Tailieumoi.vn giới thiệu Giải bài tập Toán lớp 7 Bài tập cuối chương 7 chi tiết sách Toán 7 Tập 2 Cánh diều giúp học sinh xem và so sánh lời giải từ đó biết cách làm bài tập môn Toán 7. Mời các bạn đón xem:

Giải bài tập Toán lớp 7 Bài tập cuối chương 7

Giải Toán 7 trang 119 Tập 2

Bài 1 trang 119 Toán 7 Tập 2: Cho tam giác ABC có: $\widehat{A}=42°,\widehat{B}=37°.$

a) Tính $\widehat{C}$.

b) So sánh độ dài các cạnh AB, BC, CA.

Lời giải:

 

a) Xét tam giác ABC: $\widehat{A}+\widehat{B}+\widehat{C}=180°$ (tổng ba góc trong một tam giác)

Suy ra $\widehat{C}=180°-\widehat{A}-\widehat{B}=180°-42°-37°=101°$.

Vậy $\widehat{C}=101°.$ 

b) Ta có: 37° < 42° < 101° nên $\widehat{B}<\widehat{A}<\widehat{C}$.

Do đó CA < BC < AB (quan hệ giữa góc và cạnh đối diện)

Vậy CA < BC < AB.

Bài 2 trang 119 Toán 7 Tập 2: Tìm các số đo x, y trong Hình 140.

 

Lời giải:

Xét tam giác ABO có OA = AB = BO nên tam giác ABO đều.

Do đó x = 60°.

Tam giác OAC có OA = OC nên tam giác OAC cân tại O.

Do đó $y=\widehat{OAC}=\widehat{OAC}$.

Ta có $\widehat{AOB}$ là góc ngoài tại đỉnh O của $∆$OAC nên $\widehat{AOB}=\widehat{OCA}+\widehat{OAC}$.

hay x = y + y = 2y.

Suy ra 2y = 60°

Do đó y = 30°.

Vậy x = 60° và y = 30°.

Bài 3 trang 119 Toán 7 Tập 2: Bạn Hoa đánh dấu ba vị trí A, B, C trên một phần sơ đồ xe buýt ở Hà Nội năm 2021 và xem xe buýt có thể đi như thế nào giữa hai vị trí A và B. Đường thứ nhất đi từ A đến C và đi tiếp từ C đến B, đường thứ hai đi từ B đến A (Hình 141). Theo em, đường nào đi dài hơn? Vì sao?

  

Lời giải:

Ba vị trí A, B, C mà bạn Hoa đánh dấu tạo thành ba đỉnh của tam giác ABC (Hình 141).

Khi đó trong tam giác ABC ta có: AC + CB > BA (Bất đẳng thức tam giác)

Vậy đường thứ nhất dài hơn đường thứ hai.

Bài 4 trang 119 Toán 7 Tập 2: Cho hai tam giác ABC và MNP có: AB = MN, BC = NP, CA = PM. Gọi I và K lần lượt là trung điểm của BC và NP. Chứng minh: AI = MK.

Lời giải:

GT	$∆$ABC, $∆$MNP, AB = MN, BC = NP, CA = PM, I và K lần lượt là trung điểm của BC và NP.
KL	AI = MK.

Chứng minh (Hình vẽ dưới đây):

 

 

Xét $∆$ABC và $∆$MNP có:

AB = MN (giả thiết).

BC = NP (giả thiết).

CA = PM (giả thiết).

Do đó $∆$ABC = $∆$MNP  (c.c.c).

Suy ra $\widehat{ABC}=\widehat{MNP}$.

Do I, K lần lượt là trung điểm của BC và NP nên $BI=IC=\frac{1}{2}BC$ và $NK=KP=\frac{1}{2}NP$ 

Mà BC = NP (giả thiết) nên BI = NK.

Xét $∆$ABI và $∆$MNK có:

AB = MN (giả thiết).

$\widehat{ABI}=\widehat{MNK}$ (chứng minh trên).

BO = NK (chứng minh trên).

Do đó $∆$ABI = $∆$MNK (c.g.c).

Suy ra AI = MK (hai cạnh tương ứng).

Vậy AI = MK.

Bài 5 trang 119 Toán 7 Tập 2: Cho Hình 142 có O là trung điểm của đoạn thẳng AB và O nằm giữa hai điểm M, N.

 

Chứng minh:

a) Nếu OM = ON thì AM // BN;

b) Nếu AM // BN thì OM = ON.

Lời giải:

a)

GT	$∆$OAM, $∆$OBN, O là trung điểm của AB, O nằm giữa hai điểm M, N. OM = ON
KL	AM // BN;

Chứng minh (Hình 142):

Xét $∆$OAM và $∆$OBN có:

AO = BO (do M là trung điểm của AB),

$\widehat{AOM}=\widehat{BON}$ (hai góc đối đỉnh),

OM = ON (giả thiết).

Do đó $∆$OAM = $∆$OBN (c.g.c).

Suy ra $\widehat{AM\text{O}}=\widehat{BNO}$ (hai góc tương ứng)

Mà hai góc này ở vị trí so le trong nên AM // BN (dấu hiệu nhận biết)

Vậy AM //BN.

b)

GT	$∆$OAM, $∆$OBN, O là trung điểm của AB, O nằm giữa hai điểm M, N.   AM // BN
KL	OM = ON.

Chứng minh (Hình 142):

Do AM // BN (giả thiết) nên $\widehat{MAO}=\widehat{NBO}$ (hai góc so le trong).

Xét $∆$OAM và $∆$OBN có:

$\widehat{MAO}=\widehat{NBO}$ (chứng minh trên),

AO = BO (do M là trung điểm của AB),

$\widehat{AOM}=\widehat{BON}$ (hai góc đối đỉnh).

