Giải SGK Toán 10 Bài 4 (Chân trời sáng tạo): Tích vô hướng của hai vecto

Nguyễn Linh Anh Ngày: 24-08-2024 Lớp 10

5 K

Tailieumoi.vn giới thiệu Giải bài tập Toán lớp 10 Bài 4: Tích vô hướng của hai vecto chi tiết sách Toán 10 Tập 1 Chân trời sáng tạo giúp học sinh xem và so sánh lời giải từ đó biết cách làm bài tập môn Toán 10. Mời các bạn đón xem:

Giải bài tập Toán lớp 10 Bài 4: Tích vô hướng của hai vecto

1. Góc giữa hai vecto

Giải toán lớp 10 trang 98 Tập 1 Chân trời sáng tạo

HĐ Khám phá 1 trang 98 Toán lớp 10: Cho hình vuông ABCD có tâm I (Hình 1).

a) Tính $\hat{I D C}$ .

b) Tìm hai vectơ cùng có điểm đầu là D và điểm cuối lần lượt là I và C

c) Tìm hai vectơ có điểm đầu là D và lần lượt bằng vectơ $\vec{I B}$ và $\vec{A B}$

Lời giải:

a) I là tâm của ABCD, suy ra $\hat{I D C} = 45^{\circ}$

b) Vectơ có điểm đầu là D và điểm cuối là I là $\vec{D I}$

Vectơ có điểm đầu là D và điểm cuối là C là $\vec{D C}$

c) Vectơ có điểm đầu là D và bằng vectơ $\vec{I B}$ là $\vec{D I}$

Vectơ có điểm đầu là D và bằng vectơ $\vec{A B}$ là $\vec{D C}$

Giải toán lớp 10 trang 99 Tập 1 Chân trời sáng tạo

Thực hành 1 trang 99 Toán lớp 10: Cho tam giác đều ABC có H là trung điểm của cạnh BC. Tìm các góc:

$(\vec{A B}, \vec{A C}), (\vec{A B}, \vec{B C}), (\vec{A H}, \vec{B C}), (\vec{B H}, \vec{B C}), (\vec{H B}, \vec{B C})$ .

Phương pháp giải:

Bước 1: Xác định hai vectơ cần tìm góc

Bước 2: Đưa 2 vectơ về cùng điểm đầu (chung gốc)

Bước 3: Xác định góc giữa 2 vectơ, chẳng hạn: $(\vec{A B}, \vec{A C}) = \hat{B A C}$

Lời giải:

+) $(\vec{A B}, \vec{A C}) = \hat{A B C} = 60^{\circ}$

+) Dựng hình bình hành ABCD, ta có: $\vec{A D} = \vec{B C}$

$\Rightarrow (\vec{A B}, \vec{B C}) = (\vec{A B}, \vec{A D}) = \hat{B A D} = 120^{\circ}$

+), Ta có: ABC là tam giác đều, H là trung điểm BC nên $A H ⊥ B C$

$(\vec{A H}, \vec{B C}) = (\vec{A H}, \vec{A D}) = \hat{H A D} = 90^{\circ}$

+) Hai vectơ $\vec{B H}$ và $\vec{B C}$ cùng hướng nên $(\vec{B H}, \vec{B C}) = 0^{\circ}$

+) Hai vectơ $\vec{H B}$ và $\vec{B C}$ ngược hướng nên $(\vec{H B}, \vec{B C}) = 180^{\circ}$

2. Tích vô hướng của hai vecto

HĐ Khám phá 2 trang 99 Toán lớp 10: Một người dùng một lực $\vec{F}$ có cường độ là 10 N kéo một chiếc xe đi quãng đường dài 100 m. Tính công sinh bởi lực $\vec{F}$ , biết rằng góc giữa vectơ $\vec{F}$ và hướng di chuyển là 45 $°$ . (Công A (đơn vị: J) bằng tích của ba đại lượng: cường độ của lực $\vec{F}$ , độ dài quãng đường và côsin các góc giữa vectơ $\vec{F}$ và độ dịch chuyển $\vec{d}$ ).

