Thực hành 1 trang 89 Toán lớp 10: Cho hình thang ABCD có đáy là AB và CD. Cho biết $\overrightarrow{a}=\overrightarrow{AC}+\overrightarrow{CB};\overrightarrow{b}=\overrightarrow{DB}+\overrightarrow{BC}$. Chứng minh rằng hai vectơ $\overrightarrow{a}$ và $\overrightarrow{b}$ cùng hướng.

Phương pháp giải:

Bước 1: Áp dụng quy tắc ba điểm, tìm vectơ $\overrightarrow{a}$ và $\overrightarrow{b}$

Bước 2: Xác định hướng của vectơ vừa tìm được

Bước 3: So sánh hướng của 2 vectơ

Lời giải:

Áp dụng quy tắc ba điểm ta có:

$\overrightarrow{a}=\overrightarrow{AC}+\overrightarrow{CB}=\overrightarrow{AB}$; $\overrightarrow{b}=\overrightarrow{DB}+\overrightarrow{BC}=\overrightarrow{DC}$

Mà ABCD là hình thang nên AB//DC. Mặt khác vectơ $\overrightarrow{AB}$ và vectơ $\overrightarrow{DC}$ đều có hướng từ trái sang phải, suy ra vectơ $\overrightarrow{AB}$ và vectơ $\overrightarrow{DC}$cùng hướng

Vậy hai vectơ $\overrightarrow{a}$ và $\overrightarrow{b}$ cùng hướng.

Thực hành 2 trang 89 Toán lớp 10: Cho tam giác đều ABC cạnh có độ dài là a. Tính độ dài vectơ $\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AC}$ 

Phương pháp giải:

Bước 1: Dựng hình bình hành ABDC

Bước 2: Áp dụng quy tắc hình bình hành tìm tổng vectơ $\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AC}$

Bước 3: Tìm độ dài vectơ tổng.

Lời giải:

Dựng hình bình hành ABDC.

Áp dụng quy tắc hình bình hành vào ABDC ta có:

$\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AC}=\overrightarrow{AD}\Rightarrow \left|\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AC}\right|=\left|\overrightarrow{AD}\right|=AD$

Gọi O là giao điểm của AD và BC, ta có:

$AO=\sqrt{A{B}^2-B{O}^2}=\sqrt{A{B}^2-{\left(\frac{1}{2}BC\right)}^2}=\sqrt{a^2-{\left(\frac{a}{2}\right)}^2}=\frac{a\sqrt{3}}{2}$

$AD=2AO=a\sqrt{3}\Rightarrow \left|\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AC}\right|=a\sqrt{3}$

Vậy độ dài vectơ $\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AC}$ là $a\sqrt{3}$

Giải toán lớp 10 trang 90 Tập 1 Chân trời sáng tạo

Vận dụng 1 trang 90 Toán lớp 10: Một máy bay có vận tốc chỉ theo hướng bắc, vận tốc gió là một vectơ theo hướng đông như hình 7. Tính độ dài vectơ tổng của hai vectơ nói trên.

Phương pháp giải:

Bước 1: Áp dụng quy tắc 3 điểm để tìm vectơ tổng

Bước 2: Tìm độ dài vectơ tổng vừa tìm được. 

Lời giải:

Gọi vectơ chỉ vận tốc của máy bay là vectơ $\overrightarrow{AB}$ và vectơ chỉ vận tốc của gió là vectơ $\overrightarrow{BC}$.

Ta có: $\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{BC}=\overrightarrow{AC}$

Áp dụng định lý Pitago ta có:

$AC=\sqrt{A{B}^2+B{C}^2}=\sqrt{{150}^2+{30}^2}=30\sqrt{26}$   

Vậy độ dài vectơ tổng của hai vectơ nói trên là $30\sqrt{26}$ km/h

Vận dụng 2 trang 90 Toán lớp 10: Hai người cùng kéo một con thuyền với hai lực $\overrightarrow{F_1}=\overrightarrow{OA},\overrightarrow{F_2}=\overrightarrow{OB}$ có độ lớn lần lượt là 400 N, 600 N (hình 8). Cho biết góc giữa hai vectơ là ${60}^{\circ }$. Tìm độ lớn của vectơ hợp lực $\overrightarrow{F}$ là tổng của hai lực $\overrightarrow{F_1}$ và $\overrightarrow{F_2}$

Phương pháp giải:

Bước 1: Dựng hình bình hành AOBC

Bước 2: Áp dụng quy tắc hình bình hành tìm tổng lực

Bước 3: Xác định độ lớn của vectơ tổng.

Lời giải:

Áp dụng quy tắc hình bình hành ta có: $\overrightarrow{F}=\overrightarrow{F_1}+\overrightarrow{F_2}=\overrightarrow{OA}+\overrightarrow{OB}=\overrightarrow{OC}$;

$AC=OB=600$; $\widehat{AOB}={60}^{\circ }\Rightarrow \widehat{OAC}={120}^{\circ }$ (hai góc bù nhau trong hình bình hành).

