Tailieumoi.vn giới thiệu Giải bài tập Toán lớp 10 Bài 2: Tổng và hiệu của hai vecto vecto chi tiết sách Toán 10 Tập 1 Chân trời sáng tạo giúp học sinh xem và so sánh lời giải từ đó biết cách làm bài tập môn Toán 10. Mời các bạn đón xem:
Giải bài tập Toán lớp 10 Bài 2: Tổng và hiệu của hai vecto
Video bài giảng Tổng và hiệu của hai vecto - Chân trời sáng tạo
Giải toán lớp 10 trang 88 Tập 1 Chân trời sáng tạo
Lời giải:
1. Tổng của hai vecto
Phương pháp giải:
Xác định A là điểm đầu và C là điểm cuối, dùng đoạn thẳng có hướng nối 2 điểm trên.
Lời giải:
Ta thấy rô bốt đi từ A đến B, sau đó đi từ B đến C, vậy cả 2 lần di chuyển thì ta thấy điểm cuất phát là A và điểm kết thúc là C.
Suy ra vectơ biểu diễn sự dịch chuyển của rô bốt sau hai lần dịch chuyển là vectơ
Giải toán lớp 10 trang 89 Tập 1 Chân trời sáng tạo
HĐ Khám phá 2 trang 89 Toán lớp 10: Cho hình bình hành ABCD (Hình 4). Chứng minh rằng:
Phương pháp giải:
Tìm vectơ bằng với vectơ , sau đó áp dụng quy tắc ba điểm
Lời giải:
Vì ABCD là hình bình hành nên ta có: (đpcm)
Phương pháp giải:
Bước 1: Áp dụng quy tắc ba điểm, tìm vectơ và
Bước 2: Xác định hướng của vectơ vừa tìm được
Bước 3: So sánh hướng của 2 vectơ
Lời giải:
Áp dụng quy tắc ba điểm ta có:
;
Mà ABCD là hình thang nên AB//DC. Mặt khác vectơ và vectơ đều có hướng từ trái sang phải, suy ra vectơ và vectơ cùng hướng
Vậy hai vectơ và cùng hướng.
Thực hành 2 trang 89 Toán lớp 10: Cho tam giác đều ABC cạnh có độ dài là a. Tính độ dài vectơ
Phương pháp giải:
Bước 1: Dựng hình bình hành ABDC
Bước 2: Áp dụng quy tắc hình bình hành tìm tổng vectơ
Bước 3: Tìm độ dài vectơ tổng.
Lời giải:
Dựng hình bình hành ABDC.
Áp dụng quy tắc hình bình hành vào ABDC ta có:
Gọi O là giao điểm của AD và BC, ta có:
Vậy độ dài vectơ là
Giải toán lớp 10 trang 90 Tập 1 Chân trời sáng tạo
Phương pháp giải:
Bước 1: Áp dụng quy tắc 3 điểm để tìm vectơ tổng
Bước 2: Tìm độ dài vectơ tổng vừa tìm được.
Lời giải:
Gọi vectơ chỉ vận tốc của máy bay là vectơ và vectơ chỉ vận tốc của gió là vectơ .
Ta có:
Áp dụng định lý Pitago ta có:
Vậy độ dài vectơ tổng của hai vectơ nói trên là km/h
Phương pháp giải:
Bước 1: Dựng hình bình hành AOBC
Bước 2: Áp dụng quy tắc hình bình hành tìm tổng lực
Bước 3: Xác định độ lớn của vectơ tổng.
Lời giải:
Áp dụng quy tắc hình bình hành ta có: ;
; (hai góc bù nhau trong hình bình hành).
Áp dụng định lý cos ta có:
N
Vậy độ lớn của vectơ hợp lực gần bằng 871,78 N
2. Tính chất của phép cộng các vecto
a)
b)
Phương pháp giải:
Bước 1: Áp dụng quy tắc 3 điểm: ;
Bước 2: So sánh các vectơ vừa tìm được
Lời giải:
a) Áp dụng quy tắc ba điểm ta có:
;
b) Áp dụng quy tắc ba điểm ta có:
Giải toán lớp 10 trang 91 Tập 1 Chân trời sáng tạo
Thực hành 3 trang 91 Toán lớp 10: Cho hình vuông ABCD có cạnh bằng 1. Tính độ dài các vectơ sau:
a)
b)
Phương pháp giải:
Bước 1: Sử dụng tính chất giao hoán, kết hợp, cộng với vectơ tìm tổng các vectơ
Bước 2: Tính độ dài vectơ vừa tìm đc, độ dài vectơ là \(\left|
Lời giải:
a)
b)
3. Hiệu của hai vecto
HĐ Khám phá 3 trang 91 Toán lớp 10: Tìm hợp lực của hai lực đối nhau và (hình 11)
Lời giải:
Giải toán lớp 10 trang 92 Tập 1 Chân trời sáng tạo
a)
b) .