Lời giải:

Theo giả thiết ta có: $A = | \vec{F} | . | \vec{d} | . \cos (\vec{F}, \vec{d})$

$\Rightarrow A = 10.100. \cos 45^{\circ} = 500 \sqrt{2} (J)$

Vậy công sinh bởi lực $\vec{F}$ là $500 \sqrt{2}$ (J)

Giải toán lớp 10 trang 100 Tập 1 Chân trời sáng tạo

Thực hành 2 trang 100 Toán lớp 10: Cho tam giác ABC vuông cân tại A, có cạnh huyền bằng $\sqrt{2}$ .

Tính các tích vô hướng: $\vec{A B} . \vec{A C}, \vec{A C} . \vec{B C}, \vec{B A} . \vec{B C}$

Phương pháp giải:

Bước 1: Vận dụng công thức $\vec{A B} . \vec{A C} = | \vec{A B} | . | \vec{A C} | . \cos (\vec{A B}, \vec{A C})$

Bước 2: Xác định độ dài cạnh AB, AC và góc giữa hai vecto $(\vec{A B}, \vec{A C}) = \hat{B A C}$

Lời giải:

+) Ta có: $A B ⊥ A C \Rightarrow \vec{A B} ⊥ \vec{A C} \Rightarrow \vec{A B} . \vec{A C} = 0$

+) $\vec{A C} . \vec{B C} = | \vec{A C} | . | \bar{B C} | . \cos (\vec{A C}, \vec{B C})$

Ta có: $B C = \sqrt{A B^{2} + A C^{2}} = \sqrt{2} \Leftrightarrow \sqrt{2 A C^{2}} = \sqrt{2}$ $\Rightarrow A C = 1$

$\Rightarrow \vec{A C} . \vec{B C} = 1. \sqrt{2} . \cos (45^{\circ}) = 1$

+) $\vec{B A} . \vec{B C} = | \vec{B A} | . | \vec{B C} | . \cos (\vec{B A}, \vec{B C}) = 1. \sqrt{2} . \cos (45^{\circ}) = 1$

Thực hành 3 trang 100 Toán lớp 10: Hai vectơ $\vec{a}$ và $\vec{b}$ có độ dài lần lượt là 3 và 8 có tích vô hướng là $12 \sqrt{2}$ .Tính góc giữa hai vectơ $\vec{a}$ và $\vec{b}$

Phương pháp giải:

Sử dụng công thức $\vec{a} . \vec{b} = | \vec{a} | . | \vec{b} | . \cos (\vec{a}, \vec{b}) \Rightarrow \cos (\vec{a}, \vec{b}) = \frac{\vec{a} . \vec{b}}{| \vec{a} | . | \vec{b} |}$

Lời giải:

Ta có: $\vec{a} . \vec{b} = | \vec{a} | . | \vec{b} | . \cos (\vec{a}, \vec{b})$

$\Leftrightarrow 12 \sqrt{2} = 3.8. \cos (\vec{a}, \vec{b}) \Leftrightarrow \cos (\vec{a}, \vec{b}) = \frac{\sqrt{2}}{2}$

$\Rightarrow (\vec{a}, \vec{b}) = 45^{\circ}$

Vậy góc giữa hai vectơ $\vec{a}$ và $\vec{b}$ là $45^{\circ}$

Vận dụng 1 trang 100 Toán lớp 10: Một người dùng một lực $\vec{F}$ có độ lớn là 20 N kéo một vật dịch chuyển một đoạn 50 m cùng hướng với $\vec{F}$ . Tính công sinh bởi lực $\vec{F}$ .

Phương pháp giải:

Công thức tính công: $A = \vec{F} . \vec{d}$

Tích vô hướng: $\vec{F} . \vec{d} = | \vec{F} | . | \vec{d} | . \cos (\vec{F}, \vec{d})$

Lời giải:

Gọi vectơ dịch chuyển của vật là $\vec{d}$ , ta có $| \vec{d} | = 50$ .

