Giải SGK Toán 10 Bài 2 (Chân trời sáng tạo): Định lí cosin và định lí sin

Nguyễn Linh Anh Ngày: 23-08-2024 Lớp 10

6.7 K

Tailieumoi.vn giới thiệu Giải bài tập Toán lớp 10 Bài 2: Định lí cosin và định lí sin chi tiết sách Toán 10 Tập 1 Chân trời sáng tạo giúp học sinh xem và so sánh lời giải từ đó biết cách làm bài tập môn Toán 10. Mời các bạn đón xem:

Giải bài tập Toán lớp 10 Bài 2: Định lí cosin và định lí sin

Video bài giảng Định lí cosin và định lí sin - Chân trời sáng tạo

Giải toán lớp 10 trang 65 Tập 1 Chân trời sáng tạo

HĐ Khởi động trang 65 Toán lớp 10: Làm thế nào để tính độ dài cạnh chưa biết của hai tam giác dưới đây?

Phương pháp giải:

Với $\hat{A} = 90^{o}$ ta sử dụng định lí Pytago.

Với $\hat{A} \neq 90^{o}$ : Áp dụng định lí cosin: $a^{2} = b^{2} + c^{2} - 2 b c \cos A$

Lời giải:

Áp dụng định lí Pytago, ta có:

$\begin{array}{l} B C^{2} = A C^{2} + A B^{2} = 3^{2} + 4^{2} = 25 \\ \Rightarrow B C = 5 \end{array}$

Áp dụng định lí cosin trong tam giác MNP, ta có:

$N P^{2} = M N^{2} + M P^{2} - 2. M N . M P \cos M$

Mà $M N = 4, M P = 3, \hat{M} = 60^{o}$

$\begin{array}{l} \Rightarrow N P^{2} = 4^{2} + 3^{2} - 2.4.3 \cos 60^{o} = 13 \\ \Leftrightarrow N P = \sqrt{13} \approx 3, 6 \end{array}$

1. Định lí cosin trong tam giác

Giải toán lớp 10 trang 66 Tập 1 Chân trời sáng tạo

HĐ Khám phá 1 trang 66 Toán lớp 10: a) Cho tam giác ABC không phải là tam giác vuông với góc A nhọn và $\hat{C} \geq \hat{B} .$ Vẽ đường cao CD và đặt tên các độ dài như trong Hình 1.

Hãy thay ? bằng các chữ cáu thích hợp để chứng minh công thức $a^{2} = b^{2} + c^{2} - 2 b c \cos A$ theo gợi ý sau:

Xét tam giác vuông BCD, ta có: $a^{2} = d^{2} + (c - x)^{2} = d^{2} + x^{2} + c^{2} - 2 x c$ (1)

Xét tam giác vuông ACD, ta có: $b^{2} = d^{2} + x^{2} \Rightarrow d^{2} = b^{2} - x^{2}$ (2)

$\cos A = \frac{?}{b} \Rightarrow ? = b \cos A .$ (3)

Thay (2) và (3) vào (1), ta có: $a^{2} = b^{2} + c^{2} - 2 b c \cos A$

Lưu ý: Nếu $\hat{B} > \hat{C}$ thì ta vẽ đường cao BD và chứng minh tương tự.

b) Cho tam giác ABC với góc A tù. Làm tương tự như trên, chứng minh rằng ta cũng có:

$a^{2} = b^{2} + c^{2} - 2 b c \cos A$

Lưu ý: Vì A là góc tù nên $\cos A = - \frac{x}{b} .$

c) Cho tam giác ABC vuông tại A. Hãy chứng tỏ coogn thức $a^{2} = b^{2} + c^{2} - 2 b c \cos A$ có thể viết là $a^{2} = b^{2} + c^{2} .$

Lời giải:

a) ? = x vì $\cos A = \frac{A D}{A C} = \frac{x}{b} \Rightarrow ? = x .$

b) Xét tam giác vuông BCD, ta có: $a^{2} = d^{2} + (c + x)^{2} = d^{2} + x^{2} + c^{2} + 2 x c$ (1)

Xét tam giác vuông ACD, ta có: $b^{2} = d^{2} + x^{2} \Rightarrow d^{2} = b^{2} - x^{2}$ (2)

$\cos A = - \cos \hat{D A C} = - \frac{x}{b} \Rightarrow x = - b \cos A .$ (3)

Thay (2) và (3) vào (1), ta có: $a^{2} = b^{2} + c^{2} - 2 b c \cos A$

c) Ta có: $a^{2} = b^{2} + c^{2} - 2 b c \cos A$

Mà $\hat{A} = 90^{o} \Rightarrow \cos A = \cos 90^{o} = 0.$

$\Rightarrow a^{2} = b^{2} + c^{2}$

Giải toán lớp 10 trang 67 Tập 1 Chân trời sáng tạo

Thực hành 1 trang 67 Toán lớp 10:Tính các cạnh và các góc chưa biết của tam giác ABC trong hình 4.

