Bài 3 trang 92 Toán 10 Tập 1 | Cánh diều Giải toán lớp 10

1.4 K

Với giải Bài 3 trang 92 SGK Toán lớp 10 Cánh diều chi tiết trong Bài 5: Tích của một số với một vectơ giúp học sinh dễ dàng xem và so sánh lời giải từ đó biết cách làm bài tập trong SGK Toán 10. Mời các bạn đón xem:

Giải bài tập Toán lớp 10 Bài 5: Tích của một số với một vectơ

Bài 3 trang 92 Toán lớp 10: Cho tam giác ABC có M, N, P lần lượt là trung điểm của BC, CA, AB. Chứng minh:

a) AP+12BC=AN;

b) BC+2MP=BA.

Lời giải:

Cho tam giác ABC có M, N, P lần lượt là trung điểm của BC, CA, AB. Chứng minh

a) Vì P và N lần lượt là trung điểm của AB và AC nên PN là đường trung bình của tam giác ABC.

Do đó: PN // = 12BC.

Khi đó hai vectơ PN và BC cùng hướng và PN = 12BC.

Suy ra: PN=12BC.

Do đó:  AP+12BC=AP+PN=AN.

Vậy AP+12BC=AN.

b) M và P lần lượt là trung điểm của BC và AB nên MP là đường trung bình của tam giác ABC.

Do đó: MP // AC VÀ MP = 12 AC.

Lại có hai vectơ MP và CA cùng hướng và MP = 12CA nên MP=12CA hay CA=2MP.

Khi đó ta có: BC+2MP=BC+CA=BA.

Vậy BC+2MP=BA.

Bài tập vận dụng:

Bài 1. Cho hình bình hành ABCD. Gọi M, N lần lượt là hai điểm nằm trên hai cạnh AB và CD sao cho AB = 3AM, CD = 2CN và G là trọng tâm tam giác MNB. Phân tích vectơ ANMNAG qua các vectơ AB và AC.

Hướng dẫn giải:

Tích của một số với một vectơ (Lý thuyết + Bài tập Toán lớp 10) – Cánh diều  (ảnh 1)

+ Vì ABCD là hình bình hành nên BA CD

Ta lại có: CD = 2CN nên N là trung điểm của CD.

Mà CD và CN là hai vectơ cùng hướng.

 CD=2CN.

 CN=12CD  CN=12BA  CN=12AB

Suy ra:

AN AC CN AC – 12AB

+ Ta có: AB = 3AM  AM = 13AB

Mà AM và ABlà hai vectơ cùng hướng.

 AM=13AB  

 MA=13AB

 MN=MA+AN = 13AB + (AC – 12AB) = 56AB+AC 

Vì G là trọng tâm tam giác MNB nên:

3AG=AM+AN+AB = 13AB + AC – 12AB + AB56AB+AC

 AG=518AB+13AC

Vậy:

AN AC – 12AB

MN 56AB+AC

AG=518AB+13AC

Bài 2. Cho tứ giác ABCD. Gọi M, N lần lượt thuộc các đoạn thẳng AB, CD sao cho MB = 2MA và NC = 2ND. Chứng minh rằng: MN=23AD+13BC.

Hướng dẫn giải:

Tích của một số với một vectơ (Lý thuyết + Bài tập Toán lớp 10) – Cánh diều  (ảnh 1)

Áp dụng quy tắc cộng vectơ, ta có:

MN=MA+AD+DN (1)

MN=MB+BC+CN (2)

Nhân hai vế của phương trình (1) với 2 ta có:

2MN=2MA+2AD+2DN (3)

Cộng hai vế của (2) và (3) ta có:

3MN=MB+BC+CN+2MA+2AD+2DN

 3MN=2MA+MB+2AD+BC+2DN+CN

Vì M, N lần lượt thuộc các đoạn thẳng AB, CD (M, N lần lượt nằm giữa đoạn thẳng AB và CD).

 MA,MBvà DN,CN là hai cặp vectơ ngược hướng.

 Mà MB = 2MA và NC = 2ND nên ta có:

2MA+MB=0 

2DN+CN=0 

Suy ra:

3MN=2AD+BC

 MN=23AD+13BC (đpcm).

Bài 3. Cho tam giác ABC có P là trung điểm của AB và hai điểm M, N thỏa mãn các hệ thức: MB=2MC;AN = 2NC.

Chứng minh ba điểm M, N, P thẳng hàng.

Hướng dẫn giải:

Tích của một số với một vectơ (Lý thuyết + Bài tập Toán lớp 10) – Cánh diều  (ảnh 1)

Vì:

+) AN = 2NC

Nên AN = 2NC  CN = 13CA.

Mà CN và CA là hai vectơ cùng hướng.

 CN =13CA .

+) MB = 2MC  MB = 2MC  C là trung điểm của MB.

 MC = CB

Mà MC và CB là hai vectơ cùng hướng.

 MC=CB

 MN=MC+CN = CB+13CA

 3MN=3CB+CA (1)

Ta lại có:

+) C là trung điểm của MB  MB=2CB

+) P là trung điểm của AB  BP=12BA

 MP=MB+BP = 2CB+12BA = 2CB+12CACB 

2CB+12CA12CB 32CB+12CA

 2MP=3CB+CA (2)

Từ (1) và (2) ta có:

3MN=2MP  MN=23MP

Do đó ba điểm M, N, P thẳng hàng (đpcm).

Đánh giá

0

0 đánh giá