Với giải sách bài tập Toán 10 Bài 2: Định lí côsin và định lí sin sách Chân trời sáng tạo hay, chi tiết giúp học sinh dễ dàng xem và so sánh lời giải từ đó biết cách làm bài tập trong SBT Toán 10. Mời các bạn đón xem:

Giải SBT Toán lớp 10 Bài 2: Định lí côsin và định lí sin

Giải SBT Toán 10 trang 74 Tập 1

Bài 1 trang 74 SBT Toán 10 Tập 1: Tính độ dài các cạnh chưa biết trong tam giác sau:

Lời giải

a) Áp dụng định lí côsin ta có:

BC² = AB² + AC² – 2.AB.AC.cos$\hat{A}$

BC² = 10² + 9² – 2.10.9.cos65°

BC ² ≈ 104,929

BC ≈ 10,24 (cm).

Vậy BC ≈ 10,24 (cm).

b) $\hat{P}$= 180° – 112° – 34° = 34°.

Ta có: $\widehat{\text{P}}$ = $\widehat{\text{M}}$ ⇒ tam giác MNP cân tại N ⇒ MN = NP = 22 (cm)

Áp dụng định lí sin ta có: $\frac{\text{MP}}{\text{sinN}}\text{ = }\frac{\text{MN}}{\text{sinP}}\text{ = }\frac{\text{NP}}{\text{sinM}}=\frac{22}{\sin 34°}$.

⇒ MP = $\frac{22}{\sin 34°}$.sin112° ≈ 36,48 (cm)

Vậy MP ≈ 36,48 cm, MN = 22 cm.

Bài 2 trang 74 SBT Toán 10 Tập 1: Cho tam giác ABC biết cạnh a = 75 cm, $\hat{B}$ = 80°, $\hat{C}$= 40°.

a) Tính các góc, các cạnh còn lại của tam giác ABC.

b) Tính bán kính đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC.

Lời giải

a) Ta có: $\hat{A}$= 180° – 80° – 40° = 60°.

Áp dụng định lí sin ta có:

$\frac{\text{a}}{\text{sinA}}\text{ = }\frac{\text{b}}{\text{sinB}}\text{ = }\frac{\text{c}}{\text{sinC}}$ = $\frac{75}{\sin 60°}$

⇒ b = $\frac{75}{\sin 60°}$. sin80° ≈ 85,29 (cm);

⇒ c = $\frac{75}{\sin 60°}$. sin40° ≈ 55,67 (cm).

Vậy AC ≈ 85,29 cm; AB ≈ 55,67 cm và $\hat{A}$= 60°.

b) R = $\frac{\text{a}}{\text{2sinA}}$ = $\frac{75}{2.\sin 60°}$ = 25$\sqrt{3}$ (cm).

Vậy R = 25$\sqrt{3}$ cm.

Giải SBT Toán 10 trang 75 Tập 1

Bài 3 trang 75 SBT Toán 10 Tập 1: Tìm góc lớn nhất của tam giác ABC, biết a = 8, b = 12, c = 6.

Lời giải

Do b là cạnh lớn nhất nên B là góc lớn nhất.

Theo định lí côsin: b² = a² + c² – 2accosB

⇒ cosB = $\frac{{\text{a}}^2+{\text{c}}^2-{\text{b}}^2}{2\text{ac}}$ = $\frac{8^2+6^2-{12}^2}{\mathrm{2.8.6}}$

⇒ cosB = $\frac{-11}{24}$.

⇒ $\widehat{\text{B}}$ = 117°16’46’’.

Vậy góc lớn nhất của tam giác ABC là  = 117°16’46’’.

Bài 4 trang 75 SBT Toán 10 Tập 1: Tính khoảng cách giữa hai điểm P và Q của một hồ nước ( Hình 7). Cho biết từ một điểm O cách hai điểm P và Q lần lượt là 1400m và 600m người quan sát nhìn thấy một góc 76°.