Phương pháp giải:

Áp dụng định lí cosin trong tam giác ABC, ta có:

$\begin{array}{l} B C^{2} = A C^{2} + A B^{2} - 2 A C . A B \cos A \\ \cos B = \frac{A B^{2} + B C^{2} - A C^{2}}{2. A B . B C}; \cos C = \frac{A C^{2} + B C^{2} - A B^{2}}{2. A C . B C} \end{array}$

Lời giải:

Áp dụng định lí cosin trong tam giác ABC, ta có:

$B C^{2} = A C^{2} + A B^{2} - 2 A C . A B \cos A$

Mà $A B = 14, A C = 18, \hat{A} = 62^{o}$

$\begin{array}{l} \Rightarrow B C^{2} = 18^{2} + 14^{2} - 2.18.14 \cos 62^{o} \approx 283, 3863 \\ \Leftrightarrow B C \approx 16, 834 \end{array}$

Lại có: Từ định lí cosin ta suy ra:

$\cos B = \frac{A B^{2} + B C^{2} - A C^{2}}{2. A B . B C}; \cos C = \frac{A C^{2} + B C^{2} - A B^{2}}{2. A C . B C}$

$\Rightarrow {\begin{cases} \cos B = \frac{14^{2} + 16, 834^{2} - 18^{2}}{2.14.16, 834} \approx 0, 3297 \\ \cos C = \frac{18^{2} + 16, 834^{2} - 14^{2}}{2.18.16, 834} \approx 0, 6788 \end{cases}$

$\Rightarrow {\begin{cases} \hat{B} \approx 70^{o} 45^{'} \\ \hat{C} \approx 47^{o} 15^{'} \end{cases}$

Vậy $B C \approx 16, 834; \hat{B} \approx 70^{o} 45^{'}; \hat{C} \approx 47^{o} 15^{'} .$

Vận dụng 1 trang 67 Toán lớp 10: Tính khoảng cách giữa hai điểm ở hai đầu của một hồ nước. Biết từ một điểm cách hai đầu hồ lần lượt là 800 m và 900 m người quan sát nhìn hai điểm này dưới một góc $70^{o}$ (Hình 5).

Phương pháp giải:

Áp dụng định lí cosin $a^{2} = b^{2} + c^{2} - 2 b c \cos A$

Lời giải:

Kí hiệu hai vị trí đầu hồ và vị trí quan sát lần lượt bở các điểm A, B, C như hình dưới:

Áp dụng định lí cosin trong tam giác ABC, ta có:

$B C^{2} = A C^{2} + A B^{2} - 2 A C . A B \cos A$

Mà $A B = 800, A C = 900, \hat{A} = 70^{o}$

$\begin{array}{l} \Rightarrow B C^{2} = 900^{2} + 800^{2} - 2.900.800 \cos 70^{o} \approx 957490, 9936 \\ \Leftrightarrow B C \approx 987, 5147 \end{array}$

Vậy khoảng cách giữa hai điểm ở hai đầu hồ là 987,5147 m.

2. Định lí sin trong tam giác

HĐ Khám phá 2 trang 67 Toán lớp 10: a) Cho tam giác ABC không phải là tam giác vuông có $B C = a, A C = b, A B = c$ và R là bán kính của đường trong ngoại tiếp tam giác đó. Vẽ đường kính BD.

i) Tính $\sin \hat{B D C}$ theo a và R.

ii) Tìm mối liên hệ giữa hai góc $\hat{B A C}$ và $\hat{B D C}$ . Từ đó chứng minh rằng $2 R = \frac{a}{\sin A} .$

b) Cho tam giác ABC với góc A vuông. Tính sinA và so sánh a với 2R để chứng tỏ ta vẫn có công thức $2 R = \frac{a}{\sin A} .$

Lời giải:

a) Tam giác BDC vuông tại C nên $\sin \hat{B D C} = \frac{B C}{B D} = \frac{a}{2 R} .$

b) TH1: Tam giác ABC có góc A nhọn

$\hat{B A C} = \hat{B D C}$ do cùng chắn cung nhỏ BC.

$\Rightarrow \sin \hat{B A C} = \sin \hat{B D C} = \frac{a}{2 R} .$

TH2: Tam giác ABC có góc A tù

$\hat{B A C} + \hat{B D C} = 180^{o}$ do ABDC là tứ giác nội tiếp (O).

$\Rightarrow \sin \hat{B A C} = \sin (180^{o} - \hat{B A C}) = \sin \hat{B D C} = \frac{a}{2 R} .$

Vậy với góc A nhọn hay tù ta đều có $2 R = \frac{a}{\sin A} .$

b) Nếu tam giác ABC vuông tại A thì BC là đường kính của (O).

