Tailieumoi.vn giới thiệu Giải bài tập Toán lớp 7 Bài 12: Tính chất ba đường trung trực của tam giác chi tiết sách Toán 7 Tập 2 Cánh diều giúp học sinh xem và so sánh lời giải từ đó biết cách làm bài tập môn Toán 7. Mời các bạn đón xem:
Giải bài tập Toán lớp 7 Bài 12: Tính chất ba đường trung trực của tam giác
A. Câu hỏi trong bài
Làm thế nào để xác định được vị trí cách đều ba địa điểm được minh họa trong Hình 121?
Lời giải:
Sau bài học này chúng ta sẽ giải quyết được câu hỏi trên như sau:
Ba địa điểm được minh họa trên tạo thành ba đỉnh của một tam giác (Hình 121).
Khi đó vị trí cách đều ba địa điểm đó là giao điểm O của ba đường trung trực của tam giác tạo bởi ba địa điểm trên.
Lời giải:
Đường thẳng d là trung trực của đoạn thẳng BC nên đường thẳng d vuông góc với BC tại trung điểm của BC.
Ta có hình vẽ sau:
Lời giải:
GT |
ABC cân tại A, AD là phân giác của |
KL |
AD là đường trung trực của tam giác ABC. |
Chứng minh (Hình vẽ dưới đây):
Tam giác ABC cân tại A (giả thiết) nên AB = AC.
Vì AD là đường phân giác của (giả thiết) nên (tính chất tia phân giác)
Xét ABD và ACD có:
AB = AC (chứng minh trên),
(chứng minh trên),
AD là cạnh chung.
Do đó ABD = ACD (c.g.c).
Suy ra BD = CD (hai cạnh tương ứng) và (hai góc tương ứng).
+) Vì BD = CD mà D nằm giữa B và C nên D là trung điểm của BC. (1)
+) Vì và (tính chất hai góc kề bù)
Nên .
Do đó AD BC. (2)
Từ (1) và (2) ta có AD vuông góc với BC tại trung điểm D của BC.
Vậy AD là đường trung trực của đoạn thẳng BC.
Lời giải:
Quan sát Hình 126 ta thấy các đường trung trực của tam giác ABC cùng đi qua điểm O.
Lời giải:
Trong Hình 127 ta thấy đường thẳng qua O và cắt AB nhưng không vuông góc với AB do đó đường thẳng này không phải là đường trung trực của đoạn thẳng AB.
Tương tự đường thẳng qua O và cắt AC không vuông góc với AB nên không phải là đường trùng trực của đoạn thẳng AC.
Vậy O không phải giao điểm ba đường trung trực của tam giác ABC.
Lời giải:
Vì O là giao điểm của ba đường trung trực của tam giác ABC nên:
+) O nằm trên đường trung trực của đoạn thẳng AB
Suy ra OA = OB (tính chất đường trung trực)
+) O nằm trên đường trung trực của đoạn thẳng BC
Suy ra OB = OC (tính chất đường trung trực)
Do đó OA = OB = OC.
B. Bài tập
Lời giải:
GT |
ABC, OA = OB = OC |
KL |
O là giao điểm ba đường trung trực của tam giác ABC. |
Chứng minh (Hình vẽ dưới đây):
Vì OA = OB (giả thiết) nên O nằm trên đường trung trực của đoạn thẳng AB.
Vì OA = OC (giả thiết) nên O nằm trên đường trung trực của đoạn thẳng AC.
Tam giác ABC có O là giao điểm hai đường trung trực của đoạn thẳng AB và đoạn thẳng AC nên O là giao điểm của hai đường trung trực của tam giác ABC.
Mà ba đường trung trực của tam giác luôn cùng đi qua một điểm.
Vậy O là giao điểm ba đường trung trực của tam giác ABC
a) Tam giác ABC nhọn;
b) Tam giác ABC vuông tại A;
c) Tam giác ABC có góc A tù.
Lời giải:
Vì điểm O cách đều ba đỉnh A, B, C của tam giác ABC nên điểm O là giao điểm ba đường trung trực của tam giác ABC.
a) Ta có hình vẽ sau:
b) Ta có hình vẽ sau:
c) Ta có hình vẽ sau:
Lời giải:
GT |
ABC, ba đường trung tuyến cắt nhau tại G, ba đường trung trực cắt nhau tại G |
KL |
Tam giác ABC đều. |
Chứng minh (Hình vẽ dưới đây):
Vì G là giao điểm của ba đường trung trực và ba đường trung tuyến (giả thiết)
Nên ba đường trung tuyến cũng đồng thời là đường trung trực của tam giác.
Gọi AM, BN, CP lần lượt là ba đường trung trực của tam giác ABC.
