Giải SGK Toán 10 Bài 3 (Chân trời sáng tạo): Tích của một số với một vecto

4 K

Tailieumoi.vn giới thiệu Giải bài tập Toán lớp 10 Bài 3: Tích của một số với một vecto chi tiết sách Toán 10 Tập 1 Chân trời sáng tạo giúp học sinh xem và so sánh lời giải từ đó biết cách làm bài tập môn Toán 10. Mời các bạn đón xem:

Giải bài tập Toán lớp 10 Bài 3: Tích của một số với một vecto

1. Tích của một số với một vecto và các tính chất

Giải toán lớp 10 trang 94 Tập 1 Chân trời sáng tạo

HĐ Khám phá 1 trang 94 Toán lớp 10: Cho vectơ a. Hãy xác định độ dài và hướng của hai vectơ a+a,(a)+(a): (Hình 1)

Lời giải:

Dựa vào hình 1 ta thấy

Vectơ a+a=AC có độ dài bằng 2 lần vectơ avà cùng hướng với vectơ a

Vectơ (a)+(a)=DF có độ dài bằng 2 lần vectơ (a) và cùng hướng với vectơ (a)

Giải toán lớp 10 trang 95 Tập 1 Chân trời sáng tạo

Thực hành 1 trang 95 Toán lớp 10: Cho hai vectơ cho hai vectơ a,b và điểm M như hình 3.

a) Hãy vẽ vectơ MN=3a,MP=3b

b) Cho biết mỗi ô có cạnh bằng 1. Tính: |3b|,|3b|,|2a+2b|.

Phương pháp giải:

Bước 1: Xác định hướng của vectơ a;b

Bước 2: Xác định tỉ lệ độ dài |x||a|

Lời giải:

a) MN=3acó độ dài bằng 3 lần vectơ a, cùng hướng với vectơ a

Suy ra, từ điểm M vẽ vectơ MN với độ dài là 6 ô vuông và có hướng từ trái sang phải

MP=3bcó độ dài bằng 3 lần vectơ b, ngược hướng với vectơ b

Suy ra, từ điểm M vẽ vectơ MP với độ dài là 3 đường chéo ô vuông và có hướng từ trên xuống dưới chếch sang trái

b) Hình vuông với cạnh bằng 1 thì ta tính được đường chéo có độ dài là 2|b|=2 . Suy ra:

|3b|=3|b|=32|3b|=3|b|=32|2a+2b|=|2(a+b)|=2|a+b|

Từ điểm cuối của vectơ a vẽ một vectơ bằng vectơ b ta có c=a+b

Áp dụng định lý cosin ta tính được độ dài của vectơ c|c|=|a|2+|b|22|a||b|cos(a,b^)=22+222.2.2.cos(135)=10

|2a+2b|=2|a+b|=2|c|=210

Thực hành 2 trang 95 Toán lớp 10: Cho tam giác ABC. Chứng minh G là trọng tâm của tam giác ABC khi và chỉ khi MA+MB+MC=3MG

Phương pháp giải:

Sử dụng quy tắc 3 điểm MA=MG+GA

Lời giải:

MA+MB+MC=3MGMG+GA+MG+GB+MG+GC=3MG

(MG+MG+MG)+(GA+GB+GC)=3MG

3MG=3MG (đpcm) ( Vì G  là trọng tâm của tam giác ABC nên GA+GB+GC=0)

Vận dụng trang 95 Toán lớp 10: Một con tàu chở hàng A đang đi về hướng tây với tốc độ 20 hải lý/ giờ. Cùng lúc đó, một con tàu chở khách B đang đi về hướng đông với tốc độ 50 hải lý/giờ. Biểu diễn vectơ vận tốc b của tàu B theo vectơ vận tốc a của tòa A.

