Tailieumoi.vn giới thiệu Giải bài tập Toán lớp 7 Bài 10: Tính chất ba đường trung tuyến của tam giác chi tiết sách Toán 7 Tập 2 Cánh diều giúp học sinh xem và so sánh lời giải từ đó biết cách làm bài tập môn Toán 7. Mời các bạn đón xem:
Giải bài tập Toán lớp 7 Bài 10: Tính chất ba đường trung tuyến của tam giác
A. Câu hỏi trong bài
Điểm G được xác định như thế nào?
Lời giải:
Sau bài học này chúng ta sẽ giải quyết được câu hỏi trên như sau:
Điểm G là trọng tâm của tam giác (hay G là giao điểm của ba đường trung tuyến của tam giác).
Lời giải:
Ta coi độ dài cạnh của ô vuông nhỏ là 1.
Khi đó độ dài của đoạn thẳng MB bằng 3 lần độ dài cạnh ô vuông nên MB = 3.
Tương tự ta có MC = 3.
Lại thấy M nằm giữa B và C nên M là trung điểm của BC.
Vậy điểm A là một đỉnh của tam giác ABC, điểm M là trung điểm của cạnh BC.
Lời giải:
Quan sát Hình 101 ta thấy:
+ Đoạn thẳng HK là đường trung tuyến của tam giác BHC vì H là đỉnh của tam giác BHC, K là trung điểm của cạnh BC;
+ Đoạn thẳng KH là đường trung tuyến của tam giác AKC vì K là đỉnh của tam giác AKC, H là trung điểm của cạnh AC.
Lời giải:
Quan sát Hình 102, ta thấy ba đường trung tuyến AM, BN, CP của tam giác ABC cùng đi qua điểm G.
Lời giải:
Tam giác PQR có hai đường trung tuyến QM và RK cắt nhau tại G (giả thiết) nên G là trọng tâm của tam giác PQR.
I là trung điểm của cạnh QR nên PI là đường trung tuyến của tam giác PQR kẻ từ đỉnh P.
Mà các đường trung tuyến của tam giác cùng đi qua trọng tâm của tam giác nên trung tuyến PI sẽ đi qua điểm G.
Vậy ba điểm P, G, I thẳng hàng.
Bằng cách đếm số ô vuông, tìm các tỉ số
Lời giải:
Đếm số ô vuông trong Hình 104, ta thấy:
+) Đoạn thẳng AG đi qua 6 ô vuông, đoạn thẳng AM đi qua 9 ô vuông.
Do đó ;
+) Đoạn thẳng BG đi qua 4 ô vuông, đoạn thẳng BN đi qua 6 ô vuông.
Do đó: ;
+) Đoạn thẳng CG đi qua 4 ô vuông, đoạn thẳng CP đi qua 6 ô vuông.
Do đó: .
B. Bài tập
GA + GB + GC = (AM + BN + CP).
Lời giải:
GT |
DABC, ba đường trung tuyến AM, BN, CP đồng quy tại G |
KL |
GA + GB + GC = (AM + BN + CP). |
Chứng minh (Hình vẽ dưới đây):
Tam giác ABC có ba đường trung tuyến AM, BN, CP đồng quy tại G nên G là trọng tâm của tam giác ABC.
Khi đó AG = AM; BG = BN; CG = CP (tính chất trọng tâm của tam giác)
Do đó GA + GB + GC = AM + BN + CP = (AM + BN + CP).
Vậy GA + GB + GC = (AM + BN + CP).
a) BM = CN;
b) GBC cân tại G.
Lời giải:
GT |
ABC cân tại A, hai đường trung tuyến BM và CN cắt nhau tại G |
KL |
a) BM = CN; b) GBC cân tại G. |
Chứng minh (Hình vẽ dưới đây):
a) Tam giác ABC cân tại A (giả thiết) nên AB = AC (1).
Do BM đường trung tuyến của tam giác ABC nên M là trung điểm của AC do đó (2)
CN là đường trung tuyến của tam giác ABC nên N là trung điểm của AB do đó (3)
Từ (1), (2) và (3) ta có: AM = AN.
