Giải toán 10 trang 93 Tập 1 Chân trời sáng tạo

Lữ Ngọc My My Ngày: 17-02-2023 Lớp 10

319

Với Giải toán 10 trang 93 Tập 1 Chân trời sáng tạo chi tiết giúp học sinh dễ dàng xem và so sánh lời giải từ đó biết cách làm bài tập Toán 10. Mời các bạn đón xem:

Giải toán 10 trang 93 Tập 1 Chân trời sáng tạo

Thực hành 5 trang 93 Toán lớp 10: Cho hình bình hành ABCD có tâm O. Tìm ba điểm M, N, P thỏa mãn:

a) $\vec{M A} + \vec{M D} + \vec{M B} = \vec{0}$

b) $\vec{N D} + \vec{N B} + \vec{N C} = \vec{0}$

c) $\vec{P M} + \vec{P N} = \vec{0}$

Phương pháp giải:

a) Sử dụng tính chất trọng tâm của tam giác $\vec{G A} + \vec{G B} + \vec{G C} = \vec{0}$ (với G là trọng tâm của tam giác ABC)

b) Sử dụng tính chất trọng tâm của tam giác $\vec{G A} + \vec{G B} + \vec{G C} = \vec{0}$

c) Sử dụng tính chất trung điểm $\vec{M A} + \vec{M B} = \vec{0}$ (với M là trung điểm của AB)

Lời giải:

a) Áp dụng tính chất trọng tâm ta có: $\vec{M A} + \vec{M D} + \vec{M B} = \vec{0}$

Suy ra M là trọng tâm của tam giác ADB

Vậy M nằm trên đoạn thẳng AO sao cho $A M = \frac{2}{3} A O$

b) Tiếp tục áp dụng tính chất trọng tâm $\vec{N D} + \vec{N B} + \vec{N C} = \vec{0}$

Suy ra N là trọng tâm của tam giác BCD

Vậy N nằm trên đoạn thẳng OD sao cho $O N = \frac{1}{3} O D$

c) Áp dụng tính chất trung điểm ta có: $\vec{P M} + \vec{P N} = \vec{0}$

Suy ra P là trung điểm của đoạn thẳng MN

Vậy điểm P trùng với điểm O

Bài 1 trang 93 Toán lớp 10: Cho hình bình hành ABCD có O là giao điểm của hai đường chéo và một điểm M tùy ý. Chứng minh rằng:

a) $\vec{B A} + \vec{D C} = \vec{0}$ ;

b) $\vec{M A} + \vec{M C} = \vec{M B} + \vec{M D}$

Phương pháp giải:

a) Thay vectơ $\vec{D C} = \vec{A B}$

b) Bước 1: chèn điểm O: $\vec{A B} = \vec{A O} + \vec{O B}$

Bước 2: Sử dụng tính chất trung điểm: $\vec{M A} + \vec{M B} = \vec{0}$ (với M là trung điểm của đoạn thẳng AB)

Lời giải:

a) ABCD là hình bình hành nên $\vec{D C} = \vec{A B}$

$\Rightarrow \vec{B A} + \vec{D C} = \vec{B A} + \vec{A B} = \vec{B B} = \vec{0}$

b) $\vec{M A} + \vec{M C} = (\vec{M B} + \vec{B A}) + (\vec{M D} + \vec{D C})$

$= (\vec{M B} + \vec{M D}) + (\vec{B A} + \vec{D C})$

$= \vec{M B} + \vec{M D}$ (Vì $\vec{B A} + \vec{D C} = \vec{0}$ )

Bài 2 trang 93 Toán lớp 10: Cho tứ giác ABCD, thực hiện các phép cộng và trừ vectơ sau:

a) $\vec{A B} + \vec{B C} + \vec{C D} + \vec{D A}$ ;

b) $\vec{A B} - \vec{A D}$ ;

c) $\vec{C B} - \vec{C D}$ .

Lời giải:

a) $\vec{A B} + \vec{B C} + \vec{C D} + \vec{D A} = (\vec{A B} + \vec{B C}) + (\vec{C D} + \vec{D A}) = \vec{A C} + \vec{C A} = \vec{A A} = \vec{0}$

b) $\vec{A B} - \vec{A D} = \vec{A B} + \vec{D A} = \vec{D A} + \vec{A B} = \vec{D B}$

c) $\vec{C B} - \vec{C D} = \vec{C B} + \vec{D C} = \vec{D C} + \vec{C B} = \vec{D B}$

Bài 3 trang 93 Toán lớp 10: Cho tam giác đều ABC cạnh bằng a. Tính độ dài của các vectơ:

a) $\vec{B A} + \vec{A C}$ ;

b) $\vec{A B} + \vec{A C}$ ;

c) $\bar{B A} - \bar{B C}$ .