Lời giải:

Ta thấy hai hướng đông và tây là ngược nhau và tỉ số độ dài |b||a|=5020=52

b=52a

2. Điều kiện để hai vecto cùng phương

Giải toán lớp 10 trang 96 Tập 1 Chân trời sáng tạo

HĐ Khám phá 2 trang 96 Toán lớp 10: Cho hai vectơ a và b cùng phương khác 0 và cho c=|a||b|.b. So sánh độ dài và hướng của hai vectơ a và c

Lời giải:

vectơ c=|a||b|.b có độ dài gấp |a||b| lần vectơ b và cùng hướng với vectơ b

+) Nếu hai vectơ a và b cùng hướng thì hai vectơ a và ccùng hướng và ngược lại

+) |c|=||a||b|.b|=|a||b|.|b|=|a|. Suy ra hai vectơ a và ccó cùng độ dài

Thực hành 3 trang 96 Toán lớp 10: Cho tứ giác ABCD có I và J lần lượt là trung điểm của AB và CD. Cho điểm G thỏa mãn GA+GB+GC+GD=0. Chứng minh ba điểm I, G, J  thẳng hàng

Phương pháp giải:

Sử dụng tính chất trung điểm và quy tắc ba điểm

GA+GB=2GI với I là trung điểm AB

GI+GJ=0  G là trung điểm IJ.

 

Lời giải:

Ta có:

GA+GB+GC+GD=0(GI+IA)+(GI+IB)+(GJ+JC)+(GJ+JD)=0

2GI+(IA+IB)+2GJ+(JC+JD)=0

2GI+2GJ=02(GI+GJ)=0

GI+GJ=0G là trung điểm của đoạn thẳng IJ

Vậy I, G, J thẳng hàng

Bài tập

Giải toán lớp 10 trang 97 Tập 1 Chân trời sáng tạo

Bài 1 trang 97 Toán lớp 10: Cho hình bình hành ABCD có O là giao điểm hai đường chéo. Với M là điểm tùy ý, chứng minh rằng:

a) MA+MB+MC+MD=4MO

b) AB+AC+AD=2AC

Phương pháp giải:

a) Sử dụng quy tắc ba điểm MA=MO+OA và tính chất trung điểm OA+OC=0

b) Sử dụng tính chất của bình bình hành AB+AD=AC

Lời giải:

a) MA+MB+MC+MD=4MO

MO+OA+MO+OB+MO+OC+MO+OD=4MO

4MO+(OA+OB)+(OC+OD)=4MO

4MO+0+0=4MO4MO=4MO(luôn đúng)

(vì O là giao điểm 2 đường chéo nên là trung điểm của AB, CD)

b) ABCD là hình bình hành nên ta có AB+AD=AC

Suy ra AB+AC+AD=(AB+AD)+AC=AC+AC=2AC (đpcm)

Bài 2 trang 97 Toán lớp 10: Cho tứ giác ABCD gọi M và N lần lượt là trung điểm của các cạnh AB và CD . Chứng minh rằng:

a) AC+BD=2MNb) AC+BD=BC+AD

Phương pháp giải:

Chèn điểm M: AB=AM+MB,

Tính chất trung điểm MA+MB=0

Lời giải:

a)AC+BD=AM+MN+NC+BM+MN+ND=(AM+BM)+(MN+MN)+(NC+ND)=0+2MN+0=2MN(đpcm)                                                             

b) AC+BD=BC+AD

BC+AD=BM+MN+NC+AM+MN+ND

(BM+AM)+(MN+MN)+(NC+ND)=2MN

Mặt khác ta có: AC+BD=2MN

Suy ra AC+BD=BC+AD

Cách 2: 

AC+BD=BC+ADACAD=BCBDDC=DC(đpcm)

Bài 3 trang 97 Toán lớp 10: Cho hai điểm phân biệt A và B. Xác định điểm M sao cho MA+4MB=0

Phương pháp giải:

Bước 1: Xác định hướng của hai vectơ

Bước 2: Xác định tỉ số độ dài |MA||MB|

Lời giải:

Cách 1:

MA+4MB=0MA=4MBMAMB=|MA||MB|=|4MB||MB|=4và hai vectơ MA,MB ngược hướng

Suy ra M nằm giữa AB sao cho MAMB=4

Cách 2: 

MA+4MB=0MB+BA+4MB=05MB=AB

Vậy A, M, B thẳng hàng, M nằm giữa A và B sao cho MB=15AB

Phương pháp giải:

Sử dụng quy tắc ba điểm MA=MO+OA và tính chất trung điểm OA+OB=0

(với O là trung điểm của AB)

Lời giải:

MA+MB+MC+MD=(MG+GE+EA)+(MG+GE+EB)+(MG+GF+FC)+(MG+GF+FD)

=(MG+MG+MG+MG)+2(GE+GF)+(EA+EB)+(FC+FD)

=4MG+2.0+0+0=4MG  (đpcm)

Bài 5 trang 97 Toán lớp 10: Máy bay A  đang bay về hướng Đông Bắc với tốc độ 600 km/h. Cùng lúc đó, máy bay B đang bay về hướng Tây Nam với tốc độ 800 km/h. Biểu diễn vectơ vận tốc của máy bay B theo vectơ vận tốc  của máy bay A

Lời giải:

Vecto a,b là vecto vận tốc của máy bay A và máy bay b.

Do đó |a|,|b| lần lượt là độ lớn của vecto vận tốc tương ứng.

Ta có: |a|=600,|b|=800

|b||a|=800600=43

Hai hướng Đông Bắc và Tây Nam là ngược nhau, do đó b=43a

Bài 6 trang 97 Toán lớp 10: Cho 2 điểm phân biệt A và B

a) Xác định điểm O sao cho OA+3OB=0

b) Chứng minh rằng với mọi điểm M, ta có MA+3MB=4MO

Phương pháp giải:

a) Chèn điểm: OA=OB+BA

Từ đó tìm OB theo AB đã biết

b) Chèn điểm O, làm xuất hiện MO ở vế trái.

Lời giải:

a) OA+3OB=0

OA+3OB=0OB+BA+3OB=0OB+3OB=BA4OB=ABOB=14AB

Vậy O thuộc đoạn AB sao cho OB=14AB

 

b) Ta có: 

MA+3MB=(MO+OA)+3(MO+OB)=(MO+3MO)+(OA+3OB)=4MO+0=4MO.(đpcm)

Bài 7 trang 97 Toán lớp 10: Cho tam giác ABC

a) Xác định các điểm M, N, P thỏa mãn: MB=12BC,AN=3NB,CP=PA

b) Biểu thị mỗi vectơ MN,MP theo hai vectơ BC,BA

c) Chứng minh ba điểm M, N, P thẳng hàng

Phương pháp giải:

a)  Xác định hướng và tỉ số độ dài

MB=k.BCMB và BC cùng hướng; tỉ số độ dài BCMB=k

b)  Phân tích  MN theo hai vecto MB,NB

c)  M,N,P thẳng hàng MN=k.MP (kZ)

Lời giải:

a)      Ta có:

+) MB=12BCMB và BC cùng hướng; tỉ số độ dài BCMB=2

M nằm ngoài đoạn thẳng BC sao cho MB=12BC

+) AN=3NBAB+BN=3NB4NB=ABNB=14AB

N thuộc đoạn thẳng AB và NB=14AB

+) CP=PAPC+PA=0

P là trung điểm của CA

 

b) MN=MB+BN=12BC+14BA

MP=MC+CP=MC+12CA=32BC+12(BABC)=BC+12BA

c) Ta có:

MN=12BC+14BA; MP=BC+12BA

MP=2MN

Vậy M,N,P thẳng hàng

Lý thuyết Tích của một số với một vectơ

1. Tích của một số với một vectơ và các tính chất

Cho số k ≠ 0 và a0. Tích của số k với a0 là một vectơ, kí hiệu là ka.

Vectơ ka cùng hướng với a nếu k > 0, ngược hướng với a nếu k < 0 và có độ dài bằng k.a.

Ta quy ước 0a=0 và k0=0.

Người ta còn gọi tích của một số với một vectơ là tích của một vectơ với một số.

Ví dụ: Cho tam giác ABC có D, E, F lần lượt là trung điểm các cạnh AB, BC, CA. Tìm các vectơ bằng: 2DE;  12CA;  2EC.

Hướng dẫn giải

+ Vectơ bằng 2DE:

Tam giác ABC có D, E lần lượt là trung điểm của AB, BC.

Do đó DE là đường trung bình của tam giác ABC.

Suy ra DE // AC và 2DE = AC.

Vì k = 2 > 0 nên vectơ cần tìm cùng hướng với DE và có độ dài bằng 2DE.

Ta có DE cùng hướng với AC và 2DE = AC.

Do đó 2DE=AC.