Xét ABM và ACN có:
AM = AN (chứng minh trên).
là góc chung,
AB = AC (chứng minh trên)
Do đó ABM = ACN (c.g.c)
Suy ra BM = CN (2 cạnh tương ứng).
Vậy BM = CN.
b) Tam giác ABC có hai đường trung tuyến BM và CN cắt nhau tại G nên G là trọng tâm của tam giác ABC.
Suy ra BG = BM; CG = CN (tính chất trọng tâm của tam giác).
Mà BM = CN (chứng minh câu a)
Do đó BG = CG.
Tam giác GBC có BG = CG nên tam giác GBC cân tại G.
Vậy GBC cân tại G.
a) GA = GD;
b) MBG = MCD;
c) CD = 2GN.
Lời giải:
GT |
ABC, hai đường trung tuyến AM và BN cắt nhau tại G, D ∈ tia đối của tia MA, MD = MG. |
KL |
a) GA = GD; b) MBG = MCD; c) CD = 2GN. |
Chứng minh (Hình vẽ dưới đây):
a) Tam giác ABC có hai đường trung tuyến AM, BN cắt nhau tại G (giả thiết) nên G là trọng tâm của tam giác ABC.
Khi đó GM = GA (tính chất trọng tâm của tam giác).
Điểm D nằm trên tia đối của tia MA và MD = MG (giả thiết) nên M là trung điểm của GD.
Suy ra GM = GD.
Do đó GA = GD.
Vậy GA = GD.
b) Do M là trung điểm của GD nên MG = MD.
Xét MBG và MDC có:
MB = MC (giả thiết),
(hai góc đối đỉnh),
MG = MD (chứng minh trên),
Do đó MBG = MDC (c.g.c).
c) Vì MBG = MDC (chứng minh câu b) nên CD = BG (hai cạnh tương ứng).
Lại có G là trọng tâm của tam giác ABC nên BG = 2GN.
Do đó CD = 2GN.
Vậy CD = 2GN.
a) AHB = AHM;
b) .
Lời giải:
GT |
ABC Hai đường trung tuyến AM và BN cắt nhau tại G, H là hình chiếu của A lên đường thẳng BC, H là trung điểm của BM. |
KL |
a) AHB = AHM; b) . |
Chứng minh (Hình vẽ dưới đây):
a) Vì H là hình chiếu của A trên BC nên AH BC
Do đó AHB vuông tại H và AHM vuông tại H.
Xét AHB (vuông tại H) và AHM (vuông tại H) có:
AH là cạnh chung,
HB = HM (H là trung điểm của BM).
Do đó AHB = AHM (hai cạnh góc vuông).
Vậy AHB = AHM.
b) Vì AHB = AHM (chứng minh câu a)
Nên AB = AM (hai cạnh tương ứng).
ABC có hai đường trung tuyến AM, BN cắt nhau tại G nên G là trọng tâm của ABC.
Suy ra AG = AM (tính chất trọng tâm của tam giác)
Do đó AG = AB.
Vậy
a) AH có vuông góc với BC không? Vì sao?
b) Vị trí O ở độ cao bao nhiêu mét so với mặt đất?
Lời giải:
a) DABC cân tại A nên AB = AC và .
Lại có AH là đường trung tuyến của ABC nên H là trung điểm của BC.
Do đó BH = CH.
Xét ABH và ACH có:
AB = AC (chứng minh trên),
(chứng minh trên),
BH = CH (chứng minh trên),
Do đó ABH = ACH (c.g.c).
Suy ra (hai góc tương ứng).
Mà
Nên
Hay AH BC.
Vậy AH BC.
b) Vì O là trọng tâm của tam giác ABC nên OH = AH (tính chất trong tâm tam giác)
Mà AH = 1,2 m
Do đó OH = . 1,2 = 0,4 m.