Do đó $∆$OAM = $∆$OBN (g.c.g).

Suy ra OM = ON (hai cạnh tương ứng).

Vậy OM = ON.

Bài 6 trang 119 Toán 7 Tập 2: Cho tam giác ABC cân tại A có

$\widehat{ABC}=70°$. Hai đường cao BD và CE cắt nhau tại H.

a) Tính số đo các góc còn lại của tam giác ABC.

b) Chứng minh BD = CE.

c) Chứng minh tia AH là tia phân giác của góc BAC.

Lời giải:

GT	$∆$ABC cân tại A, $\widehat{ABC}=70°$ BD $\perp$AC, CE $\perp$ AB, BD cắt CE tại H.
KL	a) Tính số đo các góc còn lại của tam giác ABC; b) BD = CE; c) AH là tia phân giác của góc BAC.

Chứng minh (Hình vẽ dưới đây):

 

a) Do tam giác ABC cân tại A (giả thiết)

Nên AB = AC và $\widehat{ABC}=\widehat{ACB}=70°$ (tính chất tam giác cân)

Xét tam giác ABC có $\widehat{BAC}+\widehat{ABC}+\widehat{ACB}=180°$ (tổng ba góc trong tam giác)

Suy ra $\widehat{BAC}=180°-\widehat{ABC}-\widehat{ACB}=180°-70°-70°=40°$.

Vậy $\widehat{ACB}=70°$ và $\widehat{BAC}=40°.$ 

b) Xét $∆$ADB (vuông tại D) và $∆$ACE (vuông tại E) có:

AB = AC (chứng minh trên),

$\widehat{A}$ là góc chung,

Do đó $∆$ABD = $∆$ACE (cạnh huyền - góc nhọn).

Suy ra BD = CE (hai cạnh tương ứng).

Vậy BD = CE.

c) Vì $∆$ABD = $∆$ACE (chứng minh câu a) nên AD = AE (hai cạnh tương ứng).

Xét $∆$AHE (vuông tại E) và $∆$AHD (vuông tại D) có:

AE = AD (chứng minh trên),

AH là cạnh chung.

Do đó $∆$AHE  = $∆$AHD (cạnh huyền - cạnh góc vuông).

Suy ra $\widehat{HA\text{E}}=\widehat{HA\text{D}}$ (hai góc tương ứng).

Do đó AH là tia phân giác của $\widehat{EAD}$.

Vậy AH là tia phân giác của $\widehat{BAC}$.

Bài 7 trang 119 Toán 7 Tập 2: Cho hai tam giác nhọn ABC và ECD, trong đó ba điểm B, C, D thẳng hàng. Hai đường cao BM và CN của tam giác ABC cắt nhau tại I, hai đường cao CP và DQ của tam giác ECD cắt nhau tại K (Hình 143). Chứng minh AI // EK.

 

Lời giải:

GT	$∆$ABC nhọn và $∆$ECD nhọn Ba điểm B, C, D thẳng hàng, $∆$ABC: hai đường cao BM và CN cắt nhau tại I, $∆$ECD: hai đường cao CP và DQ cắt nhau tại K
KL	AI // EK.

Chứng minh (Hình 143):

Vì $∆$ABC có hai đường cao BM và CN cắt nhau tại I (giả thiết) nên I là trực tâm của $∆$ABC.

Suy ra AI $\perp$ BC.

Vì $∆$ECD có hai đường cao CP và DQ cắt nhau tại K (giả thiết) nên K là trực tâm của $∆$ECD.

Suy ra EK $\perp$ CD.

Mà B, C, D thẳng hàng (giả thiết) nên

• AI $\perp$ BC (chứng minh trên)  suy ra AI $\perp$ BD;

• EK $\perp$ CD (chứng minh trên) suy ra EK $$ BD.

Do đó AI // EK (hai đường thẳng phân biệt cùng vuông góc với đường thẳng thứ ba thì hai đường thẳng đó song song)

Vậy AI // EK.

Giải Toán 7 trang 120 Tập 2

Bài 8 trang 120 Toán 7 Tập 2: Cho tam giác ABC có O là giao điểm của ba đường trung trực. Qua các điểm A, B, C lần lượt kẻ các đường thẳng vuông góc với OA, OB, OC, hai trong ba đường đó lần lượt cắt nhau tại M, N, P (Hình 144).

 

Chứng minh:

a) $∆$OMA = $∆$OMB và tia MO là tia phân giác của góc NMP;

b) O là giao điểm ba đường phân giác của tam giác MNP.

Lời giải:

GT	$∆$ABC, O là giao điểm của ba đường trung trực, MP $\perp$ OA, MN $\perp$ OB, NP $\perp$ OC
KL	a) $∆$OMA = $∆$OMB và tia MO là tia phân giác của $\widehat{NMP};$  b) O là giao điểm ba đường phân giác của tam giác MNP.

Chứng minh (Hình 144):

a) Vì O là giao điểm ba đường trung trực của tam giác ABC nên OA = OB = OC.

Xét $∆$OAM (vuông tại A) và $∆$OBM (vuông tại B) có:

OM là cạnh chung,

OA = OB (chứng minh trên),

Do đó $∆$OAM = $∆$OBM (cạnh huyền - cạnh góc vuông).

Suy ra $\widehat{OM\text{A}}=\widehat{OMB}$ (hai góc tương ứng).

Khi đó MO là tia phân giác của $\widehat{BMA}$ hay MO là tia phân giác của $\widehat{NMP}$.

Vậy tia MO là tia phân giác của $\widehat{NMP}$

b) Nối OP (Hình vẽ dưới đây):

 

Xét $∆$OAP (vuông tại A) và $∆$OCP (vuông tại C) có:

OP là cạnh chung,

OA = OC (chứng minh trên),

Do đó $∆$OAP = $∆$OCP (cạnh huyền - cạnh góc vuông).