Khi đó ta có: $\sin A = \sin 90^{o} = 1$ và $a = B C = 2 R$

Do đó ta vẫn có công thức: $2 R = \frac{a}{\sin A} .$

Giải toán lớp 10 trang 69 Tập 1 Chân trời sáng tạo

Thực hành 2 trang 69 Toán lớp 10: Tính các cạnh và các góc chưa biết của tam giác MNP trong Hình 8.

Phương pháp giải:

Áp dụng định lí sin cho tam giác MNP:

$\frac{M N}{\sin P} = \frac{M P}{\sin N} = \frac{N P}{\sin M}$

Lời giải:

Ta có: $N P = 22, \hat{P} = 180^{o} - (112^{o} + 34^{o}) = 34^{o}$

Áp dụng định lí sin, ta có:

$\frac{M N}{\sin P} = \frac{M P}{\sin N} = \frac{N P}{\sin M}$

Suy ra:

$M P = \frac{N P . \sin N}{\sin M} = \frac{22. \sin 112^{o}}{\sin 34^{o}} \approx 36, 48$

$M N = \frac{N P . \sin P}{\sin M} = \frac{22. \sin 34^{o}}{\sin 34^{o}} = 22.$

Vận dụng 2 trang 69 Toán lớp 10: Trong một khu bảo tồn, người ta xây dựng một tháp canh và hai bồn chứa nước A, B để phòng hỏa hoạn. Từ tháp canh, người ta phát hiện đám cháy và số liệu đưa về như Hình 9. Nên dẫn nước từ bồn chứa A hay B để dập tắt đám cháy nhanh hơn?

Phương pháp giải:

Áp dụng định lí sin, tính khoảng cách từ bồn chứa nước A đến đám cháy.

Áp dụng định lí cosin, tính khoảng cách từ bồn chứa nước B đến đám cháy.

Lời giải:

Đặt các điểm A, B, C, D lần lượt là vị trí bồn chứa nước A, bồn chứa nước B, tháp canh và đám cháy.

Ta có: $C B = 900, \hat{C D B} = 180^{o} - (125^{o} + 35^{o}) = 20^{o}$

Áp dụng định lí sin trong tam giác CBD, ta có:

$\frac{C B}{\sin D} = \frac{B D}{\sin C} = \frac{C D}{\sin B}$

Suy ra:

$B D = \frac{C B . \sin C}{\sin D} = \frac{900. \sin 35^{o}}{\sin 20^{o}} \approx 1509, 3$

$C D = \frac{C B . \sin B}{\sin D} = \frac{900. \sin 125^{o}}{\sin 20^{o}} = 2155, 5$

Áp dụng định lí cosin trong tam giác ACD ta có:

$\begin{array}{l} A D^{2} = A C^{2} + C D^{2} - 2. A C . C D . \cos \hat{A C D} \\ \Leftrightarrow A D^{2} = 1800^{2} + 2155, 5^{2} - 2.1800.2155, 5. \cos 34^{o} \approx 1453014, 5 \\ \Leftrightarrow A D \approx 1205, 4 \end{array}$

Vì $A D < B D$ nên khoảng cách từ bồn chứa nước A đến đám cháy là ngắn hơn.

Vậy nên dẫn nước từ bồn chứa nước A để dập tắt đám cháy nhanh hơn.

3. Các công thức tính diện tích tam giác

Giải toán lớp 10 trang 70 Tập 1 Chân trời sáng tạo

HĐ Khám phá 3 trang 70 Toán lớp 10: Cho tam giác ABC như Hình 10.

a) Viết công thức tính diện tích S của tam giác ABC theo a và $h_{a}$

b) Tính $h_{a}$ theo b và sinC.

c) Dùng hai kết quả trên để chứng minh công thức $S = \frac{1}{2} a b \sin C$

d) Dùng định lí sin và kết quả ở câu c) để chứng minh công thức $S = \frac{a b c}{4 R}$

Lời giải:

a) Diện tích S của tam giác ABC là: $S = \frac{1}{2} a . h_{a}$

b) Xét tam giác vuông AHC ta có: $\sin C = \frac{A H}{A C} = \frac{h_{a}}{b}$

$\Rightarrow h_{a} = b . \sin C$

c) Thay $h_{a} = b . \sin C$ vào công thức diện tích, ta được: $S = \frac{1}{2} a b \sin C$

d) Theo định lí sin ta có: $\frac{c}{\sin C} = 2 R \Rightarrow \sin C = \frac{c}{2 R}$

Thay vào công thức ở c) ta được: $S = \frac{1}{2} a b \frac{c}{2 R} = \frac{a b c}{4 R} .$

HĐ Khám phá 4 trang 70 Toán lớp 10: Cho tam giác ABC có BC = a, AC = b, AB = c và (I;r) là đường tròn nội tiếp tam giác (Hình 11).