Vì mỗi tầng cao 3,3 m mà ngôi nhà ba tầng nên vị trí O ở độ cao so với mặt đất là:
0,4 + 3,3 . 3 = 10,3 (m)
Vậy vị trí O ở độ cao 10,3 m so với mặt đất.
Xem thêm các bài giải SGK Toán lớp 7 Cánh diều hay, chi tiết:
Giải SGK Toán 7 Bài 9: Đường trung trực của một đoạn thẳng
Giải SGK Toán 7 Bài 10: Tính chất ba đường trung tuyến của tam giác
Giải SGK Toán 7 Bài 11: Tính chất ba đường phân giác của tam giác
Giải SGK Toán 7 Bài 12: Tính chất ba đường trung trực của tam giác
Giải SGK Toán 7 Bài 13: Tính chất ba đường cao của tam giác
Lý thuyết Tính chất ba đường trung tuyến của tam giác
1. Đường trung tuyến của tam giác
– Trong tam giác ABC (hình bên dưới), đoạn thẳng AM nối đỉnh A với trung điểm M của cạnh BC được gọi là đường trung tuyến (xuất phát từ đỉnh A hoặc tương ứng với cạnh BC).
Đôi khi, đường thẳng AM cũng được gọi là đường trung tuyến của ∆ABC.
Ví dụ: Quan sát hình bên dưới và cho biết trong hình có bao nhiêu đường trung tuyến?
Hướng dẫn giải
Quan sát hình vẽ ta có:
• A là đỉnh của ∆ABC và M là trung điểm của BC nên đoạn thẳng AM là đường trung tuyến của ∆ABC.
• C là đỉnh của ∆ABC và H là trung điểm của AB nên đoạn thẳng CH là đường trung tuyến của ∆ABC.
• M là đỉnh của ∆ABM và H là trung điểm của AB do đó MH là đường trung tuyến của ∆ABM.
• H là đỉnh của ∆HBC và M là trung điểm của BC nên đoạn thẳng HM là đường trung tuyến của ∆HBC.
Vậy trong hình vẽ trên có tất cả 4 đường trung tuyến.
– Chú ý: Mỗi tam giác có ba đường trung tuyến.
Ví dụ: Tam giác ABC (hình vẽ dưới) có ba đường trung tuyến là AM, BK và CN.
2. Tính chất ba đường trung tuyến của tam giác
– Ba đường trung tuyến của một tam giác cùng đi qua một điểm. Điểm đó được gọi là trọng tâm của tam giác.
Chú ý: Trong tam giác ABC (hình vẽ dưới) có ba đường trung tuyến AM, BK, CN cùng đi qua điểm G, ta còn nói chúng đồng quy tại điểm G.
Để xác định trọng tâm của một tam giác, ta chỉ cần vẽ hai đường trung tuyến bất kì và xác định giao điểm của hai đường đó.
Nhận xét: Trọng tâm của một tam giác cách mỗi đỉnh một khoảng bằng độ dài đường trung tuyến đi qua đỉnh ấy.
Lưu ý: Trong ∆ABC, với AM là đường trung tuyến và G là trọng tâm ta có:
Ví dụ: Cho ∆ABC như hình vẽ, biết AM = 18 cm và BN = 21 cm.
a) Chứng minh: G là trọng tâm của ∆ABC.
b) Tính độ dài AG, GN.
Hướng dẫn giải
Theo hình vẽ trên ta có:
A là đỉnh của ∆ABC và M là trung điểm của BC nên đoạn thẳng AM là đường trung tuyến của ∆ABC.
B là đỉnh của ∆ABC và N là trung điểm của AC nên đoạn thẳng BN là đường trung tuyến của ∆ABC.
Mà hai đường trung tuyến AM và BN cắt nhau tại G do đó G là trọng tâm của ∆ABC.
Vậy G là trọng tâm của ∆ABC.
b) Theo phần a ta có: G là trọng tâm của ∆ABC nên (tính chất trọng tâm của tam giác)
Hay
Vì BN là đường trung tuyến của ∆ABC và G là trọng tâm của ∆ABC
Suy ra hay
Vậy AG = 12 cm, GN = 7 cm.