Suy ra $\widehat{OP\text{A}}=\widehat{OPC}$ (hai góc tương ứng).

Khi đó PO là tia phân giác của $\widehat{APC}$ hay PO là tia phân giác của $\widehat{MPN}$.

Trong một tam giác, ba đường phân giác của tam giác đó luôn cùng đi qua một điểm

Mà O là giao điểm hai đường phân giác của góc $\widehat{NMP}$ và góc $\widehat{MPN}$, do đó O là giao điểm ba đường phân giác của tam giác MNP.

Vậy O là giao điểm ba đường phân giác của tam giác MNP.

Bài 9 trang 120 Toán 7 Tập 2: Cho tam giác ABC có G là trọng tâm, H là trực tâm, I là giao điểm của ba đường phân giác, O là giao điểm của ba đường trung trực. Các điểm A, G, H, I, O phân biệt. Chứng minh rằng:

a) Nếu tam giác ABC cân tại A thì các điểm A, G, H, I, O cùng nằm trên một đường thẳng.

b) Nếu các điểm A, H, I cùng nằm trên một đường thẳng thì tam giác ABC cân tại A.

Lời giải:

a)

GT	$∆$ABC cân tại A, G là trọng tâm, H là trực tâm, I là giao điểm của ba đường phân giác, O là giao điểm của ba đường trung trực. Các điểm A, G, H, I, O phân biệt
KL	Các điểm A, G, H, I, O cùng nằm trên một đường thẳng.

Chứng minh (Hình vẽ dưới đây):

 

+) Gọi M là trung điểm của BC.

Khi đó AM là đường trung tuyến của $∆$ABC.

Lại có G là trọng tâm của tam giác ABC (giả thiết) nên đường trung tuyến AM đi qua trọng tâm G của tam giác.

Do đó A, G, M thẳng hàng (1).

+) Vì M là trung điểm của BC nên MB = MC.

Do tam giác ABC cân tại A (giả thiết) nên AB = AC và $\widehat{ABC}=\widehat{ACB}$.

Xét $∆$AMB và $∆$AMC có:

AK là cạnh chung,

MB = MC (chứng minh trên),

AB = AC (chứng minh trên),

Do đó $∆$AMB = $∆$AMC (c.c.c).

Suy ra $\widehat{AMB}=\widehat{AMC}$ (hai góc tương ứng)

Mà $\widehat{AMB}+\widehat{AMC}=180°$ (hai góc kề bù) nên $\widehat{AMB}=\widehat{AMC}=\frac{180°}{2}=90°$.

Do đó AM $\perp$ BC hay AM là đường cao kẻ từ đỉnh A của tam giác ABC.

Mặt khác H là trực tâm của tam giác ABC (giả thiết) nên đường cao AM đi qua trực tâm H của tam giác.

Do đó A, H, M thẳng hàng (2).

+) Vì O là giao điểm ba đường trung trực của tam giác ABC nên OA = OB = OC.

Xét $∆$OBM và $∆$OCM có:

OK là cạnh chung,

OB = OC (chứng minh trên),

MB = MC (chứng minh trên),

Do đó $∆$OBM = $∆$OCM (c.c.c).

Suy ra $\widehat{OMB}=\widehat{OMC}$ (hai góc tương ứng)

Mà $\widehat{OMB}+\widehat{OMC}=180°$ (hai góc kề bù) nên $\widehat{OMB}=\widehat{OMC}=\frac{180°}{2}=90°$.

Do đó OK $\perp$ BC.

Lại có AM $\perp$ BC (chứng minh trên)

Suy ra A, O, M thẳng hàng (3).

+) Do BI là tia phân giác của $\widehat{ABC}$ nên $\widehat{IBC}=\frac{1}{2}\widehat{ABC}$.

Do CI là tia phân giác của $\widehat{ACB}$ nên $\widehat{ICB}=\frac{1}{2}\widehat{ACB}$.

Mà $\widehat{ABC}=\widehat{ACB}$ (chứng minh trên) nên $\widehat{IBC}=\widehat{ICB}$ 

Tam giác IBC có $\widehat{IBC}=\widehat{ICB}$ nên tam giác IBC cân tại I, do đó IB = IC.

Xét $∆$IBM và $∆$ICM có:

IB = IC (chứng minh trên),

$\widehat{IBM}=\widehat{ICM}$ (do $\widehat{IBC}=\widehat{ICB}$),

MB = MC (chứng minh trên),

Do đó $∆$IBM = $∆$ICM (c.g.c).

Suy ra $\widehat{IMB}=\widehat{IMC}$(hai góc tương ứng)

Mà $\widehat{IKB}+\widehat{IKC}=180°$ (hai góc tương ứng) nên $\widehat{IMB}=\widehat{IMC}=\frac{180°}{2}=90°$.

Do đó IM $\perp$ BC.

Lại có AM $\perp$ BC (chứng minh trên)

Suy ra A, I, K thẳng hàng (4).

Từ (1), (2), (3) và (4) ta có A, G, H, I, O thẳng hàng.

Vậy các điểm A, G, H, I, O thẳng hàng khi tam giác ABC cân tại A.

b)

GT	$∆$ABC, G là trọng tâm, H là trực tâm, I là giao điểm của ba đường phân giác, O là giao điểm của ba đường trung trực. Các điểm A, G, H, I, O phân biệt, A, H, I cùng nằm trên một đường thẳng.
KL	Tam giác ABC cân tại A.

Chứng minh (Hình vẽ dưới đây):

 

Gọi M là chân đường cao kẻ từ A tới BC.

Do đó AM là đường cao kẻ từ đỉnh A của tam giác ABC.

Mà H là trực tâm của tam giác ABC (giả thiết) nên đường cao AM đi qua điểm H.