Áp dụng định lý cos ta có:

$OC=\sqrt{O{A}^2+A{C}^2-2OA.AC.\cos ({120}^{\circ })}$

            $=\sqrt{{400}^2+{600}^2-\mathrm{2.400.600.}\cos ({120}^{\circ })}\simeq 871,78$N

Vậy độ lớn của vectơ hợp lực $\overrightarrow{F}$ gần bằng 871,78 N

2. Tính chất của phép cộng các vecto

HĐ Khám phá 2 trang 90 Toán lớp 10: Cho 3 vectơ $\overrightarrow{a},\overrightarrow{b},\overrightarrow{c}$ được biểu diễn như hình 9. Hãy hoàn thành các phép cộng vectơ sau và so sánh kết quả tìm được:

a) $\overrightarrow{a}+\overrightarrow{b}=\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{BC}=?$

$\overrightarrow{b}+\overrightarrow{a}=\overrightarrow{AE}+\overrightarrow{EC}=?$

b) $\left(\overrightarrow{a}+\overrightarrow{b}\right)+\overrightarrow{c}=\left(\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{BC}\right)+\overrightarrow{CD}=\overrightarrow{AC}+\overrightarrow{CD}=?$

$\overrightarrow{a}+\left(\overrightarrow{b}+\overrightarrow{c}\right)=\overrightarrow{AB}+\left(\overrightarrow{BC}+\overrightarrow{CD}\right)=\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{BD}=?$

Phương pháp giải:

Bước 1: Áp dụng quy tắc 3 điểm: $\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{BC}=\overrightarrow{AC}$;

Bước 2: So sánh các vectơ vừa tìm được

Lời giải:

a)   Áp dụng quy tắc ba điểm ta có:

$\overrightarrow{a}+\overrightarrow{b}=\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{BC}=\overrightarrow{AC}$;                                    $\overrightarrow{b}+\overrightarrow{a}=\overrightarrow{AE}+\overrightarrow{EC}=\overrightarrow{AC}$

$\Rightarrow \overrightarrow{a}+\overrightarrow{b}=\overrightarrow{b}+\overrightarrow{a}$

b)     Áp dụng quy tắc ba điểm ta có:

$\left(\overrightarrow{a}+\overrightarrow{b}\right)+\overrightarrow{c}=\left(\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{BC}\right)+\overrightarrow{CD}=\overrightarrow{AC}+\overrightarrow{CD}=\overrightarrow{AD}$

$\overrightarrow{a}+\left(\overrightarrow{b}+\overrightarrow{c}\right)=\overrightarrow{AB}+\left(\overrightarrow{BC}+\overrightarrow{CD}\right)=\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{BD}=\overrightarrow{AD}$

$\Rightarrow \left(\overrightarrow{a}+\overrightarrow{b}\right)+\overrightarrow{c}=\overrightarrow{a}+\left(\overrightarrow{b}+\overrightarrow{c}\right)$

Giải toán lớp 10 trang 91 Tập 1 Chân trời sáng tạo

Thực hành 3 trang 91 Toán lớp 10: Cho hình vuông ABCD có cạnh bằng 1. Tính độ dài các vectơ sau:

a) $\overrightarrow{a}=\left(\overrightarrow{AC}+\overrightarrow{BD}\right)+\overrightarrow{CB};$                       

b) $\overrightarrow{a}=\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AD}+\overrightarrow{BC}+\overrightarrow{DA}.$ 

Phương pháp giải:

Bước 1: Sử dụng tính chất giao hoán, kết hợp, cộng với vectơ $\overrightarrow{0}$ tìm tổng các vectơ

Bước 2: Tính độ dài vectơ vừa tìm đc, độ dài vectơ $\overrightarrow{AB}$ là \(\left| 

Lời giải:

a)       $\begin{array}{l}\overrightarrow{a}=\left(\overrightarrow{AC}+\overrightarrow{BD}\right)+\overrightarrow{CB}=\left(\overrightarrow{AC}+\overrightarrow{CB}\right)+\overrightarrow{BD}\\ =\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{BD}=\overrightarrow{AD}\Rightarrow \left|\overrightarrow{AD}\right|=AD=1\end{array}$

b)       $\begin{array}{l}\overrightarrow{a}=\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AD}+\overrightarrow{BC}+\overrightarrow{DA}=\left(\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{BC}\right)+\left(\overrightarrow{AD}+\overrightarrow{DA}\right)\\ =\overrightarrow{AC}+\overrightarrow{AA}=\overrightarrow{AC}+\overrightarrow{0}=\overrightarrow{AC}\end{array}$

$AC=\sqrt{A{B}^2+B{C}^2}=\sqrt{1^2+1^2}=\sqrt{2}$

$\Rightarrow \left|\overrightarrow{AC}\right|=\sqrt{2}$

3. Hiệu của hai vecto

HĐ Khám phá 3 trang 91 Toán lớp 10: Tìm hợp lực của hai lực đối nhau $\overrightarrow{F}$ và $-\overrightarrow{F}$ (hình 11)

Lời giải:

$\overrightarrow{F}+\left(-\overrightarrow{F}\right)=\overrightarrow{F}-\overrightarrow{F}=\overrightarrow{0}$ 

Giải toán lớp 10 trang 92 Tập 1 Chân trời sáng tạo

Thực hành 4 trang 92 Toán lớp 10: Cho hình vuông ABCD có cạnh bằng 1 và một điểm O tùy ý. Tính độ dài của các vectơ sau:

a) $\overrightarrow{a}=\overrightarrow{OB}-\overrightarrow{OD};$                              

b) $\overrightarrow{b}=\left(\overrightarrow{OC}-\overrightarrow{OA}\right)+\left(\overrightarrow{DB}-\overrightarrow{DC}\right)$.