Lời giải

Áp dụng định lí côsin:

PQ² = OP² + OQ² – 2.OP.OQ.cos$\hat{O}$

PQ² = 1400² + 600² – 2.1400.600.cos76°

PQ = $\sqrt{{1400}^2+{600}^2–\mathrm{2.1400.600.}\text{cos}76°}$

PQ ≈ 1383,32 (m).

Vậy khoảng cách giữa hai điểm PQ là PQ ≈ 1383,32 (m).

Bài 5 trang 75 SBT Toán 10 Tập 1: Cho tam giác ABC với BC = a; AC = b; AB = c. Chứng minh rằng: 1 + cosA = $\frac{(\text{a}+\text{b}+\text{c})(-\text{a}+\text{b}+\text{c})}{2\mathrm{bc}}$.

Lời giải

Theo định lí côsin ta có: a² = b² + c² – 2bccosA

⇒ cosA = $\frac{{\text{b}}^2+{\text{c}}^2-{\text{a}}^2}{\text{2bc}}$

Ta có:

1 + cosA = 1 + $\frac{{\text{b}}^2+{\text{c}}^2-{\text{a}}^2}{\text{2bc}}$ 

= $\frac{2\text{bc}+{\text{b}}^2+{\text{c}}^2-{\text{a}}^2}{2\text{bc}}$ 

= $\frac{{(\text{b}+\text{c})}^2-{\text{a}}^2}{2\text{bc}}$ 

= $\frac{(\text{a}+\text{b}+\text{c})(-\text{a}+\text{b}+\text{c})}{2\mathrm{bc}}$

Vậy ta có điều phải chứng minh.

Bài 6 trang 75 SBT Toán 10 Tập 1: Cho tam giác ABC có a = 24cm, b = 26cm, c = 30cm.

a) Tính diện tích tam giác ABC.

b) Tính bán kính đường tròn nội tiếp tam giác ABC.

Lời giải

a) Ta có: p = $\frac{\text{a}+\text{b}+\text{c}}{2}$ = $\frac{24+26+30}{2}$ = 40

Áp dụng công thức Heron:

S = $\sqrt{\text{p}.(\text{p}-\text{a}).(\text{p}-\text{b}).(\text{p}-\text{c})}$

S = $\sqrt{40.(40-24).(40-26).(40-30)}$

S = 80$\sqrt{14}$(cm²).

Vậy diện tích tam giác ABC là 80$\sqrt{14}$(cm²).

b) Ta có: S = p.r = 40r = 80$\sqrt{14}$

⇒ r = 2$\sqrt{14}$(cm).

Vậy bán kính đường tròn nội tiếp tam giác ABC là r = 2$\sqrt{14}$cm.

Bài 7 trang 75 SBT Toán 10 Tập 1: Cho tam giác MNP có MN = 10, MP = 20 và $\hat{M}$= 42°.

a) Tính diện tích tam giác MNP.

b) Gọi O là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác MNP. Tính diện tích tam giác ONP.

Lời giải

a) Diện tích tam giác MNP là:

S = $\frac{1}{2}$.MN.MP.sin$\hat{M}$= $\frac{1}{2}$.10.20.sin42° ≈ 67 (đvdt).

Vậy diện tích tam giác MNP là 67 đvdt.

b)

Áp dụng định lí côsin:

NP² = MP² + MN² – 2.MN.MP.cos$\hat{M}$

NP² = 10² + 20² – 2.10.20.cos42°

NP = $\sqrt{{10}^2+{20}^2–\mathrm{2.10.20.}\text{cos}42°}$

NP ≈ 14,24.

Áp dụng định lí sin trong tam giác MNP, ta có: R = ON = OP = $\frac{\text{NP}}{\text{2sin}\widehat{\text{M}}}$ ≈ $\frac{14,24}{2\sin 42°}$ ≈ 10,64

Xét đường tròn tâm O ngoại tiếp tam giác MNP:

$\widehat{\text{NMP}}$ là góc nội tiếp chắn cung NP ⇒ $\widehat{\text{NMP}}$ = $\frac{1}{2}\widehat{\text{NOP}}$ ⇒ $\widehat{\text{NOP}}$ = 42°.2 = 84°.

