Với giải Bài 5 trang 92 SGK Toán lớp 10 Cánh diều chi tiết trong Bài 5: Tích của một số với một vectơ giúp học sinh dễ dàng xem và so sánh lời giải từ đó biết cách làm bài tập trong SGK Toán 10. Mời các bạn đón xem:

Giải bài tập Toán lớp 10 Bài 5: Tích của một số với một vectơ

Bài 5 trang 92 Toán lớp 10: Cho tứ giác ABCD có M, N lần lượt là trung điểm của hai cạnh AB và CD. Gọi G là trung điểm của đoạn thẳng MN, E là trọng tâm của tam giác BCD. Chứng minh:

a) $\overrightarrow{EA}+\overrightarrow{EB}+\overrightarrow{EC}+\overrightarrow{ED}=4\overrightarrow{EG}$;

b) $\overrightarrow{EA}=4\overrightarrow{EG}$;

c) Điểm G thuộc đoạn thẳng AE và $\overrightarrow{AG}=\frac{3}{4}\overrightarrow{AE}$.

Lời giải:

a) Ta có M là trung điểm của AB nên $\overrightarrow{GA}+\overrightarrow{GB}=2\overrightarrow{GM}$.

Tương tự N là trung điểm CD nên $\overrightarrow{GC}+\overrightarrow{GD}=2\overrightarrow{GN\text{}}$.

Lại có G là trung điểm của MN nên $\overrightarrow{GM}+\overrightarrow{GN}=\overrightarrow{0}$.

Khi đó: $\overrightarrow{GA}+\overrightarrow{GB}+\overrightarrow{GC}+\overrightarrow{GD}=2\overrightarrow{GM}+2\overrightarrow{GN}=2\left(\overrightarrow{GM}+\overrightarrow{GN}\right)=\overrightarrow{0}$

Ta có:

$\overrightarrow{EA}+\overrightarrow{EB}+\overrightarrow{EC}+\overrightarrow{ED}$

$=\left(\overrightarrow{EG}+\overrightarrow{GA}\right)+\left(\overrightarrow{EG}+\overrightarrow{GB}\right)+\left(\overrightarrow{EG}+\overrightarrow{GC}\right)+\left(\overrightarrow{EG}+\overrightarrow{GD}\right)$

$=4\overrightarrow{EG}+\left(\overrightarrow{GA}+\overrightarrow{GB}+\overrightarrow{GC}+\overrightarrow{GD}\right)$

=  $4\overrightarrow{EG}+\overrightarrow{0}$

$=4\overrightarrow{EG}$.

Vậy $\overrightarrow{EA}+\overrightarrow{EB}+\overrightarrow{EC}+\overrightarrow{ED}=4\overrightarrow{EG}$.

b) Do E là trọng tâm của tam giác BCD nên $\overrightarrow{EB}+\overrightarrow{EC}+\overrightarrow{ED}=\overrightarrow{0}$.

Thay vào câu a) ta có: $\overrightarrow{EA}+\overrightarrow{0}=4\overrightarrow{EG}$

Vậy $\overrightarrow{EA}=4\overrightarrow{EG}$.

c) Theo câu b ta có: $\overrightarrow{EA}=4\overrightarrow{EG}$ nên hai vectơ $\overrightarrow{EA},\overrightarrow{EG}$ cùng hướng và EA = 4EG hay EG < EA.

Do đó 3 điểm E, A, G thẳng hàng và G nằm giữa E và A.

Suy ra điểm G thuộc đoạn thẳng AE.

Vì EA = 4 EG nên AG = $\frac{3}{4}$AE.

Hai vectơ $\overrightarrow{AG}$ và $\overrightarrow{AE}$ cùng hướng.

Do đó: $\overrightarrow{AG}=\frac{3}{4}\overrightarrow{AE}$.

Bài tập vận dụng:

Bài 1. Cho hình bình hành ABCD. Gọi M, N lần lượt là hai điểm nằm trên hai cạnh AB và CD sao cho AB = 3AM, CD = 2CN và G là trọng tâm tam giác MNB. Phân tích vectơ $\overrightarrow{\mathrm{AN}}$, $\overrightarrow{\mathrm{MN}}$, $\overrightarrow{\mathrm{AG}}$ qua các vectơ $\overrightarrow{\mathrm{AB}}$ và $\overrightarrow{\mathrm{AC}}$.

Hướng dẫn giải:

+ Vì ABCD là hình bình hành nên $\overrightarrow{\mathrm{BA}}$ = $\overrightarrow{\mathrm{CD}}$

Ta lại có: CD = 2CN nên N là trung điểm của CD.

Mà $\overrightarrow{\mathrm{CD}}$ và $\overrightarrow{\mathrm{CN}}$ là hai vectơ cùng hướng.

⇒ $\overrightarrow{\mathrm{CD}}=2\overrightarrow{\mathrm{CN}}$.