Phương pháp giải:

Bước 1: Thay thế vectơ bằng nhau rồi tìm tổng.

Bước 2: Tìm độ dài vectơ vừa tìm đc, độ dài vectơ $\overrightarrow{AB}$ là $\left|\overrightarrow{AB}\right|=AB$. 

Lời giải:

Ta có: $AB=BC=CD=DA=1;$

            $AC=BD=\sqrt{A{B}^2+B{C}^2}=\sqrt{1^2+1^2}=\sqrt{2}$

a) $\overrightarrow{a}=\overrightarrow{OB}-\overrightarrow{OD}=\overrightarrow{OB}+\overrightarrow{DO}=\left(\overrightarrow{DO}+\overrightarrow{OB}\right)=\overrightarrow{DB}$

$\Rightarrow \left|\overrightarrow{a}\right|=\left|\overrightarrow{DB}\right|=DB=\sqrt{2}$

b)  $\overrightarrow{b}=\left(\overrightarrow{OC}-\overrightarrow{OA}\right)+\left(\overrightarrow{DB}-\overrightarrow{DC}\right)$

  $=\left(\overrightarrow{OC}+\overrightarrow{AO}\right)+\left(\overrightarrow{DB}+\overrightarrow{CD}\right)=\left(\overrightarrow{AO}+\overrightarrow{OC}\right)+\left(\overrightarrow{CD}+\overrightarrow{DB}\right)$

   $=\overrightarrow{AC}+\overrightarrow{CB}=\overrightarrow{AB}$

$\Rightarrow \left|\overrightarrow{b}\right|=\left|\overrightarrow{AB}\right|=AB=1$

Chú ý khi giải:

Khi có dấu trừ phía trước ta thường thay bằng vectơ đối của nó và ngược lại

4. Tính chất vecto của trung điểm đoạn thẳng và trọng tâm tam giác

HĐ Khám phá 4 trang 92 Toán lớp 10: a) Cho điểm M là trung điểm của đoạn thẳng AB. Ta đã biết $\overrightarrow{MB}=-\overrightarrow{MA}=\overrightarrow{AM}.$ Hoàn thành phép cộng vectơ sau: $\overrightarrow{MA}+\overrightarrow{MB}=\overrightarrow{MA}+\overrightarrow{AM}=\overrightarrow{MM}=?$

b) Cho điểm G là trọng tâm của tam giác ABC có trung tuyến AI. Lấy D là điểm đối xứng với G qua I. Ta có BGCD là hình bình hành và G là trung điểm của đoạn thẳng AD. Với lưu ý rằng $\overrightarrow{GB}+\overrightarrow{GC}=\overrightarrow{GD}$ và $\overrightarrow{GA}=\overrightarrow{DG}$, hoàn thành các phép cộng vectơ sau:

$\overrightarrow{GA}+\overrightarrow{GB}+\overrightarrow{GC}=\overrightarrow{GA}+\overrightarrow{GD}=\overrightarrow{\mathrm{D}\mathrm{D}}=?$

Phương pháp giải:

a) Thay thế các vectơ bằng nhau $\overrightarrow{MB}=-\overrightarrow{MA}=\overrightarrow{AM}.$

b) Bước 1: Áp dụng quy tắc hình bình hành trên BGCD

Bước 2: Áp dụng tính chất trung điểm vừa tìm được ở câu a) $\overrightarrow{MA}+\overrightarrow{MB}=\overrightarrow{0}$

(với M là trung điểm của AB)

Lời giải:

a) $\overrightarrow{MA}+\overrightarrow{MB}=\overrightarrow{MA}+\overrightarrow{AM}=\overrightarrow{MM}=\overrightarrow{0}$ (vì vectơ $\overrightarrow{MB}=-\overrightarrow{MA}=\overrightarrow{AM}.$)

b) Xét hình bình hành BGCD ta có: $\overrightarrow{GB}+\overrightarrow{GC}=\overrightarrow{GD}$

$\Rightarrow \overrightarrow{GA}+\overrightarrow{GB}+\overrightarrow{GC}=\overrightarrow{GA}+\overrightarrow{GD}=\overrightarrow{DG}+\overrightarrow{GD}=\overrightarrow{\mathrm{D}\mathrm{D}}=\overrightarrow{0}$

(vì $\overrightarrow{GA}=-\overrightarrow{GD}=\overrightarrow{DG}$)