Phương pháp giải:

a) Sử dụng quy tắc ba điểm $\vec{A B} + \vec{B C} = \vec{A C}$

Bước 1: Dựng hình bình hành ABDC, xác định giao điểm của 2 đường chéo là điểm O.

Bước 2: Xác định vectot tổng $\vec{A B} + \vec{A C} = ?$

Bước 3: Tính độ dài của vecto tìm được

Bước 1: Thay thế vecto đối $\vec{A B} = - \vec{B A}$

Bước 2: Sử dụng quy tắc ba điểm tính vecto tổng

Bước 3: Tính độ dài

Lời giải:

a) $\vec{B A} + \vec{A C} = \vec{B C} \Rightarrow | \vec{B C} | = B C = a$

b) Dựng hình bình hành ABDC, giao điểm của hai đường chéo là O ta có:

$\vec{A B} + \vec{A C} = \vec{A D}$

$A D = 2 A O = 2 \sqrt{A B^{2} - B O^{2}} = 2 \sqrt{a^{2} - {(\frac{a}{2})}^{2}} = a \sqrt{3}$

$\Rightarrow | \vec{A B} + \vec{A C} | = | \vec{A D} | = A D = a \sqrt{3}$

c) $\vec{B A} - \vec{B C} = \vec{B A} + \vec{C B} = \vec{C B} + \vec{B A} = \vec{C A}$

$\Rightarrow | \vec{B A} - \vec{B C} | = | \vec{C A} | = C A = a$

Bài 4 trang 93 Toán lớp 10: Cho hình bình hành ABCD có O là giao điểm của hai đường chéo. Chứng minh rằng:

a) $\vec{O A} - \vec{O B} = \vec{O D} - \vec{O C}$ ;

b) $\vec{F_{2}}$ $\vec{O A} - \vec{O B} + \vec{D C} = \vec{0}$ .

Phương pháp giải:

Vận dụng quy tắc hiệu: $\vec{O A} - \vec{O B} = \vec{B A}$

Lời giải:

a) $\vec{O A} - \vec{O B} = \vec{B A}$

$\vec{O D} - \vec{O C} = \vec{C D}$

Do ABCD là hình bình hành nên $\vec{B A} = \vec{C D}$

Suy ra, $\vec{O A} - \vec{O B} = \vec{O D} - \vec{O C}$

b) $\vec{O A} - \vec{O B} + \vec{D C} = (\vec{O D} - \vec{O C}) + \vec{D C} = \vec{C D} + \vec{D C} = \vec{C C} = \vec{0}$

Bài 5 trang 93 Toán lớp 10: Cho ba lực $\vec{F_{1}} = \vec{M A}, \vec{F_{2}} = \vec{M B}$ và $\vec{F_{3}} = \vec{M C}$ cùng tác động vào một vật tại điểm M và vật đứng yên. Cho biết cường độ của $\vec{F_{1}}, \vec{F_{2}}$ đều là 10 N và $\hat{A M B} = 90 °$ . Tìm độ lớn của lực $\vec{F_{3}}$ .

Lời giải:

Ba lực $\vec{F_{1}}, \vec{F_{2}}, \vec{F_{3}}$ cùng tác dụng vào M và vật đứng yên nên hợp lực của chúng có giá trị bằng không, hay: $\vec{F_{1}} + \vec{F_{2}} + \vec{F_{3}} = \vec{M A} + \vec{M B} + \vec{M C} = \vec{0}$

Dựng hình bình hành $M A D B$ , khi đó: $\vec{M A} + \vec{M B} = \vec{M D}$

$\Rightarrow \vec{M D} + \vec{M C} = \vec{0}$

$\Rightarrow \vec{M D}, \vec{M C}$ là hai vecto đối nhau

$\Rightarrow M D = M C$

Xét hình bình hành MADB, ta có:

