Giải SGK Toán 7 Bài 13 (Cánh diều): Tính chất ba đường cao của tam giác

3.7 K

Tailieumoi.vn giới thiệu Giải bài tập Toán lớp 7 Bài 13: Tính chất ba đường cao của tam giác chi tiết sách Toán 7 Tập 2 Cánh diều giúp học sinh xem và so sánh lời giải từ đó biết cách làm bài tập môn Toán 7. Mời các bạn đón xem:

Giải bài tập Toán lớp 7 Bài 13: Tính chất ba đường cao của tam giác

A. Câu hỏi trong bài

Giải Toán 7 trang 116 Tập 2

Câu hỏi khởi động trang 116 Toán 7 Tập 2: Cho tam giác ABC. Gọi M, N, P lần lượt là hình chiếu của A, B, C trên các đường thẳng BC, CA, AB (Hình 132).

Giải Toán 7 Bài 13 (Cánh diều): Tính chất ba đường cao của tam giác (ảnh 1) 

Em có nhận xét gì về ba đường thẳng AM, BN, CP.

Lời giải:

Vì M, N, P lần lượt là hình chiếu của A, B, C trên các đường thẳng BC, CA, AB nên AM, BN, CP lần lượt là ba đường cao tương ứng kẻ từ ba đỉnh A, B, C.

Quan sát Hình 132, ta thấy ba đường cao AM, BN, CP cùng đi qua một điểm.

Hoạt động 1 trang 116 Toán 7 Tập 2: Cho tam giác ABC (Hình 133).

Giải Toán 7 Bài 13 (Cánh diều): Tính chất ba đường cao của tam giác (ảnh 1) 

Bằng cách sử dụng ê ke, vẽ hình chiếu M của điểm A trên đường thẳng BC.

Lời giải:

Vì M là hình chiếu của điểm A trên đường thẳng BC nên AM  BC tại M.

Do đó ta dùng hai cạnh góc vuông của thước ê ke để vẽ AM  BC tại M bằng cách đặt thước như sau:

+ Một cạnh góc vuông của ê ke trùng với cạnh BC;

+ Một cạnh góc vuông còn lại của ê ke đi qua điểm A.

Khi đó ta vẽ đường thẳng theo cạnh góc vuông đó của ê ke, đường thẳng này cắt cạnh BC tại một điểm, điểm này là điểm M cần vẽ.

Ta có hình vẽ sau:

Giải Toán 7 Bài 13 (Cánh diều): Tính chất ba đường cao của tam giác (ảnh 1) 

Giải Toán 7 trang 117 Tập 2

Luyện tập 1 trang 117 Toán 7 Tập 2: Cho tam giác ABC vuông tại A. Hãy đọc tên đường cao đi qua B, đường cao đi qua C.

Lời giải:

Giải Toán 7 Bài 13 (Cánh diều): Tính chất ba đường cao của tam giác (ảnh 1) 

Tam giác ABC vuông tại A nên BA  CA tại A.

Do đó:

+ Đường cao đi qua B và vuông góc với AC là AB.

+ Đường cao đi qua C và vuông góc với AB là AC.

Hoạt động 2 trang 117 Toán 7 Tập 2: Quan sát ba đường cao AM, BN, CP của tam giác ABC (Hình 137), cho biết ba đường cao đó có cùng đi qua một điểm hay không.

Giải Toán 7 Bài 13 (Cánh diều): Tính chất ba đường cao của tam giác (ảnh 1) 

Lời giải:

Quan sát Hình 132, ta thấy ba đường cao AM, BN, CP cùng đi qua điểm H.

Luyện tập 2 trang 117 Toán 7 Tập 2: Cho tam giác đều ABC có trọng tâm là G. Chứng minh G cũng là trực tâm của tam giác ABC.

Lời giải:

GT

ABC đều,

G là trọng tâm của ABC

KL

G là trực tâm của ABC

Chứng minh (Hình vẽ dưới đây):

Giải Toán 7 Bài 13 (Cánh diều): Tính chất ba đường cao của tam giác (ảnh 1) 

Gọi M, N theo thứ tự là trung điểm của AB và AC.

Vì tam giác ABC đều (giả thiết) nên AB = BC = CA.

Mà M là trung điểm của AB nên AM = BM.

Xét AMC và BMC có:

AC = BC (chứng minh trên),

MC là cạnh chung,

AM = BM (chứng minh trên).

Do đó AMC = BMC  (c.c.c).

Suy ra AMC^=BMC^ (hai góc tương ứng).

Mà AMC^+BMC^=180° nên AMC^=BMC^=180°2=90°.