Giải toán lớp 10 trang 93 Tập 1 Chân trời sáng tạo

Thực hành 5 trang 93 Toán lớp 10: Cho hình bình hành ABCD có tâm O. Tìm ba điểm M, N, P thỏa mãn:

a) $\overrightarrow{MA}+\overrightarrow{MD}+\overrightarrow{MB}=\overrightarrow{0}$ 

b) $\overrightarrow{ND}+\overrightarrow{NB}+\overrightarrow{NC}=\overrightarrow{0}$     

c) $\overrightarrow{PM}+\overrightarrow{PN}=\overrightarrow{0}$

Phương pháp giải:

a) Sử dụng tính chất trọng tâm của tam giác $\overrightarrow{GA}+\overrightarrow{GB}+\overrightarrow{GC}=\overrightarrow{0}$(với G là trọng tâm của tam giác ABC)

b) Sử dụng tính chất trọng tâm của tam giác $\overrightarrow{GA}+\overrightarrow{GB}+\overrightarrow{GC}=\overrightarrow{0}$

c) Sử dụng tính chất trung điểm $\overrightarrow{MA}+\overrightarrow{MB}=\overrightarrow{0}$(với M là trung điểm của AB)

Lời giải:

a) Áp dụng tính chất trọng tâm ta có: $\overrightarrow{MA}+\overrightarrow{MD}+\overrightarrow{MB}=\overrightarrow{0}$

Suy ra M là trọng tâm của tam giác ADB

Vậy M nằm trên đoạn thẳng AO sao cho $AM=\frac{2}{3}AO$

b) Tiếp tục áp dụng tính chất trọng tâm $\overrightarrow{ND}+\overrightarrow{NB}+\overrightarrow{NC}=\overrightarrow{0}$

Suy ra N là trọng tâm của tam giác BCD

Vậy N nằm trên đoạn thẳng OD sao cho $ON=\frac{1}{3}OD$

c) Áp dụng tính chất trung điểm ta có: $\overrightarrow{PM}+\overrightarrow{PN}=\overrightarrow{0}$

Suy ra P là trung điểm của đoạn thẳng MN

Vậy điểm P trùng với điểm O

Bài tập

Bài 1 trang 93 Toán lớp 10: Cho hình bình hành ABCD có O là giao điểm của hai đường chéo và một điểm M tùy ý. Chứng minh rằng:

a) $\overrightarrow{BA}+\overrightarrow{DC}=\overrightarrow{0}$;

b) $\overrightarrow{MA}+\overrightarrow{MC}=\overrightarrow{MB}+\overrightarrow{MD}$

Phương pháp giải:

a) Thay vectơ $\overrightarrow{DC}=\overrightarrow{AB}$

b) Bước 1: chèn điểm O: $\overrightarrow{AB}=\overrightarrow{AO}+\overrightarrow{OB}$

Bước 2: Sử dụng tính chất trung điểm: $\overrightarrow{MA}+\overrightarrow{MB}=\overrightarrow{0}$ (với M là trung điểm của đoạn thẳng AB)

Lời giải:

a)  ABCD là hình bình hành nên $\overrightarrow{DC}=\overrightarrow{AB}$

$\Rightarrow \overrightarrow{BA}+\overrightarrow{DC}=\overrightarrow{BA}+\overrightarrow{AB}=\overrightarrow{BB}=\overrightarrow{0}$

b) $\overrightarrow{MA}+\overrightarrow{MC}=\left(\overrightarrow{MB}+\overrightarrow{BA}\right)+\left(\overrightarrow{MD}+\overrightarrow{DC}\right)$

$=\left(\overrightarrow{MB}+\overrightarrow{MD}\right)+\left(\overrightarrow{BA}+\overrightarrow{DC}\right)$

$=\overrightarrow{MB}+\overrightarrow{MD}$ (Vì $\overrightarrow{BA}+\overrightarrow{DC}=\overrightarrow{0}$)

Bài 2 trang 93 Toán lớp 10: Cho tứ giác ABCD, thực hiện các phép cộng và trừ vectơ sau:

a) $\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{BC}+\overrightarrow{CD}+\overrightarrow{DA}$;

b) $\overrightarrow{AB}-\overrightarrow{AD}$;

c) $\overrightarrow{CB}-\overrightarrow{CD}$.

Lời giải:

a)$\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{BC}+\overrightarrow{CD}+\overrightarrow{DA}=\left(\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{BC}\right)+\left(\overrightarrow{CD}+\overrightarrow{DA}\right)=\overrightarrow{AC}+\overrightarrow{CA}=\overrightarrow{AA}=\overrightarrow{0}$

b) $\overrightarrow{AB}-\overrightarrow{AD}=\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{DA}=\overrightarrow{DA}+\overrightarrow{AB}=\overrightarrow{DB}$

c) $\overrightarrow{CB}-\overrightarrow{CD}=\overrightarrow{CB}+\overrightarrow{DC}=\overrightarrow{DC}+\overrightarrow{CB}=\overrightarrow{DB}$

Bài 3 trang 93 Toán lớp 10: Cho tam giác đều ABC cạnh bằng a. Tính độ dài của các vectơ:

a) $\overrightarrow{BA}+\overrightarrow{AC}$;

b) $\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AC}$;

c) $\overline{BA}-\overline{BC}$.