⇔ $\overrightarrow{\mathrm{CN}}=\frac{1}{2}\overrightarrow{\mathrm{CD}}$ ⟺ $\overrightarrow{\mathrm{CN}}=\frac{1}{2}\overrightarrow{\mathrm{BA}}$ ⟺ $\overrightarrow{\mathrm{CN}}=-\frac{1}{2}\overrightarrow{\mathrm{AB}}$

Suy ra:

$\overrightarrow{\mathrm{AN}}$ = $\overrightarrow{\mathrm{AC}}$ + $\overrightarrow{\mathrm{CN}}$ = $\overrightarrow{\mathrm{AC}}$ – $\frac{1}{2}\overrightarrow{\mathrm{AB}}$

+ Ta có: AB = 3AM ⇒ AM = $\frac{1}{3}$AB

Mà $\overrightarrow{\mathrm{AM}}$ và $\overrightarrow{\mathrm{AB}}$là hai vectơ cùng hướng.

⇒ $\overrightarrow{\mathrm{AM}}=\frac{1}{3}\overrightarrow{\mathrm{AB}}$  

⇒ $\overrightarrow{\mathrm{MA}}=-\frac{1}{3}\overrightarrow{\mathrm{AB}}$

⇒ $\overrightarrow{\mathrm{MN}}=\overrightarrow{\mathrm{MA}}+\overrightarrow{\mathrm{AN}}$ = $-\frac{1}{3}\overrightarrow{\mathrm{AB}}$ + ($\overrightarrow{\mathrm{AC}}$ – $\frac{1}{2}\overrightarrow{\mathrm{AB}}$) = $-\frac{5}{6}\overrightarrow{\mathrm{AB}}+\overrightarrow{\mathrm{AC}}$ 

Vì G là trọng tâm tam giác MNB nên:

$3\overrightarrow{\mathrm{AG}}=\overrightarrow{\mathrm{AM}}+\overrightarrow{\mathrm{AN}}+\overrightarrow{\mathrm{AB}}$ = $\frac{1}{3}\overrightarrow{\mathrm{AB}}$ + $\overrightarrow{\mathrm{AC}}$ – $\frac{1}{2}\overrightarrow{\mathrm{AB}}$ + $\overrightarrow{\mathrm{AB}}$= $\frac{5}{6}\overrightarrow{\mathrm{AB}}+\overrightarrow{\mathrm{AC}}$

⇒ $\overrightarrow{\mathrm{AG}}=\frac{5}{18}\overrightarrow{\mathrm{AB}}+\frac{1}{3}\overrightarrow{\mathrm{AC}}$

Vậy:

$\overrightarrow{\mathrm{AN}}$ = $\overrightarrow{\mathrm{AC}}$ – $\frac{1}{2}\overrightarrow{\mathrm{AB}}$

$\overrightarrow{\mathrm{MN}}$ = $-\frac{5}{6}\overrightarrow{\mathrm{AB}}+\overrightarrow{\mathrm{AC}}$

$\overrightarrow{\mathrm{AG}}=\frac{5}{18}\overrightarrow{\mathrm{AB}}+\frac{1}{3}\overrightarrow{\mathrm{AC}}$

Bài 2. Cho tứ giác ABCD. Gọi M, N lần lượt thuộc các đoạn thẳng AB, CD sao cho MB = 2MA và NC = 2ND. Chứng minh rằng: $\overrightarrow{\mathrm{MN}}=\frac{2}{3}\overrightarrow{\mathrm{AD}}+\frac{1}{3}\overrightarrow{\mathrm{BC}}$.

Hướng dẫn giải:

Áp dụng quy tắc cộng vectơ, ta có:

$\overrightarrow{\mathrm{MN}}=\overrightarrow{\mathrm{MA}}+\overrightarrow{\mathrm{AD}}+\overrightarrow{\mathrm{DN}}$ (1)

$\overrightarrow{\mathrm{MN}}=\overrightarrow{\mathrm{MB}}+\overrightarrow{\mathrm{BC}}+\overrightarrow{\mathrm{CN}}$ (2)

Nhân hai vế của phương trình (1) với 2 ta có:

$2\overrightarrow{\mathrm{MN}}=2\overrightarrow{\mathrm{MA}}+2\overrightarrow{\mathrm{AD}}+2\overrightarrow{\mathrm{DN}}$ (3)

Cộng hai vế của (2) và (3) ta có:

$3\overrightarrow{\mathrm{MN}}=\overrightarrow{\mathrm{MB}}+\overrightarrow{\mathrm{BC}}+\overrightarrow{\mathrm{CN}}+2\overrightarrow{\mathrm{MA}}+2\overrightarrow{\mathrm{AD}}+2\overrightarrow{\mathrm{DN}}$

⇔ $3\overrightarrow{\mathrm{MN}}=\left(2\overrightarrow{\mathrm{MA}}+\overrightarrow{\mathrm{MB}}\right)+2\overrightarrow{\mathrm{AD}}+\overrightarrow{\mathrm{BC}}+\left(2\overrightarrow{\mathrm{DN}}+\overrightarrow{\mathrm{CN}}\right)$

Vì M, N lần lượt thuộc các đoạn thẳng AB, CD (M, N lần lượt nằm giữa đoạn thẳng AB và CD).