a) Tính diện tích các tam giác IBC, IAC, IAB theo r và a, b, c.

b) Dùng kết quả trên để chứng minh công thức tính diện tích tam giác ABC: $S = \frac{r (a + b + c)}{2}$

Lời giải:

a) Diện tích $S_{1}$ của tam giác IAB là: $S_{1} = \frac{1}{2} r . A B = \frac{1}{2} r . c$

Diện tích $S_{2}$ của tam giác IAC là: $S_{2} = \frac{1}{2} r . A C = \frac{1}{2} r . b$

Diện tích $S_{3}$ của tam giác IBC là: $S_{3} = \frac{1}{2} r . B C = \frac{1}{2} r . a$

b) Diện tích S của tam giác ABC là:

$\begin{array}{l} S = S_{1} + S_{2} + S_{3} = \frac{1}{2} r . c + \frac{1}{2} r . b + \frac{1}{2} r . a = \frac{1}{2} r . (c + b + a) \\ \Leftrightarrow S = \frac{r (a + b + c)}{2} \end{array}$

Giải toán lớp 10 trang 71 Tập 1 Chân trời sáng tạo

Thực hành 3 trang 71 Toán lớp 10: Tính diện tích tam giác ABC và bán kính đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC trong các trường hợp sau:

a) Các cạnh $b = 14, c = 35$ và $\hat{A} = 60^{o}$

b) Các cạnh $a = 4, b = 5, c = 3$

Phương pháp giải:

a) Áp dụng công thức: $S = \frac{1}{2} b c \sin A$

b) Áp dụng công thức Heron $S = \sqrt{p (p - a) (p - b) (p - c)}$

Lời giải:

a) Áp dụng công thức: $S = \frac{1}{2} b c \sin A$ , ta có:

$S = \frac{1}{2} .14 .35 . \sin 60^{o} = \frac{1}{2} .14 .35 . \frac{\sqrt{3}}{2} \approx 212, 2$

b) Ta có: $p = \frac{1}{2} . (4 + 5 + 3) = 6$

Áp dụng công thức Heron, ta có:

$S = \sqrt{p (p - a) (p - b) (p - c)} = \sqrt{6 (6 - 4) (6 - 5) (6 - 3)} = 6.$

Giải toán lớp 10 trang 72 Tập 1 Chân trời sáng tạo

Vận dụng 3 trang 72 Toán lớp 10: Tính diện tích một cánh buồm hình tam giác. Biết cách buồm đó có chiều dài một cạnh là 3,2 m và hai góc kề cách đó có số đo là $48^{o}$ và $105^{o}$ (Hình 12).

Phương pháp giải:

Bước 1: Áp dụng định lí sin tính AC.

Bước 2: Tính diện tích tam giác ABC bằng công thức $S = \frac{1}{2} a b \sin C$

Lời giải:

Kí hiệu các điểm A, B, C như hình dưới

Đặt $A B = c, A C = b, B C = a .$

Ta có: $B C = 3, 2; \hat{A} = 180^{o} - (48^{o} + 105^{o}) = 27^{o}$

Áp dụng định lí sin, ta có:

$\frac{b}{\sin B} = \frac{a}{\sin A} \Rightarrow A C = b = \frac{a . \sin B}{\sin A} = \frac{3, 2. \sin 48^{o}}{\sin 105^{o}} \approx 2, 46 (m)$

Áp dụng công thức $S = \frac{1}{2} a b \sin C$ ta có:

$S = \frac{1}{2} .3, 2.2, 46 \sin 105^{o} \approx 1, 9 (m^{2})$

Bài tập

Bài 1 trang 72 Toán lớp 10: Tính độ dài cạnh x trong các tam giác sau :

Tính độ dài cạnh x trong các tam giác sau

Phương pháp giải:

Áp dụng định lí cosin, tính x bằng công thức: $x^{2} = 6, 5^{2} + 5^{2} - 2.6, 5.5. \cos 72^{o}$

Lời giải:

a) Áp dụng định lí cosin, ta có:

$\begin{array}{l} x^{2} = 6, 5^{2} + 5^{2} - 2.6, 5.5. \cos 72^{o} \approx 47, 16 \\ \Leftrightarrow x \approx 6, 87 \end{array}$

b) Áp dụng định lí cosin, ta có:

$\begin{array}{l} x^{2} = {(\frac{1}{5})}^{2} + {(\frac{1}{3})}^{2} - 2. \frac{1}{5} . \frac{1}{3} . \cos 123^{o} \approx 0, 224 \\ \Leftrightarrow x \approx 0, 473 \end{array}$

Bài 2 trang 72 Toán lớp 10: Tính độ dài cạnh c trong tam giác ABC ở Hình 14.

