Với giải sách bài tập Toán 10 Bài 1: Giá trị lượng giác của một góc từ 0 đến 180 sách Chân trời sáng tạo hay, chi tiết giúp học sinh dễ dàng xem và so sánh lời giải từ đó biết cách làm bài tập trong SBT Toán 10. Mời các bạn đón xem:
Giải SBT Toán lớp 10 Bài 1: Giá trị lượng giác của một góc từ 0 đến 180
Giải SBT Toán 10 trang 69 Tập 1
Bài 1 trang 69 SBT Toán 10 Tập 1: Tính giá trị của T = 4cos60° + 2sin135° + 3cot120°.
Lời giải
Sử dụng máy tính cầm tay ta có:
Bài 2 trang 69 SBT Toán 10 Tập 1: Chứng minh rằng:
a) sin138° = sin42°;
Lời giải
a) Ta có sinx = sin(180° – x ) nên:
sin138° = sin (180° – 138°) = sin42°.
Vậy sin138° = sin42°.
b) Ta có tanx = –tan(180° – x ) và tanx = cot( 90° – x )
tan125 = –tan(180° – 125° ) = –tan55° = –cot( 90° – 55° ) = –cot35°.
Vậy tan125° = – cot35°.
Bài 3 trang 69 SBT Toán 10 Tập 1: Tìm góc α ( 0° ≤ α ≤ 180° ) trong mỗi trường hợp sau:
Lời giải
a) Sử dụng máy tính cầm tay, ta có được: α = 150°.
b) Sử dụng máy tính cầm tay, ta có được: α = 60°.
Lại có sinα = sin(180° – α ) nên α = 120°.
Vậy α = 60° hoặc α = 120°.
c) Dựa vào bảng các giá trị lượng giác đặc biệt, ta có: tan α = ⇒ α = 150°.
d) Dựa vào bảng các giá trị lượng giác đặc biệt, ta có: cot α = –1 ⇒ α = 135°.
Vậy α = 135°.
Bài 4 trang 69 SBT Toán 10 Tập 1: Chứng minh rằng trong tam giác ABC ta có:
a) tanB = –tan( A+C);
Lời giải
a) Trong tam giác ABC có: = 180° ⇒ = 180° –
Ta có: tanα = –tan(180° – α ) nên
tanB = –tan( 180° – B ) = –tan( A+C)
Vậy tanB = –tan( A+C).
b) Trong tam giác ABC có: = 180° ⇒= 180° – .
Ta có: sinα = sin(180° – α ) nên
sinC = sin(180° – C ) = sin ( A+B ).
Vậy sinC = sin ( A+B ).
Bài 5 trang 69 SBT Toán 10 Tập 1: Chứng minh rằng với mọi góc x ( 0° ≤ x ≤ 90°), ta đều có:
Lời giải
a) Ta có: .
⇒ sin2x = 1 – cos2x
⇒ sinx = hoặc sinx =
Vì 0° ≤ x ≤ 90° nên 0 ≤ sinx ≤ 1. Do đó chỉ có sinx = là thỏa mãn.
Vậy sinx = .
b) Ta có: cos2x + sin2x = 1
⇒ cos2x = 1 – sin2x.
⇒ cosx = hoặc cosx =
Vì 0° ≤ x ≤ 90° nên 0 ≤ cos ≤ 1. Do đó chỉ có cosx = là thỏa mãn.
Vậy cosx = .
c) Ta có: tanx = ⇒ tan2x = ( x ≠ 90°). (ĐPCM)
d) Ta có: cotx = ⇒ cot2x = ( x ≠ 0°). (ĐPCM)
Bài 6 trang 69 SBT Toán 10 Tập 1: Cho góc x với cosx = . Tính giá trị biểu thức
S = 4sin2x + 8tan2x.
Lời giải
Sử dụng máy tính cầm tay, ta có: cosx = ⇒ x = 120° ⇒ sinx = và tanx = .
S = 4sin2x + 8tan2x = 4. + 8. = 4. + 8.3 = 27.
Vậy S = 27.