⇒ $\overrightarrow{\mathrm{MA}},\overrightarrow{\mathrm{MB}}$và $\overrightarrow{\mathrm{DN}},\overrightarrow{\mathrm{CN}}$ là hai cặp vectơ ngược hướng.

 Mà MB = 2MA và NC = 2ND nên ta có:

$2\overrightarrow{\mathrm{MA}}+\overrightarrow{\mathrm{MB}}=\overrightarrow{0}$ 

$2\overrightarrow{\mathrm{DN}}+\overrightarrow{\mathrm{CN}}=\overrightarrow{0}$ 

Suy ra:

$3\overrightarrow{\mathrm{MN}}=2\overrightarrow{\mathrm{AD}}+\overrightarrow{\mathrm{BC}}$

⇒ $\overrightarrow{\mathrm{MN}}=\frac{2}{3}\overrightarrow{\mathrm{AD}}+\frac{1}{3}\overrightarrow{\mathrm{BC}}$ (đpcm).

Bài 3. Cho tam giác ABC có P là trung điểm của AB và hai điểm M, N thỏa mãn các hệ thức: $\overrightarrow{\mathrm{MB}}=2\overrightarrow{\mathrm{MC}}$;$\overrightarrow{\text{AN}}=2\overrightarrow{\mathrm{NC}}$.

Chứng minh ba điểm M, N, P thẳng hàng.

Hướng dẫn giải:

Vì:

+) $\overrightarrow{\text{AN}}=2\overrightarrow{\mathrm{NC}}$

Nên AN = 2NC ⇒ CN = $\frac{1}{3}$CA.

Mà $\overrightarrow{\mathrm{CN}}$ và $\overrightarrow{\mathrm{CA}}$ là hai vectơ cùng hướng.

⇒ $\overrightarrow{\mathrm{CN}}=\frac{1}{3}\overrightarrow{\mathrm{CA}}$ .

+) $\overrightarrow{\mathrm{MB}}=2\overrightarrow{\mathrm{MC}}$ ⇒ MB = 2MC ⇒ C là trung điểm của MB.

⇒ MC = CB

Mà $\overrightarrow{\mathrm{MC}}$ và $\overrightarrow{\mathrm{CB}}$ là hai vectơ cùng hướng.

⇒ $\overrightarrow{\mathrm{MC}}=\overrightarrow{\mathrm{CB}}$

⇒ $\overrightarrow{\mathrm{MN}}=\overrightarrow{\mathrm{MC}}+\overrightarrow{\mathrm{CN}}$ = $\overrightarrow{\mathrm{CB}}+\frac{1}{3}\overrightarrow{\mathrm{CA}}$

⇒ $3\overrightarrow{\mathrm{MN}}=3\overrightarrow{\mathrm{CB}}+\overrightarrow{\mathrm{CA}}$ (1)

Ta lại có:

+) C là trung điểm của MB ⇒ $\overrightarrow{\mathrm{MB}}=2\overrightarrow{\mathrm{CB}}$

+) P là trung điểm của AB ⇒ $\overrightarrow{\mathrm{BP}}=\frac{1}{2}\overrightarrow{\mathrm{BA}}$

⇒ $\overrightarrow{\mathrm{MP}}=\overrightarrow{\mathrm{MB}}+\overrightarrow{\mathrm{BP}}$ = $2\overrightarrow{\mathrm{CB}}+\frac{1}{2}\overrightarrow{\mathrm{BA}}$ = $2\overrightarrow{\mathrm{CB}}+\frac{1}{2}\left(\overrightarrow{\mathrm{CA}}-\overrightarrow{\mathrm{CB}}\right)$ 

= $2\overrightarrow{\mathrm{CB}}+\frac{1}{2}\overrightarrow{\mathrm{CA}}-\frac{1}{2}\overrightarrow{\mathrm{CB}}$ = $\frac{3}{2}\overrightarrow{\mathrm{CB}}+\frac{1}{2}\overrightarrow{\mathrm{CA}}$

⇒ $2\overrightarrow{\mathrm{MP}}=3\overrightarrow{\mathrm{CB}}+\overrightarrow{\mathrm{CA}}$ (2)

Từ (1) và (2) ta có:

$3\overrightarrow{\mathrm{MN}}=2\overrightarrow{\mathrm{MP}}$ ⇔ $\overrightarrow{\mathrm{MN}}=\frac{2}{3}\overrightarrow{\mathrm{MP}}$

Do đó ba điểm M, N, P thẳng hàng (đpcm).