Khi đó ba điểm A, H, M thẳng hàng.

Mà A, H, I thẳng hàng (giả thiết) nên A, H, I, K thẳng hàng.

Mà AI là tia phân giác của $\widehat{BAC}$ nên AM là đường phân giác của $\widehat{BAC}$.

Do đó $\widehat{\text{MA}B}=\widehat{\text{MA}C}$.

Xét $∆$ABM (vuông tại M) và $∆$ACM (vuông tại M) có:

$\widehat{\text{MA}B}=\widehat{\text{MA}C}$ (chứng minh trên),

AM là cạnh chung,

Do đó $∆$ABM = $∆$ACM (cạnh góc vuông – góc nhọn kề).

Suy ra AB = AC (hai cạnh tương ứng).

Tam giác ABC có AB = AC nên tam giác ABC cân tại A.

Vậy nếu các điểm A, H, I cùng nằm trên một đường thẳng thì tam giác ABC cân tại A.

Bài 10 trang 120 Toán 7 Tập 2: Bạn Hoa vẽ tam giác ABC lên tờ giấy sau đó cắt một phần tam giác ở phía góc A (Hình 145). Bạn Hoa đố bạn Hùng: Không vẽ điểm A, làm thế nào tìm được điểm D trên đường thẳng BC sao cho khoảng cách từ D đến điểm A là nhỏ nhất? Em hãy giúp bạn Hùng tìm cách vẽ điểm D và giải thích cách làm của mình.

 

Lời giải:

Để tìm được điểm D trên đường thẳng BC sao cho khoảng cách từ D đến điểm A là nhỏ nhất thì AD là nhỏ nhất.

Khi đó theo tính chất đường xiên và đường vuông góc kẻ từ một điểm đến một đường thẳng, ta thấy DA nhỏ nhất khi AD là đường vuông góc kẻ từ D tới BC (tức là AD $\perp$ BC) hay D là chân đường vuông góc kẻ từ A đến BC.

Ta xác định điểm D như sau:

Bước 1. Kẻ hai đường cao xuất phát từ đỉnh B và đỉnh C của tam giác ABC.

Bước 2. Gọi H là giao điểm của hai đường cao xuất phát từ đỉnh B và đỉnh C của tam giác ABC.

Khi đó H chính là trực tâm của tam giác ABC.

Suy ra đường cao AD của tam giác ABC đi qua điểm H.

Do đó HD $\perp$ BC tại D.

Bước 3. Từ H kẻ đường vuông góc với BC, cắt BC tại một điểm.

Điểm này chính là điểm D cần tìm.

Ta có hình vẽ sau:

 

Bài 11 trang 120 Toán 7 Tập 2: Cho tam giác MNP có $\widehat{M}=40°,\widehat{N}=70°.$ Khi đó $\widehat{P}$ bằng:

A. 10°

B. 55°;

C. 70°;

D. 110°.

Lời giải:

Đáp án đúng là: C.

Trong tam giác MNP có: $\widehat{M}+\widehat{N}+\widehat{P}=180°$ (tổng ba góc trong một tam giác)

$\widehat{P}=180°-\widehat{M}-\widehat{N}=180°-40°-70°=70°$.

Vậy $\widehat{P}=70°.$ 

Bài 12 trang 120 Toán 7 Tập 2: Cho tam giác nhọn MNP có trực tâm H. Khi đó, góc HMN bằng góc nào sau đây?

A. Góc HPN.

B. Góc NMP.

C. Góc MPN.

D. Góc NHP.

Lời giải:

Đáp án đúng là: A.

 

Gọi A và B lần lượt là chân đường cao kẻ từ M và P của tam giác MNP.

Xét tam giác MNA vuông tại A có $\widehat{ANM}+\widehat{AMN}=90°$ (trong tam giác vuông, tổng hai góc nhọn phụ nhau).

Suy ra $\widehat{AMN}=90°-\widehat{ANM}$ hay $\widehat{HMN}=90°-\widehat{MNP}$  (1)

Xét tam giác BNP vuông tại B có $\widehat{BNP}+\widehat{BPN}=90°$ (trong tam giác vuông, tổng hai góc nhọn phụ nhau)

Suy ra $\widehat{BPN}=90°-\widehat{BNP}$  hay $\widehat{HPN}=90°-\widehat{MNP}$  (2)

Từ (1) và (2) suy ra  $\widehat{HMN}=\widehat{HPN}$.

Vậy $\widehat{HMN}=\widehat{HPN}.$

Bài 13 trang 120 Toán 7 Tập 2: Cho tam giác MNP có MN = 1 dm, NP = 2 dm, MP = x dm với x ∈ {1; 2; 3; 4}. Khi đó, x nhận giá trị nào?

A. 1.

B. 2.

C. 3.

D. 4.

Lời giải:

Đáp án đúng là: B.

Xét tam giác MNP ta có:

NP - MN < MP < NP + MN (bất đẳng thức tam giác)

Hay 2 – 1 < x < 2 + 1

Do đó: 1 < x  < 3.

Mà x $\in$ {1; 2; 3; 4} nên x = 2.

Vậy x = 2.

Bài 14 trang 120 Toán 7 Tập 2: Nếu tam giác MNP có trọng tâm G, đường trung tuyến MI thì tỉ số $\frac{MG}{MI}$ bằng

A. $\frac{3}{4}$.

B. $\frac{1}{2}$.

C. $\frac{2}{3}$.

D. $\frac{1}{3}$.

Lời giải:

Đáp án đúng là: C.

Vì G là trọng tâm của tam giác MNP nên $\frac{MG}{MI}=\frac{2}{3}$.

