Sách bài tập Toán 8 Bài 4 (Cánh diều): Hình bình hành

Admin Vietjack Ngày: 23-09-2024 Lớp 8

2.4 K

Với giải sách bài tập Toán 8 Bài 4: Hình bình hành sách Cánh diều hay, chi tiết giúp học sinh dễ dàng xem và so sánh lời giải từ đó biết cách làm bài tập trong SBT Toán 8. Mời các bạn đón xem:

Giải SBT Toán 8 Bài 4: Hình bình hành

Giải SBT Toán 8 trang 94

Bài 16 trang 94 SBT Toán 8 Tập 1: Cho tam giác $A B C$ có $A B = A C = 3 c m$ . Từ điểm $M$ thuộc cạnh $B C$ , kẻ $M D$ song song với $A C$ và $M E$ song song với $A B$ (điểm $D, E$ lần lượt thuộc cạnh $A B, A C$ ). Tính chu vi của tứ giác $A D M E$ .

Lời giải:

Sách bài tập Toán 8 Bài 4 (Cánh diều): Hình bình hành (ảnh 1)

Do $A B = A C$ nên tam giác $A B C$ cân tại $A$ . Suy ra $\hat{A B C} = \hat{A C B}$ .

Mà $\hat{A B C} = \hat{E M C}$ (hai góc đồng vị), suy ra $\hat{A C B} = \hat{E M C}$ .

Do đó, tam giác $E C M$ cân tại $E$ . Suy ra $M E = C E$ .

Tứ giác $A D M E$ có $M D / / A E, M E / / A D$ nên $A D M E$ là hình bình hành. Vậy chu vi của hình bình hành $A D M E$ là:

$2 (A E + M E) = 2 (A E + C E) = 2 A C = 6 c m$

Bài 17 trang 94 SBT Toán 8 Tập 1: Cho tam giác $A B C$ có các đường trung tuyến $B D$ và $C E$ . Lấy các điểm $H, K$ sao cho $E$ là trung điểm của $C H, D$ là trung điểm của $B K$ . Chứng minh:

a) Các tứ giác $A H B C, A K C B$ là hình bình hành;

b) $A$ là trung điểm của $H K$ .

Lời giải:

Sách bài tập Toán 8 Bài 4 (Cánh diều): Hình bình hành (ảnh 2)

a) Tứ giác $A H B C$ có $E$ là trung điểm của hai đường chéo $A B$ và $C H$ nên $A H B C$ là hình bình hành.

Tương tự, ta chứng minh được tứ giác $A K C B$ là hình bình hành.

b) Do $A H B C$ là hình bình hành nên $A H / / B C$ , $A H = B C$ . Tương tự, $A K C B$ là hình bình hành nên $A K / / B C, A K = B C$ . Suy ra ba điểm $H, A, K$ thẳng hàng và $A H = A K$ . Vậy $A$ là trung điểm của $H K$ .

Giải SBT Toán 8 trang 95

Bài 18 trang 95 SBT Toán 8 Tập 1: Cho hình bình hành $A B C D$ . Trên cạnh $A D, B C$ lần lượt lấy điểm $E, F$ sao cho $A E = C F$ . Trên cạnh $A B, C D$ lần lượt lấy điểm $M, N$ sao cho $B M, D N$ . Chứng minh:

a) Tứ giác $E M F N$ là hình bình hành;

b) Bốn đường thẳng $A C, B D, E F, M N$ cùng đi qua một điểm.

Lời giải:

Sách bài tập Toán 8 Bài 4 (Cánh diều): Hình bình hành (ảnh 3)

a) Do $A B C D$ là hình bình hành nên $A D = B C$ và $A B = C D$ ; $\hat{A} = \hat{C}$ và $\hat{A B C} = \hat{C D A}$ .

Mà $A E = C F$ và $B M = D N$ , suy ra $D E = B F$ và $A M = C N$ .

$Δ A E M = Δ C F N$ (c.g.c). Suy ra $E M = F N$

$Δ B F M = Δ D E N$ (c.g.c). Suy ra $F M = E N$

Tứ giác EFMN có $E M = F N$ và $F M = E N$ nên $E M F N$ là hình bình hành.

b) Tứ giác $B M D N$ có $B M = D N$ và $B M / / D N$ nên $B M D N$ là hình bình hành.

Do $A B C D, E M F N, B M D N$ đều là hình bình hành nên các đường chéo của mỗi hình bình hành cắt nhau tại trung điểm của mỗi đường.

Vậy $A C, B D, E F, M N$ cùng đi qua trung điểm của mỗi đường.

Bài 19 trang 95 SBT Toán 8 Tập 1: Cho tam giác nhọn $A B C$ có ba đường cao $A M, B N, C P$ cắt nhau tại $H$ . Qua $B$ kẻ tia $B x$ vuông góc với $A B$ . Qua $C$ kẻ tia $C y$ vuông góc với $A C$ . Gọi $D$ là giao điểm của $B x$ và $C y$ (Hình 15)

a) Chứng minh tứ giác $B D C H$ là hình bình hành;

b) Tam giác $A B C$ có điều kiện gì thi ba điểm $A, D, H$ thẳng hàng?

c) Tìm mối liên hệ giữa góc $A$ và góc $D$ của tứ giác $A B C D$ .

d) Giả sử $H$ là trung điểm của $A M$ . Chứng minh diện tích của tam giác $A B C$ bằng diện tích của tứ giác $B H C D$ .