Suy ra S_ONP = $\frac{1}{2}$.ON.OP.sin$\widehat{\text{NOP}}$ ≈ $\frac{1}{2}$.(10,64)².sin84° ≈ 56,30 (đvdt)

Vậy diện tích tam giác ONP là 56,30 đvdt.

Bài 8 trang 75 SBT Toán 10 Tập 1: Cho tam giác ABC có trọng tâm G. Chứng minh các tam giác GBC, GAB, GAC có diện tích bằng nhau.

Lời giải

Vẽ AH và GK vuông góc với BC.

Gọi M là chân đường trung tuyến từ A hạ xuống BC. Ta có GM = AM ( tính chất đường trung tuyến của tam giác).

Xét tam giác GKM và tam giác AHM:

$\widehat{\text{AHM}}$ = $\widehat{\text{GKM}}$ = 90°

$\widehat{\text{AMH}}$ = $\widehat{\text{GMK}}$ 

⇒ tam giác GKM và tam giác AHM đồng dạng (g.g).

⇒ $\frac{\text{GM}}{\text{AM}}=\frac{\text{GK}}{\text{AH}}=\frac{1}{3}$

Có $\frac{{\text{S}}_{\text{GBC}}}{{\text{S}}_{\text{ABC}}\text{}}\text{ = }\frac{\frac{\text{1}}{\text{2}}\text{.GK.BC}}{\frac{\text{1}}{\text{2}}\text{.AH.BC}}$ = $\frac{\text{GK}}{\text{AH}}=\frac{1}{3}$.

Chứng minh tương tự ta được:

S_GBC = S_GAB = S_GAC = $\frac{1}{3}$S_ABC. ( ĐPCM).

Bài 9 trang 75 SBT Toán 10 Tập 1: Cho tam giác ABC và các điểm B’, C’ trên cạnh AB và AC. Chứng minh: $\frac{{\text{S}}_{\text{ABC}}}{{\text{S}}_{\text{AB'C'}}}\text{ = }\frac{\text{AB.AC}}{\text{AB'.AC'}}$.

Lời giải

Ta có:

S_ABC = $\frac{1}{2}$.AB.AC.sin$\hat{A}$

S_AB’C’ = $\frac{1}{2}$.AB’.AC’.sin$\hat{A}$

⇒ $\frac{{\text{S}}_{\text{ABC}}}{{\text{S}}_{\text{AB'C'}}}$ = $\frac{\frac{\text{1}}{\text{2}}\text{.AB.AC.sin}\widehat{\text{A}}}{\frac{1}{2}\text{.AB’.AC’.sin}\widehat{\text{A}}}$

⇒ $\frac{{\text{S}}_{\text{ABC}}}{{\text{S}}_{\text{AB'C'}}}\text{ = }\frac{\text{AB.AC}}{\text{AB'.AC'}}$ (ĐPCM).

Giải SBT Toán 10 trang 76 Tập 1

Bài 10 trang 76 SBT Toán 10 Tập 1: Tính diện tích bề mặt của một miếng bánh mì kebab hình tam giác có hai cạnh lần lượt là 10cm và 12cm và góc được tạo bởi hai cạnh đó là 35°.

Lời giải

Diện tích bề mặt miếng bánh mì kebab là:

S = $\frac{1}{2}$.10.12.sin35° ≈ 34,4 (cm²).

Vậy diện tích bề mặt miếng bánh mì kebab khoảng 34,4 cm².

Xem thêm các bài giải SBT Toán 10 Chân trời sáng tạo hay, chi tiết khác:

Bài 1: Giá trị lượng giác của một góc từ 0 đến 180

Bài 2: Định lí côsin và định lí sin

Bài 3: Giải tam giác và ứng dụng thực tế

Bài tập cuối chương 4

Bài 1: Khái niệm vectơ

Lý thuyết Định lí côsin và định lí sin

1. Định lí côsin trong tam giác

Định lí côsin: Trong tam giác ABC với BC = a, CA = b, AB = c, ta có:

a² = b² + c² – 2bc.cosA;

b² = c² + a² – 2ca.cosB;

c² = a² + b² – 2ab.cosC.