Tính độ dài cạnh c trong tam giác ABC ở Hình 14

Phương pháp giải:

Áp dụng định lí sin:

$\frac{c}{\sin 105^{o}} = \frac{12}{\sin 35^{o}}$

Lời giải:

Áp dụng định lí sin, ta có:

$\frac{c}{\sin 105^{o}} = \frac{12}{\sin 35^{o}} \Rightarrow c = \frac{12. \sin 105^{o}}{\sin 35^{o}} \approx 3, 37$

Bài 3 trang 72 Toán lớp 10: Cho tam giác ABC, biết cạnh a = 152, $\hat{B} = 79^{o}, \hat{C} = 61^{o}$ . Tính các góc, các cạnh còn lại và bán kính đường tròn ngoại tiếp của tam giác đó.

Phương pháp giải:

Áp dụng định lí sin:

$\frac{a}{\sin A} = \frac{b}{\sin B} = \frac{c}{\sin C} = 2 R$

Lời giải:

Đặt $A B = c, A C = b, B C = a .$

Ta có: $a = 152; \hat{A} = 180^{o} - (79^{o} + 61^{o}) = 40^{o}$

Áp dụng định lí sin, ta có:

$\frac{a}{\sin A} = \frac{b}{\sin B} = \frac{c}{\sin C} = 2 R$

Suy ra:

$\begin{array}{l} A C = b = \frac{a . \sin B}{\sin A} = \frac{152. \sin 79^{o}}{\sin 40^{o}} \approx 232, 13 \\ A B = c = \frac{a . \sin C}{\sin A} = \frac{152. \sin 61^{o}}{\sin 40^{o}} \approx 206, 82 \\ R = \frac{a}{\sin A} = \frac{152}{\sin 40^{o}} \approx 236, 47 \end{array}$

Giải toán lớp 10 trang 73 Tập 1 Chân trời sáng tạo

Bài 4 trang 73 Toán lớp 10: Một công viên có dạng hình tam giác với các kích thước như Hình 15. Tính số đo các góc của tam giác đó.

Một công viên có dạng hình tam giác với các kích thước như Hình 15

Phương pháp giải:

Áp dụng định lí cosin để tính góc:

$\cos A = \frac{b^{2} + c^{2} - a^{2}}{2 b c}; \cos B = \frac{a^{2} + c^{2} - b^{2}}{2 a c}; \cos C = \frac{a^{2} + b^{2} - c^{2}}{2 a b} .$

Lời giải:

Đặt $a = B C, b = A C, c = A B$

Ta có: $a = 800, b = 700, c = 500.$

Áp dụng định lí cosin, ta có:

$\cos A = \frac{b^{2} + c^{2} - a^{2}}{2 b c}; \cos B = \frac{a^{2} + c^{2} - b^{2}}{2 a c}; \cos C = \frac{a^{2} + b^{2} - c^{2}}{2 a b} .$

Suy ra:

$\begin{array}{l} \cos A = \frac{700^{2} + 500^{2} - 800^{2}}{2.700.500} = \frac{1}{7} \Rightarrow \hat{A} = 81^{o} 47^{'} 12, 44^{″}; \\ \cos B = \frac{500^{2} + 800^{2} - 700^{2}}{2.500.800} = \frac{1}{2} \Rightarrow \hat{B} = 60^{o}; \\ \cos C = \frac{800^{2} + 700^{2} - 500^{2}}{2.800.700} = \frac{11}{14} \Rightarrow \hat{C} = 38^{o} 12^{'} 47, 56^{″} . \end{array}$

Vậy $\hat{A} = 81^{o} 47^{'} 12, 44^{″}; \hat{B} = 60^{o}; \hat{C} = 38^{o} 12^{'} 47, 56^{″} .$

Bài 5 trang 73 Toán lớp 10: Tính diện tích một lá cờ hình tam giác cân có độ dài cạnh bên là 90 cm và góc ở đỉnh là 35°.

Tính diện tích một lá cờ hình tam giác cân có độ dài cạnh bên là 90 cm

Phương pháp giải:

Tính diện tích bằng công thức: $S = \frac{1}{2} b c \sin A$

Lời giải:

Kí hiệu các điểm A, B, C như hình trên.

Từ giả thiết ta có: $A B = A C = 90, \hat{A} = 35^{o}$

Áp dụng công thức $S = \frac{1}{2} b c \sin A$ , ta có: $S = \frac{1}{2} .90 .90 . c \sin 35^{o} \approx 2323 (c m^{2})$

Bài 6 trang 73 Toán lớp 10: Cho tam giác ABC có AB = 6, AC = 8 và $\hat{A} = 60^{o}$ .

a) Tính diện tích tam giác ABC.

b) Gọi I là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC. Tính diện tích tam giác IBC.