Theo giả thiết $\vec{F}$ và $\vec{d}$ cùng hướng nên $(\vec{F}, \vec{d}) = 0^{\circ}$

Công sinh ra bởi lực $\vec{F}$ được tính bằng:

$A = \vec{F} . \vec{d} = | \vec{F} | . | \vec{d} | . \cos (\vec{F}, \vec{d}) = 20.50. \cos 0^{\circ} = 1000$ (J)

3. Tính chất của tích vô hướng

Giải toán lớp 10 trang 101 Tập 1 Chân trời sáng tạo

Thực hành 4 trang 101 Toán lớp 10: Cho hai vectơ $\vec{i}, \vec{j}$ vuông góc có cùng độ dài bằng 1.

a) Tính ${(\vec{i} + \vec{j})}^{2}; {(\vec{i} - \vec{j})}^{2}; (\vec{i} + \vec{j}) (\vec{i} - \vec{j})$ .

b) Cho $\vec{a} = 2 \vec{i} + 2 \vec{j}, \vec{b} = 3 \vec{i} - 3 \vec{j}$ . Tính tích vô hướng $\vec{a} . \vec{b}$ và tính góc $(\vec{a}, \vec{b})$

Phương pháp giải:

Sử dụng các tính chất của tích vô hướng giữa các vectơ

Lời giải:

a) Ta có hai vectơ $\vec{i}$ và $\vec{j}$ vuông góc nên $\vec{i} . \vec{j} = 0$

+) ${(\vec{i} + \vec{j})}^{2} = {(\vec{i})}^{2} + {(\vec{j})}^{2} + 2 \vec{i} . \vec{j} = {| \vec{i} |}^{2} + {| \vec{j} |}^{2} = 1 + 1 = 2$

+) ${(\vec{i} + \vec{j})}^{2} = {(\vec{i})}^{2} + {(\vec{j})}^{2} - 2 \vec{i} . \vec{j} = {| \vec{i} |}^{2} + {| \vec{j} |}^{2} = 1 + 1 = 2$

+) $(\vec{i} + \vec{j}) (\vec{i} - \vec{j}) = {(\vec{i})}^{2} - {(\vec{j})}^{2} = {| \vec{i} |}^{2} - {| \vec{j} |}^{2} = 1 - 1 = 0$

b) Sử dụng kết quả của câu a) ta có:

$\vec{a} . \vec{b} = (2 \vec{i} + 2 \vec{j}) . (3 \vec{i} - 3 \vec{j}) = 2.3. (\vec{i} + \vec{j}) . (\vec{i} - \vec{j}) = 6.0 = 0$

$\vec{a} . \vec{b} = 0 \Rightarrow \vec{a} ⊥ \vec{b} \Rightarrow (\vec{a}, \vec{b}) = 90^{\circ}$

Vận dụng 2 trang 101 Toán lớp 10: Phân tử sulfur dioxide $(S O_{2})$ có cấu tạo hình chữ V, góc liên kết $\hat{O S O}$ gần bằng $120^{\circ}$ . Người ta biểu diễn sự phân cực giữa nguyên tử S và nguyên tử O bằng các vectơ $\vec{μ_{1}}$ và $\vec{μ_{2}}$ có cùng phương với liên kết cộng hóa trị, có chiều từ nguyên tử S về mỗi nguyên tử O và có độ dài là 1,6 đơn vị (Hình 6). Cho biết vectơ tổng $\vec{μ} = \vec{μ_{1}} + \vec{μ_{2}}$ được dùng để biểu diễn sự phân cực của cả phân tử SO2. Tính độ dài của $\vec{μ}$ .