Phương pháp giải:
Bước 1: Thay thế vectơ bằng nhau rồi tìm tổng.
Bước 2: Tìm độ dài vectơ vừa tìm đc, độ dài vectơ là .
Lời giải:
Ta có:
a)
b)
Chú ý khi giải:
Khi có dấu trừ phía trước ta thường thay bằng vectơ đối của nó và ngược lại
4. Tính chất vecto của trung điểm đoạn thẳng và trọng tâm tam giác
b) Cho điểm G là trọng tâm của tam giác ABC có trung tuyến AI. Lấy D là điểm đối xứng với G qua I. Ta có BGCD là hình bình hành và G là trung điểm của đoạn thẳng AD. Với lưu ý rằng và , hoàn thành các phép cộng vectơ sau:
Phương pháp giải:
a) Thay thế các vectơ bằng nhau
b) Bước 1: Áp dụng quy tắc hình bình hành trên BGCD
Bước 2: Áp dụng tính chất trung điểm vừa tìm được ở câu a)
(với M là trung điểm của AB)
Lời giải:
a) (vì vectơ )
b) Xét hình bình hành BGCD ta có:
(vì )
Giải toán lớp 10 trang 93 Tập 1 Chân trời sáng tạo
Thực hành 5 trang 93 Toán lớp 10: Cho hình bình hành ABCD có tâm O. Tìm ba điểm M, N, P thỏa mãn:
a)
b)
c)
Phương pháp giải:
a) Sử dụng tính chất trọng tâm của tam giác (với G là trọng tâm của tam giác ABC)
b) Sử dụng tính chất trọng tâm của tam giác
c) Sử dụng tính chất trung điểm (với M là trung điểm của AB)
Lời giải:
a) Áp dụng tính chất trọng tâm ta có:
Suy ra M là trọng tâm của tam giác ADB
Vậy M nằm trên đoạn thẳng AO sao cho
b) Tiếp tục áp dụng tính chất trọng tâm
Suy ra N là trọng tâm của tam giác BCD
Vậy N nằm trên đoạn thẳng OD sao cho
c) Áp dụng tính chất trung điểm ta có:
Suy ra P là trung điểm của đoạn thẳng MN
Vậy điểm P trùng với điểm O
Bài tập
a) ;
b)
Phương pháp giải:
a) Thay vectơ
b) Bước 1: chèn điểm O:
Bước 2: Sử dụng tính chất trung điểm: (với M là trung điểm của đoạn thẳng AB)
Lời giải:
a) ABCD là hình bình hành nên
b)
(Vì )
Bài 2 trang 93 Toán lớp 10: Cho tứ giác ABCD, thực hiện các phép cộng và trừ vectơ sau:
a) ;
b) ;
c) .
Lời giải:
a)
b)
c)
Bài 3 trang 93 Toán lớp 10: Cho tam giác đều ABC cạnh bằng a. Tính độ dài của các vectơ:
a) ;
b) ;
c) .
Phương pháp giải:
a) Sử dụng quy tắc ba điểm
b)
Bước 1: Dựng hình bình hành ABDC, xác định giao điểm của 2 đường chéo là điểm O.
Bước 2: Xác định vectot tổng
Bước 3: Tính độ dài của vecto tìm được
c)
Bước 1: Thay thế vecto đối
Bước 2: Sử dụng quy tắc ba điểm tính vecto tổng
Bước 3: Tính độ dài
Lời giải:
a)
b) Dựng hình bình hành ABDC, giao điểm của hai đường chéo là O ta có:
c)
a) ;
b) .
Phương pháp giải:
Vận dụng quy tắc hiệu:
Lời giải:
a)
Do ABCD là hình bình hành nên
Suy ra,
b)
Lời giải:
Ba lực cùng tác dụng vào M và vật đứng yên nên hợp lực của chúng có giá trị bằng không, hay:
Dựng hình bình hành , khi đó:
là hai vecto đối nhau
Xét hình bình hành MADB, ta có:
AM=AB và
MADB là hình vuông, cạnh
Vậy độ lớn của lực là (N)
Lời giải:
Kí hiệu các điểm như hình dưới.