Phương pháp giải:

a) Tính diện tích bằng công thức: $S = \frac{1}{2} b c \sin A$

b) Tìm a, từ đó suy ra R bằng định lí sin => Tính diện tích tam giác IBC

Lời giải:

Đặt $a = B C, b = A C, c = A B .$

a) Áp dụng công thức $S = \frac{1}{2} b c \sin A$ , ta có: $S_{A B C} = \frac{1}{2} .8 .6 . \sin 60^{o} = \frac{1}{2} .8 .6 . \frac{\sqrt{3}}{2} = 12 \sqrt{3}$

b) Áp dụng định lí cosin cho tam giác ABC ta được:

$\begin{array}{l} B C^{2} = a^{2} = 8^{2} + 6^{2} - 2.8.6. \cos 60^{o} = 52 \\ \Rightarrow B C = 2 \sqrt{13} \end{array}$

Xét tam giác IBC ta có:

Góc $\hat{B I C} = 2. \hat{B A C} = 120^{o}$ (góc ở tâm và góc nội tiếp cùng chắn một cung)

$I B = I C = R = \frac{a}{\sin A} = \frac{2 \sqrt{13}}{\frac{\sqrt{3}}{2}} = \frac{4 \sqrt{39}}{3} .$

$\Rightarrow S_{I B C} = \frac{1}{2} . \frac{4 \sqrt{39}}{3} . \frac{4 \sqrt{39}}{3} \sin 120^{o} = \frac{52 \sqrt{3}}{3} .$

Bài 7 trang 73 Toán lớp 10: Cho tam giác ABC có trọng tâm G và độ dài ba cạnh AB, BC, CA lần lượt là 15, 18, 27.

a) Tính diện tích và bán kính đường tròn nội tiếp tam giác ABC.

b) Tính diện tích tam giác GBC.

Phương pháp giải:

a) Tính r bằng công thức: $S = p . r$ . Trong đó S tính bởi công thức heron.

b) Tìm a, từ đó suy ra R bằng định lí sin => Tính diện tích tam giác IBC

Lời giải:

a) Đặt $a = B C, b = A C, c = A B .$

Ta có: $p = \frac{1}{2} (15 + 18 + 27) = 30$

Áp dụng công thức heron, ta có:

$S_{A B C} = \sqrt{30 (30 - 15) (30 - 18) (30 - 27)} = 90 \sqrt{2}$

Và $r = \frac{S}{p} = \frac{90 \sqrt{2}}{30} = 3 \sqrt{2}$

b) Gọi, H, K lần lượt là chân đường cao hạ từ A và G xuống BC, M là trung điểm BC.

G là trọng tâm tam giác ABC nên $G M = \frac{1}{3} A M$

$\begin{array}{l} \Rightarrow G K = \frac{1}{3} . A H \\ \Rightarrow S_{G B C} = \frac{1}{3} . S_{A B C} = \frac{1}{3} .90 \sqrt{2} = 30 \sqrt{2} . \end{array}$

Xét tam giác IBC ta có:

Góc $\hat{B I C} = 2. \hat{B A C} = 120^{o}$ (góc ở tâm và góc nội tiếp cùng chắn một cung)

$I B = I C = R = \frac{a}{\sin A} = \frac{2 \sqrt{13}}{\frac{\sqrt{3}}{2}} = \frac{4 \sqrt{39}}{3} .$

$\Rightarrow S_{I B C} = \frac{1}{2} . \frac{4 \sqrt{39}}{3} . \frac{4 \sqrt{39}}{3} \sin 120^{o} = \frac{52 \sqrt{3}}{3} .$

Bài 8 trang 73 Toán lớp 10: Cho ha là đường cao vẽ từ đỉnh A, R là bán kính đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC. Chứng minh hệ thức ha = 2RsinBsinC.

Phương pháp giải:

Bước 1: Tính $h_{a}$ theo b và sinC

Bước 2: Tính b theo R và sinB. Từ đó suy ra điều phải chứng minh.

Lời giải:

Đặt $a = B C, b = A C, c = A B$

Ta có: $\sin C = \frac{A H}{A C} = \frac{h_{a}}{b} \Rightarrow h_{a} = b . \sin C$

Theo định lí sin, ta có: $\frac{b}{\sin B} = 2 R \Rightarrow b = 2 R . \sin B$

$\Rightarrow h_{a} = 2 R . \sin B . \sin C$

Bài 9 trang 73 Toán lớp 10: Cho tam giác ABC có góc B nhọn, AD và CE là hai đường cao.

a) Chứng minh $\frac{S_{B D E}}{S_{B A C}} = \frac{B D . B E}{B A . B C}$

b) Biết rằng SABC = 9SBDE và DE = $2 \sqrt{2}$ . Tính cosB và bán kính đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC.

