Lời giải:

Áp dụng định lí cosin, ta có:

$\begin{array}{l}A{B}^2={370}^2+{350}^2-\mathrm{2.370.350.}\cos 2,1^{\circ }\\ \Rightarrow AB\approx 23,96(km)\end{array}$

Vậy khoảng cách giữa hai tòa nhà là 23,96 km.

Bài 9 trang 79 Toán lớp 10: Hai chiếc tàu thủy P và Q cách nhau 300 m và thẳng hàng với chân B của tháp hải đăng AB ở trên bờ biển (Hình 2). Từ P và Q, người ta nhìn thấy tháp hải đăng AB dưới các góc $\widehat{BPA}={35}^o$ và $\widehat{BQA}={48}^o$. Tính chiều cao của tháp hải đăng đó.

Phương pháp giải:

Lời giải:

Xét tam giác APB và AQB, ta có:

$\tan {35}^{\circ }=\frac{AB}{PB}=\frac{AB}{300+QB}$ và $\tan {48}^{\circ }=\frac{AB}{QB}$

$\begin{array}{l}\Rightarrow AB=\tan {35}^{\circ }.\left(300+QB\right)=\tan {48}^{\circ }.QB\\ \iff \tan {35}^{\circ }.300+\tan {35}^{\circ }.QB=\tan {48}^{\circ }.QB\\ \iff \tan {35}^{\circ }.300=\left(\tan {48}^{\circ }-\tan {35}^{\circ }\right).QB\\ \iff QB=\frac{\tan {35}^{\circ }.300}{\tan {48}^{\circ }-\tan {35}^{\circ }}\end{array}$

Mà $AB=\tan {48}^{\circ }.QB$

$\Rightarrow AB=\tan {48}^{\circ }.\frac{\tan {35}^{\circ }.300}{\tan {48}^{\circ }-\tan {35}^{\circ }}\approx 568,5(m)$

Vậy tháp hải đăng cao khoảng 568,5 m.

Bài 10 trang 79 Toán lớp 10: Muốn đo chiều cao của một ngọn tháp, người ta lấy hai điểm A, B trên mặt đất có khoảng cách AB = 12 m cùng thẳng hàng với chân C của tháp để đặt hai giác kế. Chân của hai giác kế có chiều cao là h = 1,2 m. Gọi D là đỉnh tháp và hai điểm A1, B1 cùng thẳng hàng với C1 thuộc chiều cao CD của tháp. Người ta đo được $\widehat{D{A}_1{C}_1}={49}^o,\widehat{D{B}_1{C}_1}={35}^o$. Tính chiều cao CD của tháp.

Phương pháp giải:

Lời giải:

Ta có: $\widehat{D{A}_1{C}_1}=\widehat{A_{1}D{B}_1}+\widehat{D{B}_1{A}_1}\Rightarrow \widehat{A_{1}D{B}_1}={49}^{\circ }-{35}^{\circ }={14}^{\circ }$

Áp dụng định lí sin trong tam giác $A_{1}D{B}_1$ , ta có:

$\begin{array}{l}\frac{A_{1}D}{\sin B_1}=\frac{A_1{B}_1}{\sin D}\iff \frac{A_{1}D}{\sin {35}^{\circ }}=\frac{12}{\sin {14}^{\circ }}\\ \Rightarrow A_{1}D=\sin {35}^{\circ }.\frac{12}{\sin {14}^{\circ }}\approx 28,45\end{array}$

Áp dụng định lí sin trong tam giác $A_{1}D{C}_1$ , ta có:

$\begin{array}{l}\frac{A_{1}D}{\sin C_1}=\frac{C_{1}D}{\sin A_1}\iff \frac{28,45}{\sin {90}^{\circ }}=\frac{C_{1}D}{\sin {49}^{\circ }}\\ \Rightarrow C_{1}D=\sin {49}^{\circ }.\frac{28,45}{\sin {90}^{\circ }}\approx 21,47\end{array}$

Do đó, chiều cao CD của tháp là: $21,47+1,2=22,67(m)$

Lý thuyết Chương 4: Hệ thức lượng trong tam giác

1. Giá trị lượng giác
Mở rộng khái niệm tỉ số lượng giác đối với góc nhọn cho những góc α bất kì với 0° ≤ α ≤ 180°, ta có định nghĩa sau đây:
 