AM=AB và $\hat{A M B} = 90^{\circ}$

$\Rightarrow$ MADB là hình vuông, cạnh $A B = 10$

$\Rightarrow M C = M D = A B . \sqrt{2} = 10 \sqrt{2}$

Vậy độ lớn của lực $\vec{F_{3}}$ là $| \vec{F_{3}} | = | \vec{M C} | = M C = 10 \sqrt{2}$ (N)

Bài 6 trang 93 Toán lớp 10: Khi máy bay nghiêng cánh một góc α, lực $\vec{F}$ của không khí tác động vuông góc với cánh và bằng tổng của lực nâng $\vec{F_{1}}$ và lực cản $\vec{F_{2}}$ (Hình 16). Cho biết α = 30° và | $\vec{F}$ |=a. Tính | $\vec{F_{1}}$ | và | $\vec{F_{2}}$ | theo a.

Khi máy bay nghiêng cánh một góc Alpha, lực F của không khí tác động vuông góc với cánh

Lời giải:

Kí hiệu các điểm như hình dưới.

Khi đó các lực $\vec{F}, \vec{F_{1}}, \vec{F_{2}}$ lần lượt là $\vec{A C}, \vec{A D}, \vec{A B}$

$α = \hat{B A x} = 30^{\circ}$ $\Rightarrow \hat{C A B} = 60^{\circ}$

$A B = A C . c o s \hat{C A B} = a . c {o s 60}^{\circ} = \frac{a}{2} \Rightarrow | \vec{F_{2}} | = | \vec{A B} | = \frac{a}{2}$

$A D = B C = A C . \sin \hat{C A B} = a . \sin 60^{\circ} = \frac{a \sqrt{3}}{2} \Rightarrow | \vec{F_{1}} | = | \vec{A D} | = A D = \frac{a \sqrt{3}}{2}$

Vậy $| \vec{F_{1}} | = \frac{a \sqrt{3}}{2}; | \vec{F_{2}} | = \frac{a}{2}$

Bài 7 trang 93 Toán lớp 10: Cho hình vuông ABCD có cạnh bằng a và ba điểm G, H, K thỏa mãn $\vec{K A} + \vec{K C} = \vec{0}; \vec{G A} + \vec{G B} + \vec{G C} = \vec{0}; \vec{H A} + \vec{H D} + \vec{H C} = \vec{0}$ . Tính độ dài các vectơ $\vec{K A}, \vec{G H}, \vec{A G}$ .

Lời giải:

Ta có $A C = A B \sqrt{2} = a \sqrt{2}$

+) $\vec{K A} + \vec{K C} = \vec{0}$ ,

Suy ra K là trung điểm AC $\Rightarrow A K = \frac{1}{2} . a \sqrt{2} = \frac{a \sqrt{2}}{2}$

+) $\vec{H A} + \vec{H D} + \vec{H C} = \vec{0}$ , suy ra H là trọng tâm của tam giác ADC

$\Rightarrow D H = \frac{2}{3} D K = \frac{1}{3} D B$ (1)

+) $\vec{G A} + \vec{G B} + \vec{G C} = \vec{0}$ , suy ra G là trọng tâm của tam giác ABC

$\Rightarrow B G = \frac{2}{3} B K = \frac{1}{3} B D$ (2)

$(1, 2) \Rightarrow H G = \frac{1}{3} B D = \frac{a \sqrt{2}}{3}$

Mà $K G = K H = \frac{1}{2} H G = \frac{a \sqrt{2}}{6}$ (2)

$\Rightarrow A G = \sqrt{A K^{2} + G K^{2}} = \sqrt{{(\frac{a \sqrt{2}}{2})}^{2} + {(\frac{a \sqrt{2}}{6})}^{2}} = \frac{a \sqrt{5}}{3}$

$\Rightarrow | \vec{A G} | = \frac{a \sqrt{5}}{3}$

Vậy $| \vec{K A} | = \frac{a \sqrt{2}}{2}, | \vec{G H} | = \frac{a \sqrt{2}}{3}, | \vec{A G} | = \frac{a \sqrt{5}}{3}$ .

Bài 8 trang 93 Toán lớp 10: Một con tàu có vectơ vận tốc chỉ theo hướng nam, vận tốc của dòng nước là một vectơ theo hướng đông như Hình 17. Tính độ dài vectơ tổng của hai vectơ mói trên.

Một con tàu có vectơ vận tốc chỉ theo hướng nam, vận tốc của dòng nước