Phương pháp giải:

Sử dụng kết quả của ví dụ 4 trang 101 $c^{2} = a^{2} + b^{2} - 2 b c . \cos C$

Lời giải:

Từ điểm cuối của vectơ $\vec{μ_{1}}$ vẽ vectơ $\vec{μ_{3}} = \vec{μ_{2}}$

Suy ra $\vec{μ} = \vec{μ_{1}} + \vec{μ_{2}} = \vec{μ_{1}} + \vec{μ_{3}} \Rightarrow | \vec{μ} | = | \vec{μ_{1}} + \vec{μ_{3}} |$

Ta có: $(\vec{μ_{1}}, \vec{μ_{2}}) = 120^{\circ} \Rightarrow (\vec{μ_{1}}, \vec{μ_{3}}) = 60^{\circ}$

$\Rightarrow {| \vec{μ} |}^{2} = {| \vec{μ_{1}} |}^{2} + {| \vec{μ_{3}} |}^{2} - 2 | \vec{μ_{1}} | | \vec{μ_{3}} | \cos (\vec{μ_{1}}, \vec{μ_{3}})$

$= 1, 6^{2} + 1, 6^{2} - 2.1, 6.1, 6. \cos 60^{\circ} = \frac{64}{25}$

$\Rightarrow | \vec{μ} | = \sqrt{\frac{64}{25}} = 1, 6$

Vậy độ dài của $\vec{μ}$ là 1,6 đơn vị

Bài tập

Bài 1 trang 101 Toán lớp 10: Cho hình vuông ABCD có cạnh bằng a. Tính các tích vô hướng:

$\vec{A B} . \vec{A D}, \vec{A B} . \vec{A C}, \vec{A C} . \vec{C B}, \vec{A C} . \vec{B D}$

Phương pháp giải:

Bước 1: Sử dụng công thức $\vec{a} . \vec{b} = | \vec{a} | . | \vec{b} | \cos (\vec{a}, \vec{b})$

Bước 2: Tính $| \vec{a} |, | \vec{b} |$ và góc $(\vec{a}, \vec{b})$

Lời giải:

Ta có: $A C = B D = \sqrt{A B^{2} + B C^{2}} = \sqrt{a^{2} + a^{2}} = a \sqrt{2}$

+) $A B ⊥ A D \Rightarrow \vec{A B} ⊥ \vec{A D} \Rightarrow \vec{A B} . \vec{A D} = 0$

+) $\vec{A B} . \vec{A C} = | \vec{A B} | . | \vec{A C} | . \cos (\vec{A B}, \vec{A C}) = a . a . \cos 45^{\circ} = \frac{a^{2} \sqrt{2}}{2}$

+) $\vec{A C} . \vec{C B} = | \vec{A C} | . | \vec{C B} | . \cos (\vec{A C}, \vec{C B}) = a \sqrt{2} . a . \cos 135^{\circ} = - a^{2}$

+) $A C ⊥ B D \Rightarrow \vec{A C} ⊥ \vec{B D} \Rightarrow \vec{A C} . \vec{B D} = 0$

Chú ý

$\vec{a} ⊥ \vec{b} \Leftrightarrow \vec{a} . \vec{b} = 0$

Bài 2 trang 101 Toán lớp 10: Cho hình chữ nhật ABCD có tâm O và cho AD = a, AB = 2a. Tính:

a) $\vec{A B} . \vec{A O}$ ;

b) $\vec{A B} . \vec{A D}$ .

Phương pháp giải:

a) Bước 1: Tính đường chéo AC, BD

Bước 2: Xác định số đo góc $\hat{O A B}$

Bước 3: Sử dụng công thức $\vec{a} . \vec{b} = | \vec{a} | . | \vec{b} | \cos (\vec{a}, \vec{b})$

b) Sử dụng công thức $\vec{a} . \vec{b} = | \vec{a} | . | \vec{b} | \cos (\vec{a}, \vec{b})$

Lời giải:

a) $A C = B D = \sqrt{A B^{2} + A D^{2}} = \sqrt{{(2 a)}^{2} + a^{2}} = a \sqrt{5}$

$\cos (\vec{A B}, \vec{A O}) = \cos \hat{O A B} = \cos \hat{C A B} = \frac{A B}{A C} = \frac{2 a}{a \sqrt{5}} = \frac{2 \sqrt{5}}{5}$