Bài 7 trang 69 SBT Toán 10 Tập 1: Dùng máy tính cầm tay, tính.
a) sin138°12’24’’;
b) cos144°35’12’’;
c) tan152°35’44’’.
Lời giải
Sử dụng máy tính cầm tay, ta tính được:
a) sin138°12’24’’ ≈ 0,666.
b) cos144°35’12’’≈ –0,815.
c) tan152°35’44’’ ≈ –0,518.
Bài 8 trang 69 SBT Toán 10 Tập 1: Dùng máy tính cầm tay, tìm x, biết:
a) cosx = –0,234;
b) sinx = 0,812;
c) cotx = –0,333.
Lời giải
Sử dụng máy tính cầm tay, ta tính được:
a) cosx = –0,234 ⇒ x ≈ 103°31’58’’.
b) sinx = 0,812 ⇒ x ≈ 54°17’30’’ hay x ≈ 125°42’30’’.
c) cotx = –0,333 ⇒ x ≈ 108°25’4’’.
Xem thêm các bài giải SBT Toán 10 Chân trời sáng tạo hay, chi tiết khác:
Bài 2: Định lí côsin và định lí sin
Bài 3: Giải tam giác và ứng dụng thực tế
Lý thuyết Giá trị lượng giác của một góc từ 0° đến 180°
1. Giá trị lượng giác
Mở rộng khái niệm tỉ số lượng giác đối với góc nhọn cho những góc α bất kì với 0° ≤ α ≤ 180°, ta có định nghĩa sau đây:
Với mỗi góc α (0° ≤ α ≤ 180°) ta xác định được một điểm M duy nhất trên nửa đường tròn đơn vị sao cho . Gọi (; ) là toạ độ điểm M, ta có:
- Tung độ của M là sin của góc α, kí hiệu là sinα = ;
- Hoành độ của M là côsin của góc α, kí hiệu là cosα = ;
- Tỉ số ( ≠ 0) là tang của góc α, kí hiệu là
- Tỉ số ( ≠ 0) là côtang của góc α, kí hiệu là
Các số sinα, cosα, tanα, cotα được gọi là các giá trị lượng giác của góc α.
Ví dụ 1. Tìm các giá trị lượng giác của góc 150°.
Hướng dẫn giải
Lấy điểm M trên nửa đường tròn đơn vị sao cho
Ta có .
Khi đó ta tính được toạ độ của điểm M là
Theo định nghĩa ta có:
Chú ý:
a) Nếu α là góc nhọn thì các giá trị lượng giác của α đều dương.
Nếu α là góc tù thì sinα > 0, cosα < 0, tanα < 0, cotα < 0.
b) tanα chỉ xác định khi α ≠ 90°.
cotα chỉ xác định khi α ≠ 0° và α ≠ 180°.
Ví dụ 2. Với α = 30° thì sinα > 0, cosα > 0, tanα > 0 và cotα > 0.
Với α = 150° (như trong Ví dụ 1) thì sinα > 0, cosα < 0, tanα < 0 và cotα < 0.
2. Quan hệ giữa các giá trị lượng giác của hai góc bù nhau
Với mọi góc α thoả mãn 0° ≤ α ≤ 180°, ta luôn có:
sin(180° ‒ α) = sinα;
cos(180° ‒ α) = ‒cosα;
tan(180° ‒ α) = ‒tanα (α ≠ 90°);
cot(180° ‒ α) = ‒cotα (0° < α < 180°).
Ví dụ 3.
a) Biết . Tính cos30°, cos150°, sin120°.
b) Biết tan45° = 1. Tính tan135°.
Hướng dẫn giải
a) Ta có:
Suy ra:
(vì 30° và 60° là hai góc phụ nhau) (vì 150° và 30° là hai góc bù nhau) (vì 120° và 60° là hai góc bù nhau);
b) Ta có: tan45° = 1.
Suy ra:
tan135° = tan(180° ‒ 45°) = ‒tan45° = ‒1 (vì 135° và 45° là hai góc bù nhau);
3. Giá trị lượng giác của một số góc đặc biệt
Dưới đây là bảng giá trị lượng giác của một số góc đặc biệt:
Chú ý: Trong bảng, kí hiệu “||” để chỉ giá trị lượng giác không xác định.