Vậy $\frac{MG}{MI}=\frac{2}{3}$

Xem thêm các bài giải SGK Toán lớp 7 Cánh diều hay, chi tiết:

Giải SGK Toán 7 Bài 10: Tính chất ba đường trung tuyến của tam giác

Giải SGK Toán 7 Bài 11: Tính chất ba đường phân giác của tam giác

Giải SGK Toán 7 Bài 12: Tính chất ba đường trung trực của tam giác

Giải SGK Toán 7 Bài 13: Tính chất ba đường cao của tam giác

Giải SGK Toán 7: Bài tập cuối chương 7

Lý thuyết Toán 7 Chương 7: Tam giác

1. Tổng ba góc của một tam giác

– Định lí: Tổng ba góc của một tam giác bằng 180°.

– Chú ý:

+ Tam giác có ba góc cùng nhọn gọi là tam giác nhọn.

+ Tam giác có một góc vuông gọi là tam giác vuông.

+ Tam giác có một góc tù gọi là tam giác tù.

– Nhận xét: Trong một tam giác vuông, tổng hai góc nhọn bằng 90°.

– Góc ngoài của tam giác:

+ Góc ngoài của một tam giác là góc kề bù với một góc trong của một tam giác đó.

+ Mỗi góc ngoài của một tam giác bằng tổng hai góc trong không kề với nó.

2. Quan hệ giữa góc và cạnh đối diện trong một tam giác

2.1. Góc đối diện với cạnh lớn hơn

– Trong tam giác ABC:

• Góc A được gọi là góc đối diện với cạnh BC;

• Góc B được gọi là góc đối diện với cạnh CA;

• Góc C được gọi là góc đối diện với cạnh AB.

– Trong một tam giác, góc đối diện với cạnh lớn hơn là góc lớn hơn.

Trong tam giác ABC, nếu AC > AB thì $\widehat{\mathrm{B}}>\widehat{\mathrm{C}}.$

2.2. Cạnh đối diện với góc lớn hơn

– Trong tam giác ABC:

• Cạnh BC được gọi là cạnh đối diện với góc A;

• Cạnh CA được gọi là cạnh đối diện với góc B;

• Cạnh AB được gọi là cạnh đối diện với góc C.

– Trong một tam giác, cạnh đối diện với góc lớn hơn là cạnh lớn hơn.

Trong tam giác ABC, nếu $\widehat{\mathrm{B}}>\widehat{\mathrm{C}}$ thì AC > AB.

– Nhận xét:

+ Trong tam giác vuông, cạnh huyền là cạnh lớn nhất.

+ Trong tam giác tù, cạnh đối diện với góc tù là cạnh lớn nhất.

3. Bất đẳng thức tam giác

– Trong một tam giác, tổng độ dài hai cạnh bất kì lớn hơn độ dài cạnh còn lại.

Trong tam giác ABC, ta có: AB + BC > AC; AB + AC > BC; AC + BC > AB.

Các bất đảng thức này gọi là các bất đẳng thức tam giác.

– Nhận xét: Trong một tam giác, hiệu độ dài hai cạnh bất kì nhỏ hơn độ dài cạnh còn lại.

4. Hai tam giác bằng nhau

– Định nghĩa: Hai tam giác bằng nhau là hai tam giác có các cạnh tương ứng bằng nhau và các góc tương ứng bằng nhau.

– Khi tam giác ABC và tam giác A'B'C' bằng nhau thì ta kí hiệu là: DABC = DA'B'C'.

– Quy ước: Khi viết hai tam giác bằng nhau, tên đỉnh của hai tam giác đó phải viết theo đúng thứ tự tương ứng với sự bằng nhau.

– Chú ý:

+ Nếu AB = A'B', AC = A'C', BC = B'C' và $\widehat{\mathrm{A}}=\widehat{{\mathrm{A}}^{\text{'}}},\widehat{\mathrm{B}}=\widehat{{\mathrm{B}}^{\text{'}}},\widehat{\mathrm{C}}=\widehat{{\mathrm{C}}^{\text{'}}}$ thì DABC = DA'B'C'.

+ Nếu DABC = DA'B'C' thì AB = A'B', AC = A'C', BC = B'C' và $\widehat{\mathrm{A}}=\widehat{{\mathrm{A}}^{\text{'}}},$$\widehat{\mathrm{B}}=\widehat{{\mathrm{B}}^{\text{'}}},$ $\widehat{\mathrm{C}}=\widehat{{\mathrm{C}}^{\text{'}}}.$

Ở đây:

• Hai góc A và A' (B và B', C và C') là hai góc tương ứng;

• Hai cạnh AB và A'B' (BC và B'C', AC và A'C') là hai cạnh tương ứng.

5. Trường hợp bằng nhau cạnh – cạnh – cạnh (c.c.c)

– Tính chất: Nếu ba cạnh của tam giác này bằng ba cạnh của tam giác kia thì hai tam giác đó bằng nhau.

 Nếu AB = A’B’, AC = A’C’, BC = B’C’ thì DABC = DA’B’C’ (c.c.c).

Ví dụ: Cho $\widehat{\mathrm{xOy}},$ trên tia Ox lấy điểm A, trên tia Oy lấy điểm B sao cho OA = OB. Vẽ các cung tròn tâm A và B có cùng bán kính sao cho chúng cắt nhau ở điểm I nằm trong góc xOy. Chứng minh OI là tia phân giác của góc xOy.

Hướng dẫn giải

Vì các cung tròn tâm A và tâm B có cùng bán kính cắt nhau ở điểm I nằm trong góc xOy (giả thiết) nên ta có AI = BI

Xét tam giác OAI và tam giác OBI có:

OA = OB (giả thiết),

AI = BI (chứng minh trên),

OI là cạnh chung.

Suy ra DOAI = DOBI (c.c.c).

