat{C K F} = 90^{\circ}$ . Do đó, $C K ⊥ E F$ .

Trong tam giác $C E F$ , ta có: $D E ⊥ C F, B F ⊥ C E, C M ⊥ E F$ nên ba đường thẳng $D E, B F, C M$ là các đường cao của tam giác $C E F$ . Vậy ba đường thẳng $D E, B F, C M$ cùng đi qua một điểm.

c) Chu vi của hình chữ nhật $A E M F$ là: $2 (A E + A F) = 2 (D F + A F) = 2 A D$

Mà $A D$ không đổi nên chu vi của hình chữ nhật $A E M F$ không đổi. Do đó, diện tích của tứ giác $A E M F$ lớn nhất khi $A E M F$ là hình vuông. Suy ra $M E = M F$ .