Ví dụ 4. Tính giá trị các biểu thức sau:
a) A = .sin90° + .cos90° + .cos180°;
b) B = 3 – 135° + 2120° ‒ 3150°.
Hướng dẫn giải
a) A =.sin90° + .cos90° + .cos180°
A = . 1+ .0 +.(‒1)
A = ‒ .
b) B = 3 – sin2 135° + 2cos2 120° ‒ 3tan2 150°
B = 2.
Ví dụ 5. Tìm góc α (0° ≤ α ≤ 180°) trong mỗi trường hợp sau:
a) ;
b) cosα = ‒1;
c) tanα = 0;
d)
Hướng dẫn giải
a) Ta có: α = 45° hoặc α = 135°.
b) cosα = ‒1α = 180°.
c) tanα = 0α = 0° hoặc α = 180°.
d) α = 120°.
4. Sử dụng máy tính cầm tay về tính giá trị lượng giác của một góc
Có nhiều loại máy tính cầm tay có thể giúp tính nhanh chóng giá trị lượng giác của một góc.
Chẳng hạn, ta có thể thực hiện trên một loại máy tính cầm tay như sau:
Sau khi mở máy, ẩn liên tiếp các phím để màn hình hiện lên bảng lựa chọn.
Ấn phím để vào chế độ cài đặt đơn vị đo góc.
Ấn tiếp phím để xác định đơn vị đo góc là “độ”.
Ấn các phím để vào chế độ tính toán như hình ảnh dưới đây:
4.1. Tính các giá trị lượng giác của góc
Ví dụ 6. Sử dụng máy tính cầm tay, tính sin125°, cos50°12', tan160°56'25'', cot100°.
Hướng dẫn giải
- Để tính sin125°, ta bấm liên tiếp các phím sau đây
:
Khi đó ta được kết quả hiện trên màn hình là:
Vậy sin125° ≈ 0,81915204429.
- Để tính cos50°12', ta bấm liên tiếp các phím sau đây:
Khi đó ta được kết quả hiện trên màn hình là:
Vậy cos50°12' ≈ 0,64010969948.
- Để tính tan160°56'25'', ta bấm liên tiếp các phím sau đây:
Khi đó ta được kết quả hiện trên màn hình là:
Vậy tan160°56'25'' ≈ ‒0,345493396426.
- Để tính cot100°, ta bấm liên tiếp các phím sau đây:
Khi đó ta được kết quả hiện trên màn hình là:
Vậy cot100° ≈ ‒0,17632698071.
4.2. Xác định số đo của góc khi biết giá trị lượng giác của góc đó
Ví dụ 7. Sử dụng máy tính cầm tay, tìm α (0° < α < 180°) biết sinα = 0,51; cosα = ‒0,7 cotα = 1,7.
Hướng dẫn giải
- Để tìm α khi biết sinα = 0,51, ta ấn liên tiếp các phím sau đây:
Khi đó ta được kết quả hiện trên màn hình là:
Vậy với sinα = 0,51 thì α ≈ 30°39'50''.
Ta đã được học với 0° < α < 180° thì sin(180° ‒ α) = sinα nên ngoài giá trị α ≈ 30°39'50'' thì ta còn có giá trị α ≈ 180° ‒ 30°39'50'' ≈ 149°20'10''.
Ta bấm máy tính như sau:
- Để tìm α khi biết cosα = ‒0,7, ta ấn liên tiếp các phím sau đây:
Khi đó ta được kết quả hiện trên màn hình là:
Vậy với cosα = ‒0,7 thì α ≈ 134°25'37''.
- Để tìm α khi biết ta ấn liên tiếp các phím sau đây:
Khi đó ta được kết quả hiện trên màn hình là:
Vậy với thì α ≈ 54°44'8''.
- Để tìm α khi biết cotα = 1,7, trước hết ta tính , ta ấn liên tiếp các phím sau đây:
Khi đó ta được kết quả hiện trên màn hình là:
Sau đó ta bấm liên tiếp các phím:Khi đó ta được kết quả hiện trên màn hình là:
Vậy với cotα = 1,7 thì α ≈ 30°27'56''.