Do đó $\widehat{\mathrm{AOI}}=\widehat{\mathrm{BOI}}$ (hai góc tương ứng)

Nên tia OI là tia phân giác của góc xOy.

Vậy tia OI là tia phân giác của góc xOy.

– Nhận xét: Cách vẽ tia phân giác của một góc đã được chứng minh cụ thể như trên.

6. Áp dụng vào trường hợp bằng nhau về cạnh huyền và cạnh góc vuông của tam giác vuông

– Nếu cạnh huyền và một cạnh góc vuông của tam giác vuông này bằng cạnh huyền và một cạnh góc vuông của tam giác vuông kia thì hai tam giác vuông đó bằng nhau.

Hai tam giác ABC và A’B’C’ có $\widehat{\mathrm{A}}=\widehat{{\mathrm{A}}^{\text{'}}}=90°,$ BC = B’C’, AB = A’B’ thì DABC = DA’B’C’ (cạnh huyền – cạnh góc vuông).

7. Trường hợp bằng nhau cạnh – góc – cạnh (c.g.c)

– Tính chất: Nếu hai cạnh và góc xen giữa của tam giác này lần lượt bằng hai cạnh và góc xen giữa của tam giác kia thì hai tam giác đó bằng nhau.

Nếu AB = A’B’, $\widehat{\mathrm{A}}=\widehat{\mathrm{A}\text{'}}$, AC = A’C’ thì DABC = DA’B’C’ (c.g.c).

8. Áp dụng vào trường hợp bằng nhau về hai cạnh góc vuông của tam giác vuông

– Nếu hai cạnh góc vuông của tam giác vuông này lần lượt bằng hai cạnh góc vuông của tam giác vuông kia thì hai tam giác vuông đó bằng nhau.

Nếu $\widehat{\mathrm{A}}=\widehat{\mathrm{A}\text{'}}=90°,$AB = A’B’, AC = A’C’ thì DABC = DA’B’C’.

9. Trường hợp bằng nhau góc – cạnh – góc

– Tính chất: Nếu một cạnh và hai góc kề của tam giác này bằng một cạnh và hai góc kề của tam giác kia thì hai tam giác đó bằng nhau.

Nếu $\widehat{\mathrm{A}}=\widehat{{\mathrm{A}}^{\text{'}}}$, AB = A’B’, $\widehat{\mathrm{B}}=\widehat{{\mathrm{B}}^{\text{'}}}$ thì DABC = DA’B’C’ (g.c.g).

10. Áp dụng vào trường hợp bằng nhau về cạnh góc vuông (hoặc cạnh huyền) và góc nhọn của tam giác vuông

10.1. Trường hợp bằng nhau về cạnh góc vuông và góc nhọn của tam giác vuông

– Nếu một cạnh góc vuông và góc nhọn kề cạnh ấy của tam giác vuông này bằng một cạnh góc vuông và góc nhọn kề cạnh ấy của tam giác vuông kia thì hai tam giác vuông đó bằng nhau.

Nếu $\widehat{\mathrm{A}}=\widehat{\mathrm{A}\text{'}}=90°$, AB = A’B’, $\widehat{\mathrm{B}}=\widehat{\mathrm{B}\text{'}}$ thì DABC = DA’B’C’ (cạnh góc vuông – góc nhọn kề).

10.2. Trường hợp bằng nhau về cạnh huyền và góc nhọn của tam giác vuông

– Nếu cạnh huyền và một góc nhọn của tam giác vuông này bằng cạnh huyền và một góc nhọn của tam giác vuông kia thì hai tam giác vuông đó bằng nhau.

Nếu $\widehat{\mathrm{A}}=\widehat{\mathrm{A}\text{'}}=90°$, BC = B’C’, $\widehat{\mathrm{B}}=\widehat{\mathrm{B}\text{'}}$ thì DABC = DA’B’C’ (cạnh huyền – góc nhọn).

Ví dụ: Cho góc xOy, Oz là tia phân giác của góc đó. Gọi I là một điểm trên tia Oz (I khác O). Kẻ IM vuông góc với Ox (M ∈ Ox), IN vuông góc với Oy (N ∈ Oy). Biết độ dài đoạn thẳng IM là 2 cm, tính độ dài đoạn thẳng IN?

Hướng dẫn giải

Xét DOIM và DOIN có:

$\widehat{\mathrm{OMI}}=\widehat{\mathrm{ONI}}=90°,$

$\widehat{\mathrm{IOM}}=\widehat{\mathrm{ION}}$ (do Oz là tia phân giác của $\widehat{\mathrm{xOy}}$),

OI là cạnh chung,

Do đó DOMI = DONI (cạnh huyền – góc nhọn)

Suy ra IM = IN (hai cạnh tương ứng)

Mà IM = 2 cm (giả thiết)

Nên IN = 2 cm.

Vậy độ dài đoạn thẳng IN là 2 cm.

– Nhận xét: Độ dài các đoạn thẳng IM, IN gọi là khoảng cách từ điểm I lần lượt đến hai cạnh Ox, Oy của góc xOy. Như vậy ta có thể nói: Nếu một điểm nằm trên tia phân giác của một góc thì cách đều hai cạnh của góc đó.

Ví dụ: Cho góc xOy nhọn. Gọi A là một điểm nằm trong góc xOy. Kẻ AB vuông góc với Ox (B ∈ Ox), AC vuông góc với Oy (C ∈ Oy). Biết AB = AC. Chứng minh rằng điểm A nằm trên tia phân giác của góc xOy.

Hướng dẫn giải

Xét DOAB và DOAC có:

$\widehat{\mathrm{OBA}}=\widehat{\mathrm{OCA}}=90°,$

AB = AC (giả thiết),

OA là cạnh chung.