Phương pháp giải:

Lời giải:

a)  $$$\overrightarrow{BA}+\overrightarrow{AC}=\overrightarrow{BC}\Rightarrow \left|\overrightarrow{BC}\right|=BC=a$

b) Dựng hình bình hành ABDC, giao điểm của hai đường chéo là O ta có:

$\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AC}=\overrightarrow{AD}$

$AD=2AO=2\sqrt{A{B}^2-B{O}^2}=2\sqrt{a^2-{\left(\frac{a}{2}\right)}^2}=a\sqrt{3}$

$\Rightarrow \left|\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AC}\right|=\left|\overrightarrow{AD}\right|=AD=a\sqrt{3}$

c) $\overrightarrow{BA}-\overrightarrow{BC}=\overrightarrow{BA}+\overrightarrow{CB}=\overrightarrow{CB}+\overrightarrow{BA}=\overrightarrow{CA}$

$\Rightarrow \left|\overrightarrow{BA}-\overrightarrow{BC}\right|=\left|\overrightarrow{CA}\right|=CA=a$

Bài 4 trang 93 Toán lớp 10: Cho hình bình hành ABCD có O là giao điểm của hai đường chéo. Chứng minh rằng:

a) $\overrightarrow{OA}-\overrightarrow{OB}=\overrightarrow{OD}-\overrightarrow{OC}$;

b) $\overrightarrow{F_2}$$\overrightarrow{OA}-\overrightarrow{OB}+\overrightarrow{DC}=\overrightarrow{0}$.

Phương pháp giải:

Lời giải:

a) $\overrightarrow{OA}-\overrightarrow{OB}=\overrightarrow{BA}$

$\overrightarrow{OD}-\overrightarrow{OC}=\overrightarrow{CD}$

Do ABCD là hình bình hành nên $\overrightarrow{BA}=\overrightarrow{CD}$

Suy ra, $\overrightarrow{OA}-\overrightarrow{OB}=\overrightarrow{OD}-\overrightarrow{OC}$

b) $$\begin{gathered} \overrightarrow{OA}-\overrightarrow{OB}+\overrightarrow{DC}=(\overrightarrow{OD}-\overrightarrow{OC})+\overrightarrow{DC} \\ =\overrightarrow{CD}+\overrightarrow{DC}=\overrightarrow{CC}=\overrightarrow{0} \end{gathered}$$

Bài 5 trang 93 Toán lớp 10: Cho ba lực  $\overrightarrow{F_1}=\overrightarrow{MA},\overrightarrow{F_2}=\overrightarrow{MB}$ và $\overrightarrow{F_3}=\overrightarrow{MC}$ cùng tác động vào một vật tại điểm M và vật đứng yên. Cho biết cường độ của $\overrightarrow{F_1},\overrightarrow{F_2}$ đều là 10 N và $\widehat{AMB}=90°$. Tìm độ lớn của lực $\overrightarrow{F_3}$.

Lời giải:

Ba lực $\overrightarrow{F_1},\overrightarrow{F_2},\overrightarrow{F_3}$ cùng tác dụng vào M và vật đứng yên nên hợp lực của chúng có giá trị bằng không, hay: $$$\overrightarrow{F_1}+\overrightarrow{F_2}+\overrightarrow{F_3}=\overrightarrow{MA}+\overrightarrow{MB}+\overrightarrow{MC}=\overrightarrow{0}$

Dựng hình bình hành $MADB$, khi đó: $\overrightarrow{MA}+\overrightarrow{MB}=\overrightarrow{MD}$ 

$\Rightarrow \overrightarrow{MD}+\overrightarrow{MC}=\overrightarrow{0}$

$\Rightarrow \overrightarrow{MD},\overrightarrow{MC}$ là hai vecto đối nhau

$\Rightarrow MD=MC$

Xét hình bình hành MADB, ta có:

 AM=AB và $\widehat{AMB}={90}^{\circ }$

$\Rightarrow$ MADB là hình vuông, cạnh $AB=10$

$\Rightarrow MC=MD=AB.\sqrt{2}=10\sqrt{2}$

Vậy độ lớn của lực $\overrightarrow{F_3}$ là $\left|\overrightarrow{F_3}\right|=\left|\overrightarrow{MC}\right|=MC=10\sqrt{2}$ (N)

Bài 6 trang 93 Toán lớp 10: Khi máy bay nghiêng cánh một góc α, lực $\overrightarrow{F}$ của không khí tác động vuông góc với cánh và bằng tổng của lực nâng $\overrightarrow{F_1}$ và lực cản $\overrightarrow{F_2}$ (Hình 16). Cho biết α = 30° và |$\overrightarrow{F}$|=a. Tính |$\overrightarrow{F_1}$| và |$\overrightarrow{F_2}$| theo a.

Lời giải:

Kí hiệu các điểm như hình dưới.

Khi đó các lực $\overrightarrow{F},\overrightarrow{F_1},\overrightarrow{F_2}$ lần lượt là $\overrightarrow{AC},\overrightarrow{AD},\overrightarrow{AB}$   

$\alpha =\widehat{\mathrm{B}\mathrm{A}\mathrm{x}}={30}^{\circ }$ $\Rightarrow \widehat{CAB}={60}^{\circ }$ 

$AB=AC.c\mathrm{o}\mathrm{s}\widehat{CAB}=a.c{\mathrm{o}\mathrm{s}60}^{\circ }=\frac{a}{2}\Rightarrow \left|\overrightarrow{F_2}\right|=\left|\overrightarrow{AB}\right|=\frac{a}{2}$

$AD=BC=AC.\sin \widehat{CAB}=a.\sin {60}^{\circ }=\frac{a\sqrt{3}}{2}\Rightarrow \left|\overrightarrow{F_1}\right|=\left|\overrightarrow{AD}\right|=AD=\frac{a\sqrt{3}}{2}$