+ Vectơ bằng 12CA:

Ta có F là trung điểm CA.

Do đó FA = CF = 12CA.

Vì k = 12 < 0, nên vectơ cần tìm ngược hướng với CA và có độ dài bằng 12CA.

Ta có AF,  FC ngược hướng với CA và AF = FC = 12CA.

Do đó AF=FC=12CA.

+ Vectơ bằng 2EC:

Ta có E là trung điểm BC.

Do đó CB = 2EC.

Vì k = –2 < 0, nên vectơ cần tìm ngược hướng với EC và có độ dài bằng 2EC.

Ta có CB ngược hướng với EC và CB = 2EC.

Do đó CB=2EC.

Tính chất:

 Với hai vectơ a và b bất kì, với mọi số thực h và k, ta có:

+) ka+b=ka+kb;

+) h+ka=ha+ka;

+) hka=hka;

+) 1.a=a;

+) 1.a=a.

Ví dụ: Ta có:

a) 6x+y=6x+6y;

b) 3+xu=3u+xu;

c) 6.5i=6.5i=30i;

d)  2c7c=27c=5c.

Ví dụ: Cho tam giác ABC. Chứng minh G là trọng tâm của tam giác ABC khi và chỉ khi MA+MB+MC=3MG.

Hướng dẫn giải

Ta có MA+MB+MC=3MG

MG+GA+MG+GB+MG+GC=3MG       (quy tắc ba điểm)

3MG+GA+GB+GC=3MG

GA+GB+GC=0 

 G là trọng tâm của tam giác ABC (đpcm).

2. Điều kiện để hai vectơ cùng phương

Hai vectơ a và b (b0) cùng phương khi và chỉ khi có số k sao cho a=kb.

Nhận xét: Ba điểm phân biệt A, B, C thẳng hàng khi và chỉ khi có số k ≠ 0 để AB=kAC.

Chú ý: Cho hai vectơ a và b không cùng phương. Với mỗi c luôn tồn tại duy nhất cặp số thực (m; n) sao cho c=ma+nb.

Ví dụ: Cho tam giác ABC. Lấy các điểm M, N, P sao cho MB=3MCNA+3NC=0PA+PB=0.

a) Biểu diễn MP theo AB,  AC.

b) Biểu diễn MN theo AB,  AC.

c) Chứng minh rằng: 3 điểm M, N, P thẳng hàng.

Hướng dẫn giải

a) Ta có MB=3MCMB=3.MCMB=3MC.

Mà MB,  MC cùng hướng (do k = 3 > 0)

Do đó ba điểm B, C, M thẳng hàng và C nằm giữa B, M sao cho MB = 3MC.

Ta có PA+PB=0 nên P là trung điểm AB.

Do đó AP = 12AB.

Mà AP,  AB cùng hướng.

Suy ra AP=12AB.

Ta có: MB=MC+CBMB=13MB+CA+AB

23MB=AC+ABMB=32AB32AC

Ta có

AM=AB+BM=ABMB=AB32AB+32AC=12AB+32AC.

Ta có MP=APAM=12AB+12AB32AC=AB32AC   

Vậy MP=AB32AC (1)

b) Ta có NA+3NC=0NA=3NC.

Do đó NA=3.NC hay NA = 3NC.

Khi đó ta có AN = 34AC.

Mà NA,  NC ngược hướng (do k = ‒3 < 0).

Do đó ba điểm A, N, C thẳng hàng và N nằm giữa hai điểm A và C sao cho AN=34AC. 

Suy ra AN=34AC.

Ta có MN=ANAM=34AC+12AB32AC=12AB34AC 

Vậy MN=12AB34AC. (2)

c) Từ (1), ta suy ra 2MP=2AB3AC.

Từ (2), ta suy ra 4MN=2AB3AC.

Do đó ta có 2MP=4MN hay MP=2MN.

Vậy ba điểm M, N, P thẳng hàng.

Xem thêm các bài giải SGK Toán 10 Chân trời sáng tạo hay, chi tiết khác:

Bài 2: Tổng và hiệu của hai vecto

Bài 4: Tích vô hướng của hai vecto

Bài tập cuối chương 5

Bài 1: Số gần đúng và sai số

Đánh giá

0

0 đánh giá