Với mỗi góc α (0° ≤ α ≤ 180°) ta xác định được một điểm M duy nhất trên nửa đường tròn đơn vị sao cho $\widehat{xOM}=\alpha$ . Gọi ($x_0$; $y_0$) là toạ độ điểm M, ta có:
- Tung độ $y_0$ của M là sin của góc α, kí hiệu là sinα = $y_0$;
- Hoành độ $x_0$ của M là côsin của góc α, kí hiệu là cosα = $x_0$;
- Tỉ số $\frac{y_0}{x_0}$ ($x_0$ ≠ 0) là tang của góc α, kí hiệu là $\tan \alpha =\frac{y_0}{x_0};$  
- Tỉ số  $\frac{y_0}{x_0}$ ($y_0$ ≠ 0) là côtang của góc α, kí hiệu là $\tan \alpha =\frac{x_0}{y_0};$ 
Các số sinα, cosα, tanα, cotα được gọi là các giá trị lượng giác của góc α.
Ví dụ 1. Tìm các giá trị lượng giác của góc 150°.
Hướng dẫn giải
Lấy điểm M trên nửa đường tròn đơn vị sao cho $\widehat{xOM}=150°.$ 

Ta có:  $\widehat{MOy}=150°-90°=60°$. 
Khi đó ta tính được toạ độ của điểm M là $\left(-\frac{\sqrt{3}}{2};\frac{1}{2}\right).$   
Theo định nghĩa ta có:
 $\sin 150°=\frac{1}{2};$ $\text{cos150}°=-\frac{\sqrt{3}}{2};$  $\tan 150°=-\frac{1}{\sqrt{3}};$  $\cot 150°=-\sqrt{3}.$   
Chú ý: 
a) Nếu α là góc nhọn thì các giá trị lượng giác của α đều dương.
Nếu α là góc tù thì sinα > 0, cosα < 0, tanα < 0, cotα < 0.
b) tanα chỉ xác định khi α ≠ 90°.
cotα chỉ xác định khi α ≠ 0° và α ≠ 180°.
Ví dụ 2. Với α = 30° thì sinα > 0, cosα > 0, tanα > 0 và cotα > 0.
Với α = 150° (như trong Ví dụ 1) thì sinα > 0, cosα < 0, tanα < 0 và cotα < 0.
2. Quan hệ giữa các giá trị lượng giác của hai góc bù nhau
Với mọi góc α thoả mãn 0° ≤ α ≤ 180°, ta luôn có:
sin(180° ‒ α) = sinα;
cos(180° ‒ α) = ‒cosα;
tan(180° ‒ α) = ‒tanα (α ≠ 90°);
cot(180° ‒ α) = ‒cotα (0° < α < 180°).
Ví dụ 3. 
a) Biết $sin60°=\frac{\sqrt{3}}{2}$. Tính cos30°, cos150°, sin120°.
b) Biết tan45° = 1. Tính tan135°.
Hướng dẫn giải
a) Ta có: $sin60°=\frac{\sqrt{3}}{2}$ 
Suy ra: 
 $c\text{os30}°=c\text{os}\left(90°-60°\right)=\sin 60°=\frac{\sqrt{3}}{2}$ (vì 30° và 60° là hai góc phụ nhau);
 $\text{cos150}°=cos\left(180°-30°\right)=-cos30°=-\frac{\sqrt{3}}{2}$ (vì 150° và 30° là hai góc bù nhau);
$\sin 120°=\sin \left(180°-60°\right)=\sin 60°=\frac{\sqrt{3}}{2}$ (vì 120° và 60° là hai góc bù nhau);
b) Ta có: tan45° = 1.
Suy ra:
tan135° = tan(180° ‒ 45°) = ‒tan45° = ‒1 (vì 135° và 45° là hai góc bù nhau);
3. Giá trị lượng giác của một số góc đặc biệt
Dưới đây là bảng giá trị lượng giác của một số góc đặc biệt:
Chú ý: Trong bảng, kí hiệu “||” để chỉ giá trị lượng giác không xác định.
Ví dụ 4. Tính giá trị các biểu thức sau:
a) A = $a^2$.sin90° + $b^2$.cos90° + $c^2$.cos180°;
b) B = 3 – ${\sin }^2$135° + 2$co{s}^2$120° ‒ 3${\tan }^2$150°.
Hướng dẫn giải
a) A =$a^2$.sin90° + $b^2$.cos90° + $c^2$.cos180°
A = $a^2$. 1+ $b^2$.0 +$c^2$.(‒1)
A = $a^2$ ‒ $c^2$.
b) B = 3 – sin2 135° + 2cos2 120° ‒ 3tan2 150° $B=3-{\left(\frac{\sqrt{2}}{2}\right)}^2+2.{\left(-\frac{1}{2}\right)}^2-3.{\left(-\frac{\sqrt{3}}{3}\right)}^2$