Vậy $\left|\overrightarrow{F_1}\right|=\frac{a\sqrt{3}}{2};\left|\overrightarrow{F_2}\right|=\frac{a}{2}$

Bài 7 trang 93 Toán lớp 10: Cho hình vuông ABCD có cạnh bằng a và ba điểm G, H, K  thỏa mãn $\overrightarrow{KA}+\overrightarrow{KC}=\overrightarrow{0};\overrightarrow{GA}+\overrightarrow{GB}+\overrightarrow{GC}=\overrightarrow{0};\overrightarrow{HA}+\overrightarrow{HD}+\overrightarrow{HC}=\overrightarrow{0}$. Tính độ dài các vectơ $\overrightarrow{KA},\overrightarrow{GH},\overrightarrow{AG}$.

Lời giải:

Ta có $AC=AB\sqrt{2}=a\sqrt{2}$

+) $\overrightarrow{KA}+\overrightarrow{KC}=\overrightarrow{0}$,

Suy ra K là trung điểm AC $\Rightarrow AK=\frac{1}{2}.a\sqrt{2}=\frac{a\sqrt{2}}{2}$

+) $\overrightarrow{HA}+\overrightarrow{HD}+\overrightarrow{HC}=\overrightarrow{0}$, suy ra H là trọng tâm của tam giác ADC

$\Rightarrow DH=\frac{2}{3}DK=\frac{1}{3}DB$ (1)

+) $\overrightarrow{GA}+\overrightarrow{GB}+\overrightarrow{GC}=\overrightarrow{0}$, suy ra G là trọng tâm của tam giác ABC

$\Rightarrow BG=\frac{2}{3}BK=\frac{1}{3}BD$ (2)

$(1,2)\Rightarrow HG=\frac{1}{3}BD=\frac{a\sqrt{2}}{3}$

Mà $KG=KH=\frac{1}{2}HG=\frac{a\sqrt{2}}{6}$ (2)

$\Rightarrow AG=\sqrt{A{K}^2+G{K}^2}=\sqrt{{\left(\frac{a\sqrt{2}}{2}\right)}^2+{\left(\frac{a\sqrt{2}}{6}\right)}^2}=\frac{a\sqrt{5}}{3}$

$\Rightarrow \left|\overrightarrow{AG}\right|=\frac{a\sqrt{5}}{3}$

Vậy $\left|\overrightarrow{KA}\right|=\frac{a\sqrt{2}}{2},\left|\overrightarrow{GH}\right|=\frac{a\sqrt{2}}{3},\left|\overrightarrow{AG}\right|=\frac{a\sqrt{5}}{3}$.

Bài 8 trang 93 Toán lớp 10: Một con tàu có vectơ vận tốc chỉ theo hướng nam, vận tốc của dòng nước là một vectơ theo hướng đông như Hình 17. Tính độ dài vectơ tổng của hai vectơ mói trên.

Lời giải:

Gọi vecto vận tốc của tàu là $\overrightarrow{AB}$, vecto vận tốc của dòng nước là vecto $\overrightarrow{BC}$

Ta có vecto tổng là $\overrightarrow{F}=\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{BC}=\overrightarrow{AC}$

Độ dài vecto tổng là$\left|\overrightarrow{F}\right|=\left|\overrightarrow{AC}\right|=AC=\sqrt{A{B}^2+B{C}^2}=\sqrt{{30}^2+{10}^2}=10\sqrt{10}$(km/h)

Vậy độ dài vecto tổng là $10\sqrt{10}$(km/h).

Lý thuyết Tổng và hiệu của hai vectơ

1. Tổng của hai vectơ

Cho hai vectơ $\overrightarrow{a}$ và $\overrightarrow{b}$. Từ một điểm A tùy ý, lấy hai điểm B, C sao cho $\overrightarrow{AB}=\overrightarrow{a},\overrightarrow{BC}=\overrightarrow{b}$. Khi đó $\overrightarrow{AC}$ được gọi là tổng của hai vectơ $\overrightarrow{a}$ và $\overrightarrow{b}$ và được kí hiệu là $\overrightarrow{a}+\overrightarrow{b}$.

Vậy $\overrightarrow{a}+\overrightarrow{b}=\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{BC}=\overrightarrow{AC}$.

Phép toán tìm tổng của hai vectơ được gọi là phép cộng vectơ.

Quy tắc ba điểm

Với ba điểm M, N, P, ta có $\overrightarrow{MN}+\overrightarrow{NP}=\overrightarrow{MP}$.

Chú ý: Khi cộng vectơ theo quy tắc ba điểm, điểm cuối của vectơ thứ nhất phải là điểm đầu của vectơ thứ hai.

Ví dụ: Cho các điểm A, B, C, D, E, F phân biệt. Thực hiện phép cộng các vectơ:

$\overrightarrow{AC}+\overrightarrow{CD};\overrightarrow{BC}+\overrightarrow{CB};\overrightarrow{DC}+\overrightarrow{CE}+\overrightarrow{EF}$.

Hướng dẫn giải

Áp dụng quy tắc ba điểm, ta có:

$\overrightarrow{AC}+\overrightarrow{CD}=\overrightarrow{AD}$.