Từ định lí côsin, ta có hệ quả sau đây:

Hệ quả:

$\cos A=\frac{b^2+c^2-a^2}{2bc};$
 

$\cos B=\frac{c^2+a^2-b^2}{2ca};$

$\cos C=\frac{a^2+b^2-c^2}{2ab}.$

Ví dụ 1. Cho tam giác ABC có AB = 4, AC = 5 và $\cos A=\frac{3}{5}.$ Tính độ dài cạnh BC, số đo góc B và C (làm tròn số đo góc đến độ).

Hướng dẫn giải

Xét tam giác ABC có AB = 4, AC = 5 và $\cos A=\frac{3}{5},$ áp dụng định lí côsin ta có:

BC² = AB² + AC² – 2.AB.AC.cosA

$\Rightarrow B{C}^2=4^2+5^2-\mathrm{2.4.5.}\frac{3}{5}$ 

Þ BC² = 17

$\Rightarrow BC=\sqrt{17}.$ 

Áp dụng hệ quả định lí côsin ta có:

+) $\cos B=\frac{A{B}^2+B{C}^2-A{C}^2}{2.AB.BC}$ 

$\Rightarrow \cos B=\frac{4^2+17-5^2}{\mathrm{2.4.}\sqrt{17}}$ 

$\Rightarrow \cos B=\frac{\sqrt{17}}{17}\Rightarrow B\approx 76°.$

+) $\cos C=\frac{A{C}^2+B{C}^2-A{B}^2}{2.AC.BC}$

$\Rightarrow \cos B=\frac{5^2+17-4^2}{\mathrm{2.5.}\sqrt{17}}$

$\Rightarrow \cos C=\frac{13\sqrt{17}}{85}\Rightarrow C\approx 51°.$

Vậy $BC=\sqrt{17},B\approx 76°$ và C ≈ 51°.

2. Định lí sin trong tam giác

Định lí sin: Trong tam giác ABC với BC = a, CA = b, AB = c, ta có:

$\frac{a}{\sin A}=\frac{b}{\sin B}=\frac{c}{\sin C}=2R;$

Trong đó R là bán kính đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC.

Từ định lí sin, ta có hệ quả sau đây:

Hệ quả:

a = 2R.sinA; b = 2R.sinB; c = 2R.sinC;

$\sin A=\frac{a}{2R};\sin B=\frac{b}{2R};\sin C=\frac{c}{2R}.$ 

Ví dụ 2. Cho hình vẽ:

Tính các cạnh, các góc chưa biết và bán kính đường tròn ngoại tiếp R của tam giác ABC (làm tròn độ dài đến chữ số thập phân thứ nhất).

Hướng dẫn giải

Xét tam giác ABC có $\widehat{A}=60°,\widehat{B}=40°$ ta có:

$\widehat{A}+\widehat{B}+\widehat{C}=180°$ (định lí tổng ba góc trong tam giác)

$\Rightarrow \widehat{C}=180°-\widehat{A}-\widehat{B}$ 

$\Rightarrow \widehat{C}=180°-60°-40°=80°$

Theo định lí sin ta có: $\frac{BC}{\sin A}=\frac{AC}{\sin B}=\frac{AB}{\sin C}=2R$

$\Rightarrow \frac{BC}{\sin 60°}=\frac{AC}{\sin 40°}=\frac{14}{\sin 80°}=2R$ 

 $\Rightarrow \left\{\begin{array}{l}BC=\frac{14.\sin 60°}{\sin 80°}\approx 12,3\\ AC=\frac{14.\sin 40°}{\sin 80°}\approx 9,1\\ R=\frac{14}{2.\sin 80°}\approx 7,1\end{array}\right.$ 

Vậy $\widehat{C}=80°;BC\approx 12,3;AC\approx 9,1$ và R ≈ 7,1.