$B=3-\frac{1}{2}+2.\frac{1}{4}-3.\frac{1}{3}$

$B=3-\frac{1}{2}+\frac{1}{2}-1$

B = 2.
Ví dụ 5. Tìm góc α (0° ≤ α ≤ 180°) trong mỗi trường hợp sau:
a) $\sin \alpha =\frac{\sqrt{2}}{2}$;
b) cosα = ‒1;
c) tanα = 0;
d) $cot\alpha =-\frac{\sqrt{3}}{3}.$  
Hướng dẫn giải
a) Ta có: $\sin \alpha =\frac{\sqrt{2}}{2}$ $\Rightarrow$α = 45° hoặc α = 135°.
b) cosα = ‒1$\Rightarrow$α = 180°.
c) tanα = 0$\Rightarrow$α = 0° hoặc α = 180°.
d) $cot\alpha =-\frac{\sqrt{3}}{3}$$\Rightarrow$α = 120°.
4. Sử dụng máy tính cầm tay về tính giá trị lượng giác của một góc
Có nhiều loại máy tính cầm tay có thể giúp tính nhanh chóng giá trị lượng giác của một góc.
Chẳng hạn, ta có thể thực hiện trên một loại máy tính cầm tay như sau:
Sau khi mở máy, ẩn liên tiếp các phím $\boxed{SHIFT}$ $\boxed{MENU}$ để màn hình hiện lên bảng lựa chọn.

Ấn phím $\boxed{2}$ để vào chế độ cài đặt đơn vị đo góc.

Ấn tiếp phím $\boxed{ 1 }$ để xác định đơn vị đo góc là “độ”.

Ấn các phím $\boxed{MENU}$  $\boxed{ 1 }$ để vào chế độ tính toán như hình ảnh dưới đây: 
 

4.1. Tính các giá trị lượng giác của góc
Ví dụ 6. Sử dụng máy tính cầm tay, tính sin125°, cos50°12', tan160°56'25'', cot100°.
Hướng dẫn giải
- Để tính sin125°, ta bấm liên tiếp các phím sau đây

$\boxed{\sin }$$\boxed{ 1 }$$\boxed{2}$$\boxed{5}$$\boxed{°\text{'} \text{'}\text{'}}$$\boxed{)}$$\boxed{=}$:       

Khi đó ta được kết quả hiện trên màn hình là:

Vậy sin125° ≈ 0,81915204429.
- Để tính cos50°12', ta bấm liên tiếp các phím sau đây: 
$\boxed{cos}\boxed{5}\boxed{0}\boxed{°\text{'} \text{'}\text{'}}\boxed{ 1 }\boxed{2}\boxed{°\text{'} \text{'}\text{'}}\boxed{)}\boxed{=}$      
Khi đó ta được kết quả hiện trên màn hình là:

Vậy cos50°12' ≈ 0,64010969948.
- Để tính tan160°56'25'', ta bấm liên tiếp các phím sau đây: 
 Khi đó ta được kết quả hiện trên màn hình là:

Vậy tan160°56'25'' ≈ ‒0,345493396426.
- Để tính cot100°, ta bấm liên tiếp các phím sau đây: 
 Khi đó ta được kết quả hiện trên màn hình là:

Vậy cot100° ≈ ‒0,17632698071.
4.2. Xác định số đo của góc khi biết giá trị lượng giác của góc đó
Ví dụ 7. Sử dụng máy tính cầm tay, tìm α (0° < α < 180°) biết sinα = 0,51; cosα = ‒0,7;$\tan \alpha =\sqrt{2};$ cotα = 1,7.
Hướng dẫn giải
- Để tìm α khi biết sinα = 0,51, ta ấn liên tiếp các phím sau đây:
         
Khi đó ta được kết quả hiện trên màn hình là:
 