$\begin{array}{l} \vec{A B} . \vec{A O} = | \vec{A B} | . | \vec{A O} | . \cos (\vec{A B}, \vec{A O}) \\ = A B . \frac{1}{2} A C . \cos (\vec{A B}, \vec{A O}) \\ = 2 a . \frac{1}{2} . a \sqrt{5} . \frac{2 \sqrt{5}}{5} = 2 a^{2} \end{array}$

b) $A B ⊥ A D \Rightarrow \vec{A B} ⊥ \vec{A D} \Rightarrow \vec{A B} . \vec{A D} = 0$

Bài 3 trang 101 Toán lớp 10: Cho ba điểm O, A, B thẳng hàng và OA = a, OB = b. Tính tích vô hướng $\vec{O A} . \vec{O B}$ trong hai trường hợp:

a) Điểm O nằm ngoài đoạn thẳng AB;

b) Điểm O nằm trong đoạn thẳng AB.

Phương pháp giải:

Bước 1: Xác định góc giữa hai vectơ: $\vec{a}$ và $\vec{b}$ cùng hướng thì $(\vec{a}, \vec{b}) = 0^{\circ}$

Nếu $\vec{a}$ và $\vec{b}$ ngược hướng thì $(\vec{a}, \vec{b}) = 180^{\circ}$

Bước 2: Sử dụng công thức $\vec{a} . \vec{b} = | \vec{a} | . | \vec{b} | \cos (\vec{a}, \vec{b})$

Lời giải:

a) Ta có:

Ta thấy hai vectơ $\vec{O A}$ và $\vec{O B}$ cùng hướng nên $(\vec{O A}, \vec{O B}) = 0^{\circ}$

$\Rightarrow \vec{O A} . \vec{O B} = | \vec{O A} | . | \vec{O B} | . \cos (\vec{O A}, \vec{O B}) = a . b . \cos 0^{\circ} = a b$

b) Ta có:

Ta thấy hai vectơ $\vec{O A}$ và $\vec{O B}$ ngược hướng nên $(\vec{O A}, \vec{O B}) = 180^{\circ}$

$\Rightarrow \vec{O A} . \vec{O B} = | \vec{O A} | . | \vec{O B} | . \cos (\vec{O A}, \vec{O B}) = a . b . \cos 180^{\circ} = - a b$

Bài 4 trang 101 Toán lớp 10: Cho đoạn thẳng AB có O là trung điểm và cho điểm M tùy ý. Chứng minh rằng:

$\vec{M A} . \vec{M B} = {\vec{M O}}^{2} - {\vec{O A}}^{2}$

Phương pháp giải:

Sử dụng hằng đẳng thức $a^{2} - b^{2} = (a - b) (a + b)$ phân tích ${\vec{M O}}^{2} - {\vec{O A}}^{2}$

Lời giải:

Ta có: $\vec{O A} + \vec{O B} = \vec{0} \Leftrightarrow - \vec{O A} = \vec{O B}$

$\Rightarrow {\vec{M O}}^{2} - {\vec{O A}}^{2} = (\vec{M O} - \vec{O A}) (\vec{M O} + \vec{O A}) = (\vec{M O} + \vec{O B}) (\vec{M O} + \vec{O A}) = \vec{M B} . \vec{M A}$

Bài 5 trang 101 Toán lớp 10: Một người dùng một lực $\vec{F}$ có độ lớn là 90 N làm một vật dịch chuyển một đoạn 100 m. Biết lực hợp $\vec{F}$ với hướng dịch chuyển là một góc $60 °$ . Tính công sinh bởi lực $\vec{F}$
Phương pháp giải:

Sử dụng công thức tính công: $A = \vec{F} . \vec{d}$

Lời giải:

Công sinh bởi lực $\vec{F}$ được tính bằng công thức

$A = \vec{F} . \vec{d} = | \vec{F} | . | \vec{d} | . \cos (\vec{F}, \vec{d}) = 90.100. \cos 60^{\circ} = 4500$ (J)

Vậy công sinh bởi lực $\vec{F}$ có độ lớn bằng 4500 (J)

Bài 6 trang 101 Toán lớp 10: Cho hai vectơ có độ dài lần lượt là 3 và 4 và có tích vô hướng là – 6. Tính góc giữa hai vectơ đó.