$\overrightarrow{BC}+\overrightarrow{CB}=\overrightarrow{BB}=\overrightarrow{0}$.

$\overrightarrow{DC}+\overrightarrow{CE}+\overrightarrow{EF}=\overrightarrow{DE}+\overrightarrow{EF}=\overrightarrow{DF}$.

Quy tắc hình bình hành

Nếu OACB là hình bình hành thì ta có $\overrightarrow{OA}+\overrightarrow{OB}=\overrightarrow{OC}$.

Ví dụ: Cho hình chữ nhật MNPQ và hai vectơ $\overrightarrow{x},\overrightarrow{y}$ như hình bên. Tính tổng của hai vectơ $\overrightarrow{x}$ và $\overrightarrow{y}$.

Hướng dẫn giải

Ta có $\overrightarrow{x}=\overrightarrow{AD},\overrightarrow{y}=\overrightarrow{AB}$.

Suy ra $\overrightarrow{x}+\overrightarrow{y}=\overrightarrow{AD}+\overrightarrow{AB}$.

Theo quy tắc hình bình hành, ta có $\overrightarrow{AD}+\overrightarrow{AB}=\overrightarrow{AC}$.

Vậy $\overrightarrow{x}+\overrightarrow{y}=\overrightarrow{AC}$.

2. Tính chất của phép cộng các vectơ

Phép cộng vectơ có các tính chất sau:

+ Tính chất giao hoán: $\overrightarrow{a}+\overrightarrow{b}=\overrightarrow{b}+\overrightarrow{a}$.

+ Tính chất kết hợp: $\left(\overrightarrow{a}+\overrightarrow{b}\right)+\overrightarrow{c}=\overrightarrow{a}+\left(\overrightarrow{b}+\overrightarrow{c}\right)$.

+ Với mọi $\overrightarrow{a}$, ta luôn có: $\overrightarrow{a}+\overrightarrow{0}=\overrightarrow{0}+\overrightarrow{a}=\overrightarrow{a}$.

Chú ý: Từ tính chất kết hợp, ta có thể xác định được tổng của ba vectơ $\overrightarrow{a},\overrightarrow{b},\overrightarrow{c}$ ,kí hiệu là $\overrightarrow{a}+\overrightarrow{b}+\overrightarrow{c}$ với $\overrightarrow{a}+\overrightarrow{b}+\overrightarrow{c}=\left(\overrightarrow{a}+\overrightarrow{b}\right)+\overrightarrow{c}$.

Ví dụ: Cho tứ giác MNPQ. Thực hiện các phép cộng vectơ sau:

a) $\left(\overrightarrow{MN}+\overrightarrow{PM}\right)+\overrightarrow{NQ}$.

b) $\overrightarrow{MN}+\overrightarrow{QP}+\overrightarrow{NQ}+\overrightarrow{PM}$.

Hướng dẫn giải

Áp dụng tính chất giao hoán và tính chất kết hợp của phép cộng vectơ, ta được:

a) $\left(\overrightarrow{MN}+\overrightarrow{PM}\right)+\overrightarrow{NQ}=\left(\overrightarrow{PM}+\overrightarrow{MN}\right)+\overrightarrow{NQ}=\overrightarrow{PN}+\overrightarrow{NQ}=\overrightarrow{PQ}$.

b) $\overrightarrow{MN}+\overrightarrow{QP}+\overrightarrow{NQ}+\overrightarrow{PM}=\left(\overrightarrow{MN}+\overrightarrow{NQ}\right)+\left(\overrightarrow{QP}+\overrightarrow{PM}\right)=\overrightarrow{MQ}+\overrightarrow{QM}=\overrightarrow{MM}=\overrightarrow{0}$.

Chú ý: Cho vectơ tùy ý $\overrightarrow{a}=\overrightarrow{AB}$.

Ta có $\overrightarrow{a}+\left(-\overrightarrow{a}\right)=\overrightarrow{AB}+\left(-\overrightarrow{AB}\right)=\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{BA}=\overrightarrow{AA}=\overrightarrow{0}$.

Tổng hai vectơ đối nhau luôn bằng vectơ-không: $\overrightarrow{a}+\left(-\overrightarrow{a}\right)=\overrightarrow{0}$.

3. Hiệu của hai vectơ

Cho hai vectơ $\overrightarrow{a}$ và $\overrightarrow{b}$. Hiệu của hai vectơ $\overrightarrow{a}$ và $\overrightarrow{b}$ là vectơ \$\overrightarrow{a}+\left(-\overrightarrow{b}\right)$ và kí hiệu là $\overrightarrow{a}-\overrightarrow{b}$.

Phép toán tìm hiệu của hai vectơ được gọi là phép trừ vectơ.

Ví dụ: Cho các điểm D, E, F, G phân biệt. Thực hiện các phép trừ vectơ sau: $\overrightarrow{DE}-\overrightarrow{FE};\overrightarrow{GD}-\overrightarrow{GF}$.

Hướng dẫn giải

Ta có: $\overrightarrow{DE}-\overrightarrow{FE}=\overrightarrow{DE}+\left(-\overrightarrow{FE}\right)=\overrightarrow{DE}+\overrightarrow{EF}=\overrightarrow{DF}$.