Khi đó các lực lần lượt là
Vậy
Lời giải:
Ta có
+) ,
Suy ra K là trung điểm AC
+) , suy ra H là trọng tâm của tam giác ADC
(1)
+) , suy ra G là trọng tâm của tam giác ABC
(2)
Mà (2)
Vậy .
Lời giải:
Gọi vecto vận tốc của tàu là , vecto vận tốc của dòng nước là vecto
Ta có vecto tổng là
Độ dài vecto tổng là(km/h)
Vậy độ dài vecto tổng là (km/h).
Lý thuyết Tổng và hiệu của hai vectơ
1. Tổng của hai vectơ
Cho hai vectơ và . Từ một điểm A tùy ý, lấy hai điểm B, C sao cho . Khi đó được gọi là tổng của hai vectơ và và được kí hiệu là .
Vậy .
Phép toán tìm tổng của hai vectơ được gọi là phép cộng vectơ.
Quy tắc ba điểm
Với ba điểm M, N, P, ta có .
Chú ý: Khi cộng vectơ theo quy tắc ba điểm, điểm cuối của vectơ thứ nhất phải là điểm đầu của vectơ thứ hai.
Ví dụ: Cho các điểm A, B, C, D, E, F phân biệt. Thực hiện phép cộng các vectơ:
.
Hướng dẫn giải
Áp dụng quy tắc ba điểm, ta có:
.
.
.
Quy tắc hình bình hành
Nếu OACB là hình bình hành thì ta có .
Ví dụ: Cho hình chữ nhật MNPQ và hai vectơ như hình bên. Tính tổng của hai vectơ và .
Hướng dẫn giải
Ta có .
Suy ra .
Theo quy tắc hình bình hành, ta có .
Vậy .
2. Tính chất của phép cộng các vectơ
Phép cộng vectơ có các tính chất sau:
+ Tính chất giao hoán: .
+ Tính chất kết hợp: .
+ Với mọi , ta luôn có: .
Chú ý: Từ tính chất kết hợp, ta có thể xác định được tổng của ba vectơ ,kí hiệu là với .
Ví dụ: Cho tứ giác MNPQ. Thực hiện các phép cộng vectơ sau:
a) .
b) .
Hướng dẫn giải
Áp dụng tính chất giao hoán và tính chất kết hợp của phép cộng vectơ, ta được:
a) .
b) .
Chú ý: Cho vectơ tùy ý .
Ta có .
Tổng hai vectơ đối nhau luôn bằng vectơ-không: .
3. Hiệu của hai vectơ
Cho hai vectơ và . Hiệu của hai vectơ và là vectơ \ và kí hiệu là .
Phép toán tìm hiệu của hai vectơ được gọi là phép trừ vectơ.
Ví dụ: Cho các điểm D, E, F, G phân biệt. Thực hiện các phép trừ vectơ sau: .
Hướng dẫn giải
Ta có: .
.
Chú ý: Cho ba điểm O, A, B, ta có:.
Ví dụ: Cho hình vuông ABCD và một điểm M tùy ý. Thực hiện các phép trừ vectơ sau: .
Hướng dẫn giải
Ta có .
.
4. Tính chất vectơ của trung điểm đoạn thẳng và trọng tâm tam giác
Điểm M là trung điểm của đoạn thẳng AB khi và chỉ khi .
Điểm G là trọng tâm của tam giác ABC khi và chỉ khi .
Ví dụ: Cho hình bình hành ABCD có tâm O. Hai điểm E, F lần lượt là trung điểm AB, BC. Gọi G là trọng tâm của tam giác ABC. Chứng minh rằng:
a) .
b) .
Hướng dẫn giải
a) Vì ABCD là hình bình hành tâm O nên O là trung điểm AC (tính chất hình bình hành).
Lại có E là trung điểm AB (gt)
Do đó OE là đường trung bình của tam giác ABC.
Suy ra OE // BC và OE = = BF (với F là trung điểm BC).
Khi đó ta có tứ giác OEBF là hình bình hành.
Áp dụng quy tắc hình bình hành cho OEBF, ta được: .
Vì ABCD là hình bình hành tâm O nên O là trung điểm AC và BD (tính chất hình bình hành).
Do đó và .
Ta có
.
Vậy .
b) Vì G là trọng tâm của tam giác ABC nên .
Theo quy tắc ba điểm, ta có: .
Ta có
.
Vậy .
Xem thêm các bài giải SGK Toán 10 Chân trời sáng tạo hay, chi tiết khác:
Bài 3: Tích của một số với một vecto