Do đó DABO = DACO (cạnh huyền – cạnh góc vuông)

Suy ra $\widehat{\mathrm{BOA}}=\widehat{\mathrm{AOC}}$ (hai góc tương ứng).

Do đó OA là tia phân giác của $\widehat{\mathrm{xOy}}.$

Nên A là điểm thuộc tia phân giác của góc xOy.

Vậy điểm A nằm trên tia phân giác của góc xOy.

– Nhận xét: Nếu một điểm nằm trong một góc và cách đều hai cạnh của góc thì nằm trên tia phân giác của góc đó.

11. Vẽ tam giác khi biết ba cạnh

Ví dụ: Để vẽ tam giác ABC có AB = 3 cm, AC = 5 cm, BC = 7 cm bằng thước thẳng (có chia đơn vị) và compa, ta làm như sau:

– Bước 1: Vẽ đoạn thẳng AC = 5 cm

– Bước 2: Vẽ một phần đường tròn tâm A bán kính 3 cm và một phần đương tròn tâm C bán kính 7 cm, B là điểm chung của hai phần đường tròn đó

– Bước 3: Vẽ các đoạn thẳng AB, BC. Ta được tam giác ABC.

12. Vẽ tam giác khi biết hai cạnh và góc xen giữa

Để vẽ tam giác ABC có AB = 3 cm, AC = 5 cm, $\widehat{\mathrm{A}}=50°$bằng thước thẳng (có chia đơn vị) và thước đo góc, ta làm như sau:

– Bước 1: Vẽ $\widehat{\mathrm{xAy}}=50°$

– Bước 2: Trên tia Ax lấy điểm B sao cho AB = 3 cm, trên tia Ay lấy điểm C sao cho AC = 5 cm

– Bước 3: Vẽ đoạn thẳng BC. Ta được tam giác ABC.

13. Vẽ tam giác khi biết một cạnh và hai góc kề cạnh đó

Ví dụ: Để vẽ tam giác ABC có AB = 5 cm, $\widehat{\mathrm{A}}=60°,\widehat{\mathrm{B}}=70°$ bằng thước thẳng (có chia đơn vị) và thước đo góc, ta làm như sau:

– Bước 1: Vẽ đoạn thẳng AB = 5 cm

– Bước 2: Vẽ các tia Ax, By sao cho $\widehat{\mathrm{BAx}}=60°,\widehat{\mathrm{ABy}}=70°$

– Bước 3: Vẽ C là điểm chung của hai tia Ax và By. Ta nhận được tam giác ABC.

14. Tam giác cân

14.1. Định nghĩa

Tam giác cân là tam giác có hai cạnh bằng nhau.

Cho tam giác cân ABC có AB = AC. Khi đó, ta gọi:

• Tam giác ABC là tam giác cân tại A;

• AB, AC là các cạnh bên và BC là cạnh đáy;

• $\widehat{\text{B}}\text{, }\widehat{\text{C}}$ là các góc ở đáy và $\widehat{\text{A}}$ là góc ở đỉnh.

14.2. Tính chất

Trong một tam giác cân, hai góc ở đáy bằng nhau.

Chú ý:

+ Tam giác vuông có hai cạnh góc vuông bằng nhau được gọi là tam giác vuông cân.

+ Trong tam giác vuông cân, mỗi góc ở đáy bằng 45°.

14.3. Dấu hiệu nhận biết

– Nếu một tam giác có hai cạnh bằng nhau thì tam giác đó là tam giác cân.

– Nếu một tam giác có hai góc bằng nhau thì tam giác đó là tam giác cân.

Chú ý:

+ Tam giác có ba cạnh bằng nhau là tam giác đều.

+ Tam giác cân có một góc bằng 60° là tam giác đều.

14.4. Vẽ tam giác cân

Ví dụ: Dùng thước thẳng (có chia đơn vị) và compa vẽ tam giác HEG cân tại H có cạnh bên HE = HG = a

Để vẽ tam giác HEG, ta làm theo các bước:

– Bước 1: Vẽ đoạn thẳng EG.

– Bước 2: Vẽ cung tròn tâm E bán kính a và cung tròn tâm G bán kính a. Hai cung tròn cắt nhau tại H.

– Bước 3: Vẽ các đoạn HE, HG. Ta nhận được tam giác HEG cân tại H.

15. Đường vuông góc và đường xiên

Trong hình vẽ trên, ta gọi:

– Đoạn thẳng AH là đoạn vuông góc hay đường vuông góc kẻ từ điểm A đến đường thẳng d;

– Điểm H là chân của đường vuông góc hay hình chiếu của điểm A trên đường thẳng d;

– Độ dài đoạn thẳng AH là khoảng cách từ điểm A đến đường thẳng d;

– Đoạn thẳng AB là một đường xiên kẻ từ điểm A đến đường thẳng d.

16. Quan hệ giữa đường vuông góc và đường xiên

– Trong các đường xiên và đường vuông góc kẻ từ một điểm ở ngoài đường thẳng đến đường thẳng đó, đường vuông góc là đường ngắn nhất.

17. Đường trung trực của một đoạn thẳng

17.1. Định nghĩa

– Đường trung trực của một đoạn thẳng là đường thẳng vuông góc với đoạn thẳng tại trung điểm của đoạn thẳng ấy.

Quan sát hình vẽ trên, ta có:

+ Đoạn thẳng AB; trung điểm I của đoạn thẳng AB;

+ Đường thẳng d ⊥ AB tại I.

Do đó, đường thẳng d là đường trung trực của đoạn thẳng AB.

17.2. Tính chất

– Một điểm thuộc đường trung trực của đoạn thẳng thì cách đều hai đầu mút của đoạn thẳng đó.

Quan sát hình trên, ta có:

Đường thẳng a là đường trung trực của đoạn thẳng DE;

Điểm O nằm trên đường thẳng a.