$\overrightarrow{GD}-\overrightarrow{GF}=\overrightarrow{GD}+\left(-\overrightarrow{GF}\right)=\overrightarrow{GD}+\overrightarrow{FG}=\overrightarrow{FG}+\overrightarrow{GD}=\overrightarrow{FD}$.

Chú ý: Cho ba điểm O, A, B, ta có:$\overrightarrow{OB}-\overrightarrow{OA}=\overrightarrow{AB}$.

Ví dụ: Cho hình vuông ABCD và một điểm M tùy ý. Thực hiện các phép trừ vectơ sau: $\overrightarrow{OB}-\overrightarrow{OD};\left(\overrightarrow{OC}-\overrightarrow{OA}\right)+\left(\overrightarrow{DB}-\overrightarrow{DC}\right)$.

Hướng dẫn giải

Ta có $\overrightarrow{OB}-\overrightarrow{OD}=\overrightarrow{DB}$.

$\left(\overrightarrow{OC}-\overrightarrow{OA}\right)+\left(\overrightarrow{DB}-\overrightarrow{DC}\right)=\overrightarrow{AC}+\overrightarrow{CB}=\overrightarrow{AB}$.

4. Tính chất vectơ của trung điểm đoạn thẳng và trọng tâm tam giác

Điểm M là trung điểm của đoạn thẳng AB khi và chỉ khi $\overrightarrow{MA}+\overrightarrow{MB}=\overrightarrow{0}$.

Điểm G là trọng tâm của tam giác ABC khi và chỉ khi $\overrightarrow{GA}+\overrightarrow{GB}+\overrightarrow{GC}=\overrightarrow{0}$.

Ví dụ: Cho hình bình hành ABCD có tâm O. Hai điểm E, F lần lượt là trung điểm AB, BC. Gọi G là trọng tâm của tam giác ABC. Chứng minh rằng:

a) $\overrightarrow{OA}+\overrightarrow{OC}+\overrightarrow{OD}+\overrightarrow{OE}+\overrightarrow{OF}=\overrightarrow{0}$.

b) $\overrightarrow{GA}+\overrightarrow{GC}+\overrightarrow{GD}=\overrightarrow{BD}$.

Hướng dẫn giải

a) Vì ABCD là hình bình hành tâm O nên O là trung điểm AC (tính chất hình bình hành).

Lại có E là trung điểm AB (gt)

Do đó OE là đường trung bình của tam giác ABC.

Suy ra OE // BC và OE = $\frac{1}{2}BC$ = BF (với F là trung điểm BC).

Khi đó ta có tứ giác OEBF là hình bình hành.

Áp dụng quy tắc hình bình hành cho OEBF, ta được: $\overrightarrow{OE}+\overrightarrow{OF}=\overrightarrow{OB}$.

Vì ABCD là hình bình hành tâm O nên O là trung điểm AC và BD (tính chất hình bình hành).

Do đó $\overrightarrow{OA}+\overrightarrow{OC}=\overrightarrow{0}$ và $\overrightarrow{OD}+\overrightarrow{OB}=\overrightarrow{0}$.

Ta có $\overrightarrow{OA}+\overrightarrow{OC}+\overrightarrow{OD}+\overrightarrow{OE}+\overrightarrow{OF}$

$=\left(\overrightarrow{OA}+\overrightarrow{OC}\right)+\overrightarrow{OD}+\left(\overrightarrow{OE}+\overrightarrow{OF}\right)$

$=\overrightarrow{0}+\overrightarrow{OD}+\overrightarrow{OB}=\overrightarrow{0}+\overrightarrow{0}=\overrightarrow{0}$.

Vậy $\overrightarrow{OA}+\overrightarrow{OC}+\overrightarrow{OD}+\overrightarrow{OE}+\overrightarrow{OF}=\overrightarrow{0}$.

b) Vì G là trọng tâm của tam giác ABC nên $\overrightarrow{GA}+\overrightarrow{GB}+\overrightarrow{GC}=\overrightarrow{0}$.

Theo quy tắc ba điểm, ta có: $\overrightarrow{GD}=\overrightarrow{GB}+\overrightarrow{BD}=\overrightarrow{GB}+\overrightarrow{BC}+\overrightarrow{CD}$.

Ta có $\overrightarrow{GA}+\overrightarrow{GC}+\overrightarrow{GD}$

$=\overrightarrow{GA}+\overrightarrow{GC}+\overrightarrow{GB}+\overrightarrow{BC}+\overrightarrow{CD}$

$=\left(\overrightarrow{GA}+\overrightarrow{GC}+\overrightarrow{GB}\right)+\left(\overrightarrow{BC}+\overrightarrow{CD}\right)$ 

$=\overrightarrow{0}+\overrightarrow{BD}=\overrightarrow{BD}$.

Vậy $\overrightarrow{GA}+\overrightarrow{GC}+\overrightarrow{GD}=\overrightarrow{BD}$.

Xem thêm các bài giải SGK Toán 10 Chân trời sáng tạo hay, chi tiết khác:

Bài 1: Khái niệm vecto

Bài 3: Tích của một số với một vecto

Bài 4: Tích vô hướng của hai vecto

Bài tập cuối chương 5