3. Các công thức tính diện tích tam giác

Cho tam giác ABC. Ta kí hiệu:

+) BC = a, CA = b, AB = c.

+) h_a, h_b, h_c là độ dài các đường cao lần lượt ứng với các cạnh BC, CA, AB.

+) R là bán kính đường tròn ngoại tiếp tam giác.

+) r là bán kính đường tròn nội tiếp tam giác.

+) p là nửa chu vi tam giác.

+) S là diện tích tam giác.

Ta có các công thức tính diện tích tam giác sau:

(1) $S=\frac{1}{2}a{h}_a=\frac{1}{2}b{h}_b=\frac{1}{2}c{h}_c;$ 

(2)$S=\frac{1}{2}ab.\sin C=\frac{1}{2}bc.\sin A=\frac{1}{2}ac.\sin B;$ 

(3) $S=\frac{abc}{4R};$ 

(4) S = pr;

(5) $S=\sqrt{p\left(p-a\right)\left(p-b\right)\left(p-c\right)}$ (Công thức Heron).

Ví dụ 3. Tính diện tích S của tam giác ABC, bán kính đường tròn nội tiếp r và bán kính đường tròn ngoại tiếp R (nếu chưa biết) (làm tròn kết quả đến chữ số thập phân thứ ba) trong các trường hợp sau:

a) $\widehat{A}=30°,\widehat{B}=45°,R=3$;

b) AB = 10, AC = 17, BC = 21.

Hướng dẫn giải

a)

Xét tam giác ABC có $\widehat{A}=30°,\widehat{B}=45°$ ta có:

$\widehat{A}+\widehat{B}+\widehat{C}=180°$ (định lí tổng ba góc trong tam giác)

$\Rightarrow \widehat{C}=180°-\widehat{A}-\widehat{B}$ 

$\Rightarrow \widehat{C}=180°-30°-45°=105°$

Theo hệ quả định lí sin ta có:

+) BC = 2.R.sinA = 2.3.sin30° = $6.\frac{1}{2}$ = 3;

+) AC = 2.R.sinB = 2.3.sin45° = $6.\frac{\sqrt{2}}{2}=3\sqrt{2};$ 

 +) AB = 2.R.sinC = 2.3.sin105° ≈ 5,796.

Theo công thức tính diện tích tam giác ta có:

$S_{ABC}=\frac{1}{2}.AB.AC.\sin A\approx \frac{1}{2}.5,796.3\sqrt{2}.\sin 30°\approx 6,148$  (đơn vị diện tích)

Ta có nửa chu vi tam giác ABC là:

$p=\frac{AB+BC+AC}{2}\approx \frac{5,796+3+3\sqrt{2}}{2}\approx 6,519.$  

Mà S_ABC = pr $\Rightarrow r=\frac{S_{ABC}}{p}\approx \frac{6,148}{6,519}\approx 0,943.$

Vậy S_ABC ≈ 6,148 (đơn vị diện tích) và r ≈ 0,943.

b) Nửa chu vi tam giác ABC là:

$p=\frac{AB+AC+BC}{2}=\frac{10+17+21}{2}=24$ 

Áp dụng công thức Heron ta có:

$S_{ABC}=\sqrt{p\left(p-AB\right)\left(p-AC\right)\left(p-BC\right)}$ 

$S_{ABC}=\sqrt{24.\left(24-10\right).\left(24-17\right).\left(24-21\right)}=84$ (đơn vị diện tích)

Mà S_ABC = pr $\Rightarrow r=\frac{S_{ABC}}{p}=\frac{84}{24}=3,5$ 

Lại có $S_{ABC}=\frac{AB.AC.BC}{4R}\Rightarrow R=\frac{AB.AC.BC}{4S}=\frac{\mathrm{10.17.21}}{4.84}=10,625$.

Vậy S = 84 (đơn vị diện tích) và r = 3,5; R = 10,625.