Bài 7 trang 93 Toán 10 Tập 1 | Chân trời sáng tạo Giải Toán lớp 10

Với giải Bài 7 trang 93 Toán lớp 10 Chân trời sáng tạo chi tiết trong Bài 2: Tổng và hiệu của hai vecto học sinh dễ dàng xem và so sánh lời giải từ đó biết cách làm bài tập Toán 10. Mời các bạn đón xem:

Giải bài tập Toán lớp 10 Bài 2: Tổng và hiệu của hai vecto

Bài 7 trang 93 Toán lớp 10: Cho hình vuông ABCD có cạnh bằng a và ba điểm G, H, K thỏa mãn $\vec{K A} + \vec{K C} = \vec{0}; \vec{G A} + \vec{G B} + \vec{G C} = \vec{0}; \vec{H A} + \vec{H D} + \vec{H C} = \vec{0}$ . Tính độ dài các vectơ $\vec{K A}, \vec{G H}, \vec{A G}$ .

Lời giải:

Ta có $A C = A B \sqrt{2} = a \sqrt{2}$

+) $\vec{K A} + \vec{K C} = \vec{0}$ ,

Suy ra K là trung điểm AC $\Rightarrow A K = \frac{1}{2} . a \sqrt{2} = \frac{a \sqrt{2}}{2}$

+) $\vec{H A} + \vec{H D} + \vec{H C} = \vec{0}$ , suy ra H là trọng tâm của tam giác ADC

$\Rightarrow D H = \frac{2}{3} D K = \frac{1}{3} D B$ (1)

+) $\vec{G A} + \vec{G B} + \vec{G C} = \vec{0}$ , suy ra G là trọng tâm của tam giác ABC

$\Rightarrow B G = \frac{2}{3} B K = \frac{1}{3} B D$ (2)

$(1, 2) \Rightarrow H G = \frac{1}{3} B D = \frac{a \sqrt{2}}{3}$

Mà $K G = K H = \frac{1}{2} H G = \frac{a \sqrt{2}}{6}$ (2)

$\Rightarrow A G = \sqrt{A K^{2} + G K^{2}} = \sqrt{{(\frac{a \sqrt{2}}{2})}^{2} + {(\frac{a \sqrt{2}}{6})}^{2}} = \frac{a \sqrt{5}}{3}$

$\Rightarrow | \vec{A G} | = \frac{a \sqrt{5}}{3}$

Vậy $| \vec{K A} | = \frac{a \sqrt{2}}{2}, | \vec{G H} | = \frac{a \sqrt{2}}{3}, | \vec{A G} | = \frac{a \sqrt{5}}{3}$ .

Bài tập vận dụng:

Bài 1. Cho hình bình hành ABCD có O là giao điểm của hai đường chéo. Chứng minh rằng:

a) $\vec{O A} + \vec{O B} + \vec{O C} + \vec{O D} = \vec{0}$ .

b) $\vec{D A} - \vec{D B} + \vec{D C} = \vec{0}$ .

c) $\vec{D O} + \vec{A O} = \vec{A B}$ .

Hướng dẫn giải

a) Vì O là tâm của hình bình hành ABCD nên O là trung điểm của AC và BD (tính chất hình bình hành).

Do đó ta có $\vec{O A} + \vec{O C} = \vec{0}$ (1) và $\vec{O B} + \vec{O D} = \vec{0}$ (2).

Lấy (1) + (2) vế theo vế ta được: $\vec{O A} + \vec{O B} + \vec{O C} + \vec{O D} = \vec{0} + \vec{0} = \vec{0}$ .

b) Vì ABCD là hình bình hành nên BA // DC và BA = DC.

Mà $\vec{B A}, \vec{D C}$ ngược hướng.

Do đó $\vec{B A} = - \vec{D C}$ .

Ta suy ra $\vec{B A} + \vec{D C} = \vec{0}$ .

Ta có $\vec{D A} - \vec{D B} + \vec{D C} = \vec{B A} + \vec{D C} = \vec{0}$ .

c) Ta có O là trung điểm BD nên DO = OB.

Mà $\vec{D O}, \vec{O B}$ cùng hướng.

Do đó $\vec{D O} = \vec{O B}$ .

Ta có $\vec{D O} + \vec{A O} = \vec{O B} + \vec{A O} = \vec{A O} + \vec{O B} = \vec{A B}$ .

Bài 2. Cho hình vuông ABCD cạnh a, tâm O. Tính độ dài các vectơ:

a) $\vec{A B} + \vec{A D}$ .

b) $\vec{O A} - \vec{C B}$ .

Hướng dẫn giải

a) Vì ABCD là hình vuông nên $\vec{A B} + \vec{A D} = \vec{A C}$ .

Do đó $|\vec{A B} + \vec{A D}| = |\vec{A C}| = A C$ .

Tam giác ABC vuông tại B: AC² = AB² + BC² (Định lý Py ‒ ta ‒ go)

⇔ AC² = a² + a² = 2a²

⇒ AC = $a \sqrt{2}$ .

Vậy $|\vec{A B} + \vec{A D}| = a \sqrt{2}$ .

b) Vì ABCD là hình vuông nên ta có BD = AC = $a \sqrt{2}$ và AD = CB.

Mà $\vec{C B}, \vec{A D}$ ngược hướng.

Do đó $\vec{A D} = - \vec{C B}$ .

Ta có $\vec{O A} - \vec{C B} = \vec{O A} + \vec{A D} = \vec{O D}$ .

Do đó $|\vec{O A} - \vec{C B}| = |\vec{O D}| = O D$ .

Vì O là tâm của hình vuông ABCD nên O là trung điểm BD.

Do đó OD = $\frac{B D}{2} = \frac{a \sqrt{2}}{2}$ .

Vậy $|\vec{O A} - \vec{C B}| = \frac{a \sqrt{2}}{2}$ .

Bài 3. Một con thuyền trôi theo hướng nam vận tốc 25 km/h, dòng nước chảy theo hướng đông với vận tốc 10 km/h. Tính độ dài vectơ tổng của hai vectơ nói trên (làm tròn kết quả đến hàng trăm).

Hướng dẫn giải