Do đó AM BC tại trung điểm M của BC;
BN AC tại trung điểm N của AC;
CP AB tại trung điểm P của AB;
+) Xét tam giác ABM (vuông tại M) và tam giác ACM (vuông tại M) có:
MB = MC (M là trung điểm của BC),
AM là cạnh chung
Do đó ABM = ACM (hai cạnh góc vuông)
Suy ra AB = AC (hai cạnh tương ứng) (1)
+) Xét tam giác BAN (vuông tại N) và tam giác BCN (vuông tại N) có:
NA = NC (N là trung điểm của AC),
BN là cạnh chung
Do đó BAN = BCN (hai cạnh góc vuông)
Suy ra BA = BC (hai cạnh tương ứng) (2)
Từ (1) và (2) suy ra AB = AC = BC
Do đó tam giác ABC là tam giác đều.
Vậy tam giác ABC là tam giác đều.
Lời giải:
GT |
ABC, ba đường phân giác cắt nhau tại I, ba đường trung trực cắt nhau tại I |
KL |
Tam giác ABC đều. |
Chứng minh (Hình vẽ dưới đây):
Vì I là giao điểm của ba đường trung trực và ba đường phân giác (giả thiết)
Nên ba đường phân giác cũng đồng thời là đường trung trực của tam giác.
Gọi AM, BN, CP lần lượt là ba đường trung trực của tam giác ABC.
Do đó AM BC tại trung điểm M của BC và AM là đường phân giác của
BN AC tại trung điểm N của AC và BN là đường phân giác của
CP AB tại trung điểm P của AB và CP là đường phân giác của
+) Xét ABM (vuông tại M) và DACM (vuông tại M) có:
(do AM là đường phân giác của ),
AM là cạnh chung,
Do đó ABM = ACM (cạnh góc vuông – góc nhọn kề)
Suy ra AB = AC (hai cạnh tương ứng) (1)
+) Xét ABN (vuông tại N) và CBN (vuông tại N) có:
(do BN là đường phân giác của ),
BN là cạnh chung,
Do đó ABN = CBN (cạnh góc vuông – góc nhọn kề)
Suy ra AB = CB (hai cạnh tương ứng) (1)
Từ (1) và (2) suy ra AB = BC = AC
Do đó tam giác ABC là tam giác đều.
Vậy tam giác ABC đều.
a) OM BC;
b) .
Lời giải:
GT |
ABC, O là giao điểm hai đường trung trực của AB và AC, O nằm trong tam giác, M là trung điểm của BC |
KL |
a) OM BC; b) . |
Chứng minh (Hình vẽ dưới đây):
a) Do ba đường trung trực trong tam giác đồng quy tại một điểm mà tam giác ABC có O là giao điểm hai đường trung trực của đoạn thẳng AB và đoạn thẳng AC (giả thiết).
Do đó đường trung trực của đoạn thẳng BC đi qua O.
Lại có M là trung điểm của BC nên OM là đường trung trực của đoạn thẳng BC.
Do đó OM BC.
Vậy OM BC.
b) Do O nằm trên đường trung trực của đoạn thẳng BC nên OB = OC (tính chất đường trung trực)
Xét OMB và OMC có:
OM là cạnh chung,
MB = MC (M là trung điểm của BC),
OB = OC (chứng minh trên)
Do đó OMB = OMC (c.c.c).
Suy ra (hai góc tương ứng).
Vậy
Xem thêm các bài giải SGK Toán lớp 7 Cánh diều hay, chi tiết:
Giải SGK Toán 7 Bài 10: Tính chất ba đường trung tuyến của tam giác
Giải SGK Toán 7 Bài 11: Tính chất ba đường phân giác của tam giác
Giải SGK Toán 7 Bài 12: Tính chất ba đường trung trực của tam giác
Giải SGK Toán 7 Bài 13: Tính chất ba đường cao của tam giác
Giải SGK Toán 7: Bài tập cuối chương 7
Lý thuyết Tính chất ba đường trung trực của tam giác
1. Đường trung trực của tam giác
– Trong một tam giác, đường trung trực của mỗi cạnh được gọi là đường trung trực của tam giác đó.
Chú ý: Đường trung trực của một tam giác có thể không đi qua đỉnh nào của tam giác.
Ví dụ: Quan sát hình vẽ và chỉ ra các đường trung trực của tam giác (nếu có):
Hướng dẫn giải
Đường thẳng a vuông góc với AC tại trung điểm của cạnh đó nên đường thẳng a là trung trực của ∆ABC.
Đường thẳng b đi trung điểm của BC nhưng không vuông góc với BC tại trung điểm của cạnh đó nên đường thẳng b không là đường trung trực của ∆ABC.
Đường