Khi đó ta có OD = OE.

– Điểm cách đều hai đầu mút của một đoạn thẳng thì nằm trên đường trung trực của đoạn thẳng đó.

Gọi d là đường trung trực của đoạn thẳng AB, M là điểm sao cho MA = MB (như hình vẽ bên dưới). Ta có M nằm trên đường trung trực d của đoạn thẳng AB.

17.3. Vẽ đường trung trực của một đoạn thẳng

Ví dụ: Dùng thước thẳng (có chia đơn vị) và compa vẽ đường trung trực của đoạn thẳng AB, biết AB = a cm.

Để vẽ đường trung trực của đoạn thẳng AB, ta làm theo các bước:

Bước 1: Vẽ đoạn thẳng AB = a cm.

Bước 2: Vẽ một phần đường tròn tâm A bán kính R (biết R > $\frac{\mathrm{a}}{2}$).

Bước 3: Vẽ một phần đường tròn tâm B bán kính R (biết R > $\frac{\mathrm{a}}{2}$), cắt phần đường tròn tâm A vẽ ở Bước 2 tại các điểm C và D.

Bước 4: Vẽ đường thẳng đi qua hai điểm C và D. Đường thẳng CD là đường trung trực của đoạn thẳng AB.

18. Tính chất ba đường trung tuyến của tam giác

18.1. Đường trung tuyến của tam giác

– Trong tam giác ABC (hình bên dưới), đoạn thẳng AM nối đỉnh A với trung điểm M của cạnh BC được gọi là đường trung tuyến (xuất phát từ đỉnh A hoặc tương ứng với cạnh BC).

Đôi khi, đường thẳng AM cũng được gọi là đường trung tuyến của ∆ABC.

– Chú ý: Mỗi tam giác có ba đường trung tuyến.

18.2. Tính chất ba đường trung tuyến của tam giác

– Ba đường trung tuyến của một tam giác cùng đi qua một điểm. Điểm đó được gọi là trọng tâm của tam giác.

Chú ý: Trong tam giác ABC (hình vẽ dưới) có ba đường trung tuyến AM, BK, CN cùng đi qua điểm G, ta còn nói chúng đồng quy tại điểm G.

Để xác định trọng tâm của một tam giác, ta chỉ cần vẽ hai đường trung tuyến bất kì và xác định giao điểm của hai đường đó.

Nhận xét: Trọng tâm của một tam giác cách mỗi đỉnh một khoảng bằng $\frac{2}{3}$ độ dài đường trung tuyến đi qua đỉnh ấy.

Lưu ý: Trong ∆ABC, với AM là đường trung tuyến và G là trọng tâm ta có:

$\frac{\text{GM}}{\text{AM}}=\frac{1}{3},\frac{\text{GM}}{\text{GA}}=\frac{1}{2}$

19. Tính chất ba đường phân giác của tam giác

19.1. Đường phân giác của tam giác

– Trong tam giác ABC (hình vẽ bên dưới), tia phân giác của $\widehat{\text{A}}$cắt cạnh BC tại D. Khi đó, đoạn thẳng AD được gọi là đường phân giác (xuất phát từ đỉnh A) của tam giác ABC.

Đôi khi, đường thẳng AD cũng được gọi là đường phân giác của ∆ABC.

Nhận xét: Mỗi tam giác có ba đường phân giác.

19.2. Tính chất ba đường phân giác của tam giác

– Ba đường phân giác của một tam giác cùng đi qua một điểm

Nhận xét:

+ Để xác định giao điểm ba đường phân giác của một tam giác, ta chỉ cần vẽ hai đường phân giác bất kì và xác định giao điểm của hai đường đó.

+ Giao điểm ba đường phân giác của một tam giác cách đều ba cạnh của tam giác đó.

– Vậy, trong một tam giác ba đường phân giác cùng đi qua một điểm và điểm đó cách đều ba cạnh của tam giác.

20. Tính chất ba đường trung trực của tam giác

20.1. Đường trung trực của tam giác

– Trong một tam giác, đường trung trực của mỗi cạnh được gọi là đường trung trực của tam giác đó.

Chú ý: Đường trung trực của một tam giác có thể không đi qua đỉnh nào của tam giác.

– Nhận xét: Mỗi tam giác có 3 đường trung trực.

20.2. Tính chất ba đường trung trực của tam giác

– Ba đường trung trực của một tam giác cùng đi qua một điểm.

Nhận xét:

+ Để xác định giao điểm ba đường trung trực của một tam giác, ta chỉ cần vẽ hai đường trung trực bất kì và xác định giao điểm của hai đường đó.

+ Giao điểm ba đường trung trực của một tam giác cách đều ba đỉnh của tam giác đó.

Do đó, trong một tam giác ba đường trung trực cùng đi qua một điểm và điểm đó cách đều ba đỉnh của tam giác.

21. Tính chất ba đường cao của tam giác

21.1. Đường cao của tam giác

– Trong một tam giác, đoạn vuông góc kẻ từ một đỉnh đến đường thẳng chứa cạnh đối diện gọi là một đường cao của tam giác đó.

Trong hình vẽ trên, đoạn thẳng AM là một đường cao của tam giác ABC. Đôi khi, ta cũng gọi đường thẳng AM là một đường cao của tam giác ABC.

Chú ý:

+ Mỗi tam giác có ba đường cao.

+ Đường cao của tam giác có thể nằm trong, trên cạnh hoặc nằm ngoài tam giác.

21.2. Tính chất ba đường cao trong tam giác

– Trong một tam giác, ba đường cao cùng đi qua một điểm. Điểm đó được gọi là trực tâm của tam giác.

Nhận xét: Để xác định trực tâm của một tam giác, ta chỉ cần vẽ hai đường cao bất kì và xác định giao điểm của hai đường đó.