Phương pháp giải:

Sử dụng công thức $\vec{a} . \vec{b} = | \vec{a} | . | \vec{b} | . C o s (\vec{a}, \vec{b})$

Lời giải:

Ta cho: $| \vec{a} | = 3; | \vec{b} | = 4$ và $\vec{a} . \vec{b} = - 6$

Ta có công thức:

$\vec{a} . \vec{b} = | \vec{a} | . | \vec{b} | . \cos (\vec{a}, \vec{b}) = 3.4. \cos (\vec{a}, \vec{b})$

$\vec{a} . \vec{b} = - 6 \Rightarrow 3.4. \cos (\vec{a}, \vec{b}) = - 6 \Rightarrow \cos (\vec{a}, \vec{b}) = - \frac{1}{2}$

$\Rightarrow (\vec{a}, \vec{b}) = 120^{\circ}$

Lý thuyết Tích vô hướng của hai vectơ

1. Góc giữa hai vectơ

Cho hai vectơ $\vec{a}$ và $\vec{b}$ đều khác $\vec{0}$ . Từ một điểm O bất kì ta vẽ $\vec{O A} = \vec{a}$ , $\vec{O B} = \vec{b}$ .

Góc $\hat{A O B}$ với số đo từ 0° đến 180° được gọi là góc giữa hai vectơ $\vec{a}$ và $\vec{b}$ .

Ta kí hiệu góc giữa hai vectơ $\vec{a}$ và $\vec{b}$ là $(\vec{a}, \vec{b})$ .

Nếu $(\vec{a}, \vec{b}) = 90 °$ thì ta nói rằng $\vec{a}$ và $\vec{b}$ vuông góc với nhau, kí hiệu $\vec{a} ⊥ \vec{b}$ .

Chú ý:

+ Từ định nghĩa, ta có $(\vec{a}, \vec{b}) = (\vec{b}, \vec{a})$ .

+ Góc giữa hai vectơ cùng hướng và khác $\vec{0}$ luôn bằng 0°.

+ Góc giữa hai vectơ ngược hướng và khác $\vec{0}$ luôn bằng 180°.

+ Trong trường hợp có ít nhất một trong hai vectơ $\vec{a}$ hoặc $\vec{b}$ là $\vec{0}$ thì ta quy ước số đo góc giữa hai vectơ đó là tùy ý (từ 0° đến 180°).

Ví dụ: Cho hình thoi ABCD có O là giao điểm của hai đường chéo và $\hat{B A D} = 60 °$ . Tính số đo các góc:

a) $(\vec{O D}, \vec{C D})$ .

b) $(\vec{O B}, \vec{A O})$ .

c) $(\vec{O C}, \vec{A C})$ .

d) $(\vec{O A}, \vec{A C})$ .

Hướng dẫn giải

a) Vì O là giao điểm của hai đường chéo nên O là trung điểm BD (tính chất hình thoi).

Suy ra OD = BO.

Mà $\vec{O D}, \vec{B O}$ cùng hướng.

Do đó $\vec{O D} = \vec{B O}$ (1).

Vì ABCD là hình thoi nên ta có CD // BA và CD = BA.

Mà $\vec{C D}, \vec{B A}$ cùng hướng.

Do đó $\vec{C D} = \vec{B A}$ (2).

Từ (1) (2), ta suy ra $(\vec{O D}, \vec{C D}) = (\vec{B O}, \vec{B A}) = \hat{O B A}$ .

Vì ABCD là hình thoi nên AB = AD.

Do đó tam giác ABD cân tại A.

Mà $\hat{B A D} = 60 °$ .

Suy ra tam giác ABD đều.

Do đó $\hat{D B A} = 60 °$ hay $\hat{O B A} = 60 °$ .

Vậy $(\vec{O D}, \vec{C D}) = \hat{O B A} = 60 °$ .

b) Vì O là giao điểm của hai đường chéo nên O là trung điểm AC (tính chất hình thoi).

Do đó AO = OC.

Mà $\vec{A O}, \vec{O C}$ cùng hướng.