Sách bài tập Toán 8 Bài 4 (Cánh diều): Hình bình hành (ảnh 4)

Lời giải:

a) Ta có: $\hat{A P C} = \hat{A B D} = 90^{\circ}$ và $\hat{A P C}, \hat{A B D}$ nằm ở vị trí đồng vị nên $C P / / B D$ .

Tương tự ta chứng minh được $B N / / C D$ .

Tứ giác $B D C H$ có $B D / / C H, B H / / C D$ nên $B D C H$ là hình bình hành.

b) Để ba điểm $A, D, H$ thẳng hàng thì $M$ phải thuộc $D H$ . Mà $M$ thuộc $B C$ , suy ra $M$ là giao điểm của $B C$ và $D H$ .

Do $B D C H$ là hình bình hành nên hai đường chéo $B C$ và $D H$ cắt nhau tại trung điểm của mỗi đường. suy ra $M$ là trung điểm $B C$ .

Khi đó $Δ A B M = Δ A C M$ (c.g.c). Suy ra $A B = A C$ .

Dễ thấy nếu tam giác $A B C$ có $A B = A C$ thì ba điểm $A, D, H$ thẳng hàng.

Vậy tam giác $A B C$ cân tại $A$ thì $A, D, H$ thẳng hàng.

c) Xét tứ giác $A B C D$ , ta có: $\hat{B A C} + \hat{D B A} + \hat{C D B} + \hat{A C D} = 360^{\circ}$ .

Mà $\hat{D B A} = \hat{A C D} = 90^{\circ}$ , suy ra tính được $\hat{B A C} + \hat{C D B} = 3180^{\circ}$

Vậy góc $A$ và góc $D$ của tứ giác $A B C D$ là hai góc bù nhau.

d) Do $H$ là trung điểm của $A M$ nên $H M = \frac{1}{2} A M$

Ta có diện tích tam giác $A B C$ bằng: $\frac{1}{2} . A M . B C = H M . B C$ .

Ta chứng minh được $Δ B C H = Δ C B D$ (c.c.c.). Suy ra diện tích tứ giác $B H C D$ bằng 2 lần diện tích tam giác $B C H$ .

Do đó, diện tích tứ giác $B H C D$ bằng: $(\frac{1}{2} . H M . B C = H M . B C)$ vạy diện tích tam giác $A B C$ bằng điệnt tích của tứ giác $B H C D$ .

Bài 20 trang 95 SBT Toán 8 Tập 1: Cho hình bình hành $A B C D$ có $\hat{A} > 90^{\circ}$ , $A B > B C$ . Trên đường thẳng vuông góc với $B C$ tại $C$ lấy hai điểm $E, F$ sao cho $C E, C F, B C$ . Trên đường thẳng vuông góc với $C D$ tại $C$ lấy hai điểm $P, Q$ sao cho $C P = C Q = C D$ (Hình 16). Chứng minh:

a) Tứ giác $E P F F G$ là hình bình hành;

b) $A C ⊥ E P$ .

Sách bài tập Toán 8 Bài 4 (Cánh diều): Hình bình hành (ảnh 5)

Lời giải:

a) Tứ giác $E P F Q$ có hai đường chéo $E F$ và PQ cắt nhau tại trung điểm $C$ của mỗi đường nên $E F P Q$ là hình binh hành.

b) Gọi $H$ là giao điểm của $A C$ và $E P$ , $K$ là giao điểm của $A B$ và $P Q$ .

Do $A B C D$ là hình bình hành nên $A B / / C D, A D = B C$ , $\hat{B} = \hat{D}$ .

Vì $A B / / C D$ nên $\hat{B K C} = \hat{D C K} = 90^{\circ}$ (hai góc so le trong). Suy ra tam giác $B C K$ vuông tại $K$ . Do đó,

$\hat{B} = \hat{B C K} = 90^{\circ}$

Mặt khác, ta có $\hat{E C P} + \hat{B C K} = \hat{B C E} = 90^{\circ}$ nên $\hat{D} = \hat{E C P}$ .

Xét hai tam giác $A C D$ và $E P C$ , ta có:

$A D = E C$ (vì cùng bằng $B C$ ); $\hat{D} = \hat{E C P}; C D = P C$

Suy ra $Δ A C D = Δ E P C$ (c.g.c). Do đó $\hat{A C D} = \hat{E P C}$ (hai góc tương ứng) hay $\hat{A C D} = \hat{H P C}$ . Mà $\hat{A C D} + \hat{P C H} = \hat{D C P} = 90^{\circ}$ , suy ra $\hat{H P C} + \hat{P C H} = 90^{\circ}$