Vậy với sinα = 0,51 thì α ≈ 30°39'50''.
Ta đã được học với 0° < α < 180° thì sin(180° ‒ α) = sinα nên ngoài giá trị α ≈ 30°39'50'' thì ta còn có giá trị α ≈ 180° ‒ 30°39'50'' ≈ 149°20'10''.
Ta bấm máy tính như sau:- Để tìm α khi biết cosα = ‒0,7, ta ấn liên tiếp các phím sau đây:Khi đó ta được kết quả hiện trên màn hình là:

Vậy với cosα = ‒0,7 thì α ≈ 134°25'37''.
- Để tìm α khi biết $\tan \alpha =\sqrt{2},$ ta ấn liên tiếp các phím sau đây:
Khi đó ta được kết quả hiện trên màn hình là: 

Vậy với $\tan \alpha =\sqrt{2}$ thì α ≈ 54°44'8''.
- Để tìm α khi biết cotα = 1,7, trước hết ta tính  , ta ấn liên tiếp các phím sau đây: 
 

Khi đó ta được kết quả hiện trên màn hình là:

Sau đó ta bấm liên tiếp các phím:Khi đó ta được kết quả hiện trên màn hình là:

Vậy với cotα = 1,7 thì α ≈ 30°27'56''.

5. Định lí côsin trong tam giác

Định lí côsin: Trong tam giác ABC với BC = a, CA = b, AB = c, ta có:

a² = b² + c² – 2bc.cosA;

b² = c² + a² – 2ca.cosB;

c² = a² + b² – 2ab.cosC.

Từ định lí côsin, ta có hệ quả sau đây:

Hệ quả:

$\cos A=\frac{b^2+c^2-a^2}{2bc};$
 

$\cos B=\frac{c^2+a^2-b^2}{2ca};$

$\cos C=\frac{a^2+b^2-c^2}{2ab}.$

6. Định lí sin trong tam giác

Định lí sin: Trong tam giác ABC với BC = a, CA = b, AB = c, ta có:

$\frac{a}{\sin A}=\frac{b}{\sin B}=\frac{c}{\sin C}=2R;$

Trong đó R là bán kính đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC.

Từ định lí sin, ta có hệ quả sau đây:

Hệ quả:

a = 2R.sinA; b = 2R.sinB; c = 2R.sinC;

$\sin A=\frac{a}{2R};\sin B=\frac{b}{2R};\sin C=\frac{c}{2R}.$

7. Các công thức tính diện tích tam giác

Cho tam giác ABC. Ta kí hiệu:

+) BC = a, CA = b, AB = c.

+) h_a, h_b, h_c là độ dài các đường cao lần lượt ứng với các cạnh BC, CA, AB.

+) R là bán kính đường tròn ngoại tiếp tam giác.

+) r là bán kính đường tròn nội tiếp tam giác.

+) p là nửa chu vi tam giác.

+) S là diện tích tam giác.

Ta có các công thức tính diện tích tam giác sau:

(1) $S=\frac{1}{2}a{h}_a=\frac{1}{2}b{h}_b=\frac{1}{2}c{h}_c;$ 

(2)$S=\frac{1}{2}ab.\sin C=\frac{1}{2}bc.\sin A=\frac{1}{2}ac.\sin B;$ 

(3) $S=\frac{abc}{4R};$ 

(4) S = pr;

(5) $S=\sqrt{p\left(p-a\right)\left(p-b\right)\left(p-c\right)}$ (Công thức Heron).

8. Giải tam giác

Giải tam giác là tìm số đo các cạnh và các góc còn lại của tam giác khi ta biết được các yếu tố đủ để xác định tam giác đó.

Để giải tam giác, ta thường sử dụng một cách hợp lí các hệ thức lượng như: định lí sin, định lí côsin và các công thức tính diện tích tam giác.

9. Áp dụng giải tam giác vào thực tế

Vận dụng giải tam giác giúp ta giải quyết rất nhiều bài toán trong thực tế, đặc biệt là trong thiết kế và xây dựng.

Xem thêm các bài giải SGK Toán 10 Chân trời sáng tạo hay, chi tiết khác:

Bài 3: Giải tam giác và ứng dụng thực tế

Bài 1: Khái niệm vecto

Bài 2: Tổng và hiệu của hai vecto

Bài 3: Tích của một số với một vecto