Do đó $\vec{A O} = \vec{O C}$ .

Ta suy ra $(\vec{O B}, \vec{A O}) = (\vec{O B}, \vec{O C}) = \hat{B O C}$ .

Vì ABCD là hình thoi nên hai đường chéo AC và BD vuông góc với nhau.

Do đó $\hat{B O C} = 90 °$ .

Vậy $(\vec{O B}, \vec{A O}) = \hat{B O C} = 90 °$ .

c) Vì $\vec{O C}, \vec{A C}$ cùng hướng nên $(\vec{O C}, \vec{A C}) = 0 °$ .

d) Vì $\vec{O A}, \vec{A C}$ ngược hướng nên $(\vec{O A}, \vec{A C}) = 180 °$ .

2. Tích vô hướng của hai vectơ

Cho hai vectơ $\vec{a}$ và $\vec{b}$ đều khác $\vec{0}$ .

Tích vô hướng của $\vec{a}$ và $\vec{b}$ là một số, kí hiệu là $\vec{a} . \vec{b}$ , được xác định bởi công thức: $\vec{a} . \vec{b} = |\vec{a}| . |\vec{b}| . \cos (\vec{a}, \vec{b})$ .

Chú ý:

a) Trường hợp có ít nhất một trong hai vectơ $\vec{a}$ và $\vec{b}$ bằng $\vec{0}$ , ta quy ước $\vec{a} . \vec{b} = 0$ .

b) Với hai vectơ $\vec{a}$ và $\vec{b}$ , ta có $\vec{a} ⊥ \vec{b} \Leftrightarrow \vec{a} . \vec{b} = 0$ .

c) Khi $\vec{a} = \vec{b}$ thì tích vô hướng $\vec{a} . \vec{b}$ được kí hiệu là ${\vec{a}}^{2}$ và được gọi là bình phương vô hướng của vectơ $\vec{a}$ .

Ta có ${\vec{a}}^{2} = |\vec{a}| . |\vec{a}| . \cos 0 ° = {|\vec{a}|}^{2}$ . Vậy bình phương vô hướng của một vectơ luôn bằng bình phương độ dài của vectơ đó.

Ví dụ: Cho tam giác ABC vuông cân tại A, có AB = AC = a. Tính các tích vô hướng: $\vec{A B} . \vec{A C}, \vec{A C} . \vec{B C}, \vec{B A} . \vec{B C}$ .

Hướng dẫn giải

- Tam giác ABC vuông cân tại A nên AB ⊥ AC.

Do đó $\vec{A B} ⊥ \vec{A C}$ .

Vậy $\vec{A B} . \vec{A C} = 0$ .

- Vẽ $\vec{B D} = \vec{A C}$ . Khi đó ta có $(\vec{A C}, \vec{B C}) = (\vec{B D}, \vec{B C}) = \hat{C B D}$ .

Vì $\vec{B D} = \vec{A C}$ nên ta có ABDC là hình bình hành.

Mà $\hat{B A C} = 90 °$ và AB = AC (tam giác ABC vuông cân tại A).

Do đó ABDC là hình vuông.

Ta suy ra đường chéo BC là phân giác của $\hat{A B D}$ .

Do đó $\hat{C B D} = \frac{\hat{A B D}}{2} = \frac{90 °}{2} = 45 °$ .

Khi đó ta có $(\vec{A C}, \vec{B C}) = \hat{C B D} = 45 °$ .

Tam giác ABC vuông cân tại A: BC² = AB² + AC² (Định lý Py ‒ ta ‒ go)

⇔ BC² = a² + a² = 2a²

⇒ BC = $a \sqrt{2}$ .

Ta có: $\vec{A C} . \vec{B C} = |\vec{A C} .| . |\vec{B C}| . \cos (\vec{A C}, \vec{B C}) = A C . B C . \cos 45 ° = a . a \sqrt{2} . \frac{\sqrt{2}}{2} = a^{2}$ .

- Tam giác ABC cân tại A. Ta suy ra $\hat{A C B} = \hat{A B C}$ .