Phương pháp giải:

a) Tính diện tích bằng công thức $S = \frac{1}{2} a c . \sin B$

b) $\cos B = \frac{B D}{B A} = \frac{B E}{B C}$

Lời giải:

a) Áp dụng công thức $S = \frac{1}{2} a c . \sin B$ cho tam giác ABC và BED, ta có:

$S_{A B C} = \frac{1}{2} . B A . B C . \sin B; S_{B E D} = \frac{1}{2} . . B E . B D . \sin B$

$\Rightarrow \frac{S_{B E D}}{S_{A B C}} = \frac{\frac{1}{2} . B E . B D . \sin B}{\frac{1}{2} . B A . B C . \sin B} = \frac{B E . B D}{B A . B C}$

b) Ta có: $\cos B = \frac{B D}{B A} = \frac{B E}{B C}$

Mà $\frac{S_{B E D}}{S_{A B C}} = \frac{1}{9} \Rightarrow \frac{B D}{B A} . \frac{B E}{B C} = \frac{1}{9}$

$\Rightarrow \cos B = \frac{B D}{B A} = \frac{B E}{B C} = \frac{1}{3}$

+) Xét tam giác ABC và tam giác DEB ta có:

$\frac{B E}{B C} = \frac{B D}{B A} = \frac{1}{3}$ và góc B chung

$\Rightarrow Δ A B C \sim Δ D E B$ (cgc)

$\Rightarrow \frac{D E}{A C} = \frac{1}{3} \Rightarrow A C = 3. D E = 3.2 \sqrt{2} = 6 \sqrt{2} .$

Ta có: $\cos B = \frac{1}{3} \Rightarrow \sin B = \sqrt{1 - {(\frac{1}{3})}^{2}} = \frac{2 \sqrt{2}}{3}$ (do B là góc nhọn)

Áp dụng định lí sin trong tam giác ABC ta có:

$\frac{A C}{\sin B} = 2 R \Rightarrow R = \frac{6 \sqrt{2}}{\frac{2 \sqrt{2}}{3}} : 2 = \frac{9}{2}$

Bài 10 trang 73 Toán lớp 10: Cho tứ giác lồi ABCD có các đường chéo AC = x, BD = y và góc giữa AC và BD bằng α. Gọi S là diện tích của tứ giác ABCD.

a) Chứng minh $S = \frac{1}{2} x y \sin α$

b) Nêu kết quả trong trường hợp AC ⊥ BD.

Phương pháp giải:

a) Tính diện tích 4 tam giác nhỏ theo $\sin α$ .

Chú ý: $\sin (180^{o} - α) = \sin α$

b) $α = 90^{o}$ thì $\sin α = 1$

Lời giải:

Gọi O là giao điểm của AC và BD.

a) Áp dụng công thức $S = \frac{1}{2} a c . \sin B$ , ta có:

$\begin{array}{l} S_{O A D} = \frac{1}{2} . O A . O D . \sin α; S_{O B C} = \frac{1}{2} . . O B . O C . \sin α; \\ S_{O A B} = \frac{1}{2} . O A . O B . \sin (180^{o} - α); S_{O C D} = \frac{1}{2} . O D . O C . \sin (180^{o} - α) . \end{array}$

Mà $\sin (180^{o} - α) = \sin α$

$\Rightarrow S_{O A B} = \frac{1}{2} . O A . O B . \sin α; S_{O C D} = \frac{1}{2} . O D . O C . \sin α .$

$\begin{array}{l} \Rightarrow S_{A B C D} = (S_{O A D} + S_{O A B}) + (S_{O B C} + S_{O C D}) \\ = \frac{1}{2} . O A . \sin α . (O D + O B) + \frac{1}{2} . O C . \sin α . (O B + O D) \\ = \frac{1}{2} . O A . \sin α . B D + \frac{1}{2} . O C . \sin α . B D \\ = \frac{1}{2} . B D . \sin α . (O A + O C) \\ = \frac{1}{2} . A C . B D . \sin α = \frac{1}{2} . x . y . \sin α . \end{array}$

b) Nếu $A C ⊥ B D$ thì $α = 90^{o} \Rightarrow \sin α = 1.$

$\Rightarrow S_{A B C D} = \frac{1}{2} . x . y .1 = \frac{1}{2} . x . y .$

Lý thuyết Định lí côsin và định lí sin

1. Định lí côsin trong tam giác

Định lí côsin: Trong tam giác ABC với BC = a, CA = b, AB = c, ta có:

a² = b² + c² – 2bc.cosA;

b² = c² + a² – 2ca.cosB;

c² = a² + b² – 2ab.cosC.

Từ định lí côsin, ta có hệ quả sau đây:

Hệ quả:

$\cos A = \frac{b^{2} + c^{2} - a^{2}}{2 b c};$

$\cos B = \frac{c^{2} + a^{2} - b^{2}}{2 c a};$

$\cos C = \frac{a^{2} + b^{2} - c^{2}}{2 a b} .$

Ví dụ 1. Cho tam giác ABC có AB = 4, AC = 5 và $\cos A = \frac{3}{5} .$ Tính độ dài cạnh BC, số đo góc B và C (làm tròn số đo góc đến độ).

Hướng dẫn giải

Xét tam giác ABC có AB = 4, AC = 5 và $\cos A = \frac{3}{5},$ áp dụng định lí côsin ta có:

BC² = AB² + AC² – 2.AB.AC.cosA

$\Rightarrow B C^{2} = 4^{2} + 5^{2} - 2.4.5. \frac{3}{5}$

Þ BC² = 17

$\Rightarrow B C = \sqrt{17} .$

Áp dụng hệ quả định lí côsin ta có:

+) $\cos B = \frac{A B^{2} + B C^{2} - A C^{2}}{2. A B . B C}$

$\Rightarrow \cos B = \frac{4^{2} + 17 - 5^{2}}{2.4. \sqrt{17}}$

$\Rightarrow \cos B = \frac{\sqrt{17}}{17} \Rightarrow B \approx 76 ° .$

+) $\cos C = \frac{A C^{2} + B C^{2} - A B^{2}}{2. A C . B C}$

$\Rightarrow \cos B = \frac{5^{2} + 17 - 4^{2}}{2.5. \sqrt{17}}$

$\Rightarrow \cos C = \frac{13 \sqrt{17}}{85} \Rightarrow C \approx 51 ° .$

Vậy $B C = \sqrt{17}, B \approx 76 °$ và C ≈ 51°.

2. Định lí sin trong tam giác

Định lí sin: Trong tam giác ABC với BC = a, CA = b, AB = c, ta có:

$\frac{a}{\sin A} = \frac{b}{\sin B} = \frac{c}{\sin C} = 2 R;$

Trong đó R là bán kính đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC.

Từ định lí sin, ta có hệ quả sau đây:

Hệ quả:

a = 2R.sinA; b = 2R.sinB; c = 2R.sinC;

$\sin A = \frac{a}{2 R}; \sin B = \frac{b}{2 R}; \sin C = \frac{c}{2 R} .$

Ví dụ 2. Cho hình vẽ:

Tính các cạnh, các góc chưa biết và bán kính đường tròn ngoại tiếp R của tam giác ABC (làm tròn độ dài đến chữ số thập phân thứ nhất).

Hướng dẫn giải

Xét tam giác ABC có $\hat{A} = 60 °, \hat{B} = 40 °$ ta có:

$\hat{A} + \hat{B} + \hat{C} = 180 °$ (định lí tổng ba góc trong tam giác)

$\Rightarrow \hat{C} = 180 ° - \hat{A} - \hat{B}$

$\Rightarrow \hat{C} = 180 ° - 60 ° - 40 ° = 80 °$

Theo định lí sin ta có: $\frac{B C}{\sin A} = \frac{A C}{\sin B} = \frac{A B}{\sin C} = 2 R$

$\Rightarrow \frac{B C}{\sin 60 °} = \frac{A C}{\sin 40 °} = \frac{14}{\sin 80 °} = 2 R$

$\Rightarrow \{\begin{cases} B C = \frac{14. \sin 60 °}{\sin 80 °} \approx 12, 3 \\ A C = \frac{14. \sin 40 °}{\sin 80 °} \approx 9, 1 \\ R = \frac{14}{2. \sin 80 °} \approx 7, 1 \end{cases}$

Vậy $\hat{C} = 80 °; B C \approx 12, 3; A C \approx 9, 1$ và R ≈ 7,1.

3. Các công thức tính diện tích tam giác

Cho tam giác ABC. Ta kí hiệu:

+) BC = a, CA = b, AB = c.

+) h_a, h_b, h_c là độ dài các đường cao lần lượt ứng với các cạnh BC, CA, AB.

+) R là bán kính đường tròn ngoại tiếp tam giác.

+) r là bán kính đường tròn nội tiếp tam giác.

+) p là nửa chu vi tam giác.

+) S là diện tích tam giác.

Ta có các công thức tính diện tích tam giác sau:

(1) $S = \frac{1}{2} a h_{a} = \frac{1}{2} b h_{b} = \frac{1}{2} c h_{c};$

(2) $S = \frac{1}{2} a b . \sin C = \frac{1}{2} b c . \sin A = \frac{1}{2} a c . \sin B;$

(3) $S = \frac{a b c}{4 R};$

(4) S = pr;

(5) $S = \sqrt{p (p - a) (p - b) (p - c)}$ (Công thức Heron).

Ví dụ 3. Tính diện tích S của tam giác ABC, bán kính đường tròn nội tiếp r và bán kính đường tròn ngoại tiếp R (nếu chưa biết) (làm tròn kết quả đến chữ số thập phân thứ ba) trong các trường hợp sau:

a) $\hat{A} = 30 °, \hat{B} = 45 °, R = 3$ ;