Do đó CM  AB tại M.

Do đó CM là đường cao kẻ từ đỉnh C của tam giác ABC.

Chứng minh tương tự ta cũng có BN là đường cao kẻ từ đỉnh B của tam giác ABC.

Tam giác ABC có hai đường cao BN và CM cắt nhau tại G nên G là trực tâm của tam giác ABC.

Vậy G là trực tâm của tam giác ABC.

Giải Toán 7 trang 118 Tập 2

Luyện tập 3 trang 118 Toán 7 Tập 2: Cho tam giác ABC có trực tâm H cũng là trọng tâm của tam giác. Chứng minh tam giác ABC đều.

Lời giải:

GT

ABC,

H là trực tâm của ABC,

H là trọng tâm của ABC

KL

ABC đều.

Chứng minh (Hình vẽ dưới đây):

Giải Toán 7 Bài 13 (Cánh diều): Tính chất ba đường cao của tam giác (ảnh 1) 

Gọi M, N lần lượt là trung điểm của AB và AC.

Do H là trực tâm đồng thời là trọng tâm của tam giác ABC (giả thiết) nên:

+) CM  AB tại trung điểm M của AB, do đó CM là đường trung trực của AB

Nên C nằm trên đường trung trực của AB suy ra CA = CB. (1)

+) BN  AC tại trung điểm N của AC, do đó BN là đường trung trực của AC

Nên B nằm trên đường trung trực của AC suy ra BA = BC. (2)

Từ (1) và (2) suy ra AB = BC = CA nên tam giác ABC đều.

Vậy tam giác ABC đều.

B. Bài tập

Bài 1 trang 118 Toán 7 Tập 2: Cho tam giác ABC có H là trực tâm, H không trùng với đỉnh nào của tam giác. Nêu một tính chất của cặp đường thẳng:

a) AH và BC;

b) BH và CA;

c) CH và AB.

Lời giải:

Giải Toán 7 Bài 13 (Cánh diều): Tính chất ba đường cao của tam giác (ảnh 1) 

a) Vì H là trực tâm của tam giác ABC nên AH  BC.

b) Vì H là trực tâm của tam giác ABC nên BH  CA.

c) Vì H là trực tâm của tam giác ABC nên CH  AB.

Bài 2 trang 118 Toán 7 Tập 2: Cho tam giác ABC. Vẽ trực tâm H của tam giác ABC và nhận xét vị trí của nó trong các trường hợp sau:

a) Tam giác ABC nhọn;

b) Tam giác ABC vuông tại A;

c) Tam giác ABC có góc A tù.

Lời giải:

a) Ta có hình vẽ sau:

Giải Toán 7 Bài 13 (Cánh diều): Tính chất ba đường cao của tam giác (ảnh 1) 

Trong hình vẽ trên, điểm H nằm trong tam giác ABC.

b) Ta có hình vẽ sau:

Giải Toán 7 Bài 13 (Cánh diều): Tính chất ba đường cao của tam giác (ảnh 1) 

Tam giác ABC vuông tại A nên BA  CA tại A.

Do đó BA và CA là hai đường cao kẻ từ đỉnh B và đỉnh C của tam giác ABC.

Mà BA cắt CA tại A nên A là trực tâm của tam giác ABC.

Do đó điểm H trùng với điểm A.

c) Ta có hình vẽ sau:

Giải Toán 7 Bài 13 (Cánh diều): Tính chất ba đường cao của tam giác (ảnh 1) 

Trong hình vẽ trên, điểm H nằm ngoài tam giác ABC.

Bài 3 trang 118 Toán 7 Tập 2: Cho tam giác nhọn ABC và điểm D nằm trong tam giác. Chứng minh rằng nếu DA vuông góc với BC và DB vuông góc với CA thì DC vuông góc với AB.

Lời giải:

GT

ABC nhọn, D nằm trong tam giác,

DA  BC, DB  CA.

KL

DC  AB.

Chứng minh (Hình vẽ dưới đây):

Giải Toán 7 Bài 13 (Cánh diều): Tính chất ba đường cao của tam giác (ảnh 1) 

Tam giác ABC có DA  BC, DB  CA (giả thiết)

Mà DA cắt DB tại D nên D là trực tâm của tam giác ABC.

Do đó DC  AB.

Vậy DC  AB.

Bài 4 trang 118 Toán 7 Tập 2: Cho tam giác nhọn ABC. Hai đường cao BE và CF cắt nhau tại H, HCA^=25°. Tính BAC^ và HBA^.

Lời giải:

GT

DABC nhọn, BE  AC, CF  AB,

BE và CF cắt nhau tại H, HCA^=25°

KL

Tính BAC^ và HBA^.

Chứng minh (Hình vẽ dưới đây):

Giải Toán 7 Bài 13 (Cánh diều): Tính chất ba đường cao của tam giác (ảnh 1) 

Vì CF  AB (giả thiết) nên tam giác ACF vuông tại F.

Xét ACF vuông tại F: FCA^+FAC^=90° (trong tam giác vuông, hai góc nhọn phụ nhau).

Suy ra FAC^=90°FCA^=90°25°=65° hay BAC^=65°.

Vì BE  AC (giả thiết) nên tam giác ABE vuông tại E.

Xét ABE vuông tại E: ABE^+BAE^=90° (trong tam giác vuông, hai góc nhọn phụ nhau).

Suy ra ABE^=90°BAE^=90°65°=25° hay HBA^=25°.

Vậy BAC^=65° và HBA^=25°.

Bài 5 trang 118 Toán 7 Tập 2: Trong Hình 139, cho biết AB // CD, AD // BC; H, K lần lượt là trực tâm các tam giác ABC và ACD. Chứng minh AK // CH và AH // CK.

Giải Toán 7 Bài 13 (Cánh diều): Tính chất ba đường cao của tam giác (ảnh 1) 

Lời giải:

GT

AB // CD, AD // BC;

H là trực tâm tam giác ABC,

K là trực tâm tam giác ACD.

KL

AK // CH và AH // CK.

Chứng minh (Hình 139):

+) Vì K là trực tâm của tam giác ACD (giả thiết) nên AK  CD.

Mà AB // CD (giả thiết) nên AK  AB.

Vì H là trực tâm của tam giác ABC (giả thiết) nên CH  AB.

Do đó AK // CH.

+) Vì K là trực tâm của tam giác ACD (giả thiết) nên CK  AD.

Mà AD // BC (giả thiết) nên CK  BC.

Vì H là trực tâm của tam giác ABC (giả thiết) nên AH  BC.

Do đó AH // CK.

Bài 6 trang 118 Toán 7 Tập 2: Cho tam giác ABC có G là trọng tâm, H là trực tâm, I là giao điểm của ba đường phân giác, O là giao điểm của ba đường trung trực. Chứng minh rằng:

a) Nếu tam giác ABC đều thì bốn điểm G, H, I, O trùng nhau;

b) Nếu tam giác ABC có hai điểm H, I trùng nhau thì tam giác ABC là tam giác đều.

Lời giải:

a)

GT

ABC đều,

G là trọng tâm,

H là trực tâm,

I là giao điểm của ba đường phân giác,

O là giao điểm của ba đường trung trực.

KL

Bốn điểm G, H, I, O trùng nhau.

Chứng minh (Hình vẽ dưới đây):

Giải Toán 7 Bài 13 (Cánh diều): Tính chất ba đường cao của tam giác (ảnh 1) 

Kéo dài AI cắt BC tại M, kéo dài BI cắt AC tại N, kéo dài CP cắt AB tại P.

Khi đó AM là đường phân giác của BAC^ nên BAM^=CAM^;

Do tam giác ABC đều nên AB = BC = CA.

Xét ABM và ACM có:

AB = AC (chứng minh trên),

BAM^=CAM^ (chứng minh trên),

AM là cạnh chung

Do đó ABM = ACM  (c.g.c).

Suy ra:

• AMB^=AMC^ (hai góc tương ứng);

• BM = CM (hai cạnh tương ứng).

Vì BM = CM nên M là trung điểm của BC.

Ta có AMB^=AMC^, mà AMB^+AMC^=180° nên AMB^=AMC^=180°2=90°.

Khi đó AM  BC tại trung điểm M của BC nên AM là đường trung trực của đoạn thẳng BC cũng đồng thời là đường cao và đường trung tuyến kẻ từ A của ABC.

Chứng minh tương tự ta cũng có:

+) BN là đường trung trực của đoạn thẳng AC, đồng thời là đường cao và đường trung tuyến kẻ từ B của ABC.

+) CP là đường trung trực của đoạn thẳng AB, đồng thời là đường cao và đường trung tuyến kẻ từ C của ABC.

Mà AM, BN, CP cắt nhau tại I nên G, H, I, O trùng nhau.

b)

GT

ABC,

H là trực tâm,

I là giao điểm của ba đường phân giác,

I ≡ H

KL

ABC đều

Chứng minh (Hình vẽ dưới đây):

Giải Toán 7 Bài 13 (Cánh diều): Tính chất ba đường cao của tam giác (ảnh 1) 

Vì I là giao điểm ba đường phân giác, H là trực tâm của tam giác ABC (giả thiết) nên:

+ AI là đường phân giác và AH là đường cao kẻ từ A của ABC.

Mà I ≡ H (giả thiết) nên đường phân giác AI trùng với đường cao AH.

+ Tương tự đường phân giác BI trùng đường cao BH;

+ Đường phân giác CI trùng đường cao CH.

Gọi M, N, P lần lượt là chân đường cao (hay cũng chính là đường phân giác) kẻ từ A, B, C đến BC, CA, AB.

Xét ABM (vuông tại M) và ACM (vuông tại M) có:

BAM^=CAM^ (do AM là tia phân giác của BAC^),

AM là cạnh chung

Do đó ABM = ACM (cạnh góc vuông – góc nhọn kề).

Suy ra AB = AC (hai cạnh tương ứng). (1)

Xét ABN (vuông tại N) và CBN (vuông tại N) có:

BN là cạnh chung,

ABN^=CBN^ (do BN là tia phân giác của ABC^),

Do đó ABN = CBN (cạnh góc vuông – góc nhọn kề).

Suy ra AB = BC (hai cạnh tương ứng). (2)

Từ (1) và (2) suy ra AB = BC = CA do đó tam giác ABC là tam giác đều.

Vậy tam giác ABC đều.

Xem thêm các bài giải SGK Toán lớp 7 Cánh diều hay, chi tiết:

Giải SGK Toán 7 Bài 10: Tính chất ba đường trung tuyến của tam giác

Giải SGK Toán 7 Bài 11: Tính chất ba đường phân giác của tam giác

Giải SGK Toán 7 Bài 12: Tính chất ba đường trung trực của tam giác

Giải SGK Toán 7 Bài 13: Tính chất ba đường cao của tam giác

Giải SGK Toán 7: Bài tập cuối chương 7

Lý thuyết Tính chất ba đường cao của tam giác

1. Đường cao của tam giác

– Trong một tam giác, đoạn vuông góc kẻ từ một đỉnh đến đường thẳng chứa cạnh đối diện gọi là một đường cao của tam giác đó.

Tính chất ba đường cao của tam giác (Lý thuyết + Bài tập toán lớp 7) – Cánh diều (ảnh 1)

Trong hình vẽ trên, đoạn thẳng AM là một đường cao của tam giác ABC. Đôi khi, ta cũng gọi đường thẳng AM là một đường cao của tam giác ABC.

Ví dụ: Quan sát hình vẽ dưới đây và xác định các đường cao của tam giác ABC (nếu có):

Tính chất ba đường cao của tam giác (Lý thuyết + Bài tập toán lớp 7) – Cánh diều (ảnh 1)

Hướng dẫn giải

Ta có A là đỉnh của ∆ABC mà AE không vuông góc với BC nên đoạn thẳng AE không là đường cao của ∆ABC.

Ta có B là đỉnh của ∆ABC và BH ⊥ AC tại H nên đoạn thẳng BH là đường cao của ∆ABC.

Ta lại có C là đỉnh của ∆ABC và CK ⊥ AB tại K nên đoạn thẳng CK là đường cao của ∆ABC.

Chú ý:

+ Mỗi tam giác có ba đường cao.

+ Đường cao của tam giác có thể nằm trong, trên cạnh hoặc nằm ngoài tam giác.

2. Tính chất ba đường cao trong tam giác

– Trong một tam giác, ba đường cao cùng đi qua một điểm. Điểm đó được gọi là trực tâm của tam giác.

Nhận xét: Để xác định trực tâm của một tam giác, ta chỉ cần vẽ hai đường cao bất kì và xác định giao điểm của hai đường đó.

Ví dụ: Cho ∆ABC có BAC^=60° và hai đường cao AE, BF cắt nhau tại H. Kẻ CH cắt AB tại M. Tính ACM^.

Hướng dẫn giải

Tính chất ba đường cao của tam giác (Lý thuyết + Bài tập toán lớp 7) – Cánh diều (ảnh 1)

Theo bài ta có hai đường cao AE và BF cắt nhau tại H nên H là trực tâm của ∆ABC.

Suy ra CH ⊥ AB tại M

Do đó AMC^=90°suy ra ∆AMC vuông tại M

Xét ∆AMC vuông tại M có MAC^+ACM^=90° (tổng hai góc nhọn trong tam giác vuông bằng 90°).

Hay ACM^=90°MAC^=90°BAC^=90°60°=30°

Vậy ACM^=30°.

Đánh giá

0

0 đánh giá