Tam giác ABC vuông tại A: $\hat{A C B} + \hat{A B C} = 90 °$ .

$\Leftrightarrow 2 \hat{A B C} = 90 °$ .

Do đó $\hat{A B C} = 45 °$ .

Suy ra $(\vec{B A}, \vec{B C}) = \hat{A B C} = 45 °$ .

Ta có $\vec{B A} . \vec{B C} = |\vec{B A}| . |\vec{B C}| . \cos (\vec{B A}, \vec{B C}) = B A . B C . \cos 45 ° = a . a \sqrt{2} . \frac{\sqrt{2}}{2} = a^{2}$ .

Chú ý: Trong Vật lí, tích vô hướng của $\vec{F}$ và $\vec{d}$ biểu diễn công A sinh bởi lực $\vec{F}$ khi thực hiện độ dịch chuyển $\vec{d}$ . Ta có công thức: $A = \vec{F} . \vec{d}$ .

Ví dụ: Một người dùng một lực $\vec{F}$ có độ lớn là 150 N kéo một thùng gỗ trượt trên sàn nhà bằng một sợi dây có phương hợp góc 45° so với phương ngang. Tính công sinh bởi lực $\vec{F}$ khi thùng gỗ trượt được 40 m.

Hướng dẫn giải

Gọi A, $\vec{d}$ lần lượt là công sinh bởi lực $\vec{F}$ và độ dịch chuyển của thùng gỗ.

Theo đề, ta có lực $\vec{F}$ hợp với phương ngang (hướng dịch chuyển) một góc 45°.

Suy ra $(\vec{F}, \vec{d}) = 45 °$ .

Ta có A = $\vec{F} . \vec{d} = |\vec{F}| . |\vec{d}| . \cos (\vec{F}, \vec{d}) = 150.40. \cos 45 ° = 3000 \sqrt{2}$ (J).

Vậy công sinh bởi lực $\vec{F}$ là $3000 \sqrt{2}$ (J).

3. Tính chất của tích vô hướng

Với ba vectơ $\vec{a}, \vec{b}, \vec{c}$ bất kì và mọi số k, ta có:

$\vec{a} . \vec{b} = \vec{b} . \vec{a}$ ; $\vec{a} . (\vec{b} + \vec{c}) = \vec{a} . \vec{b} + \vec{a} . \vec{c}$ ; $(k \vec{a}) . \vec{b} = k (\vec{a} . \vec{b}) = \vec{a} . (k \vec{b})$ .

Ví dụ: Áp dụng các tính chất của tích vô hướng, chứng minh rằng:

${(\vec{a} - \vec{b})}^{2} = {\vec{a}}^{2} - 2 \vec{a} . \vec{b} + {\vec{b}}^{2}$ .

Hướng dẫn giải

Ta có: ${(\vec{a} - \vec{b})}^{2} = (\vec{a} - \vec{b}) (\vec{a} - \vec{b}) = \vec{a} . \vec{a} - \vec{a} . \vec{b} - \vec{a} . \vec{b} + \vec{b} . \vec{b} = {\vec{a}}^{2} - 2 \vec{a} . \vec{b} + {\vec{b}}^{2}$ .

Vậy ta có điều phải chứng minh.

Nhận xét: Chứng minh tương tự, ta cũng có:

${(\vec{a} + \vec{b})}^{2} = {\vec{a}}^{2} + 2 \vec{a} . \vec{b} + {\vec{b}}^{2}$ ;

$(\vec{a} + \vec{b}) (\vec{a} - \vec{b}) = {\vec{a}}^{2} - {\vec{b}}^{2}$ .

Ví dụ: Cho tam giác ABC có a = BC, b = AC, c = AB. Tính cạnh BC theo hai cạnh còn lại và góc A bằng cách sử dụng tính chất của vectơ và tích vô hướng của hai vectơ.

Hướng dẫn giải

Ta có BC² = ${\vec{B C}}^{2} = {(\vec{A C} - \vec{A B})}^{2} = {\vec{A C}}^{2} + {\vec{A B}}^{2} - 2. \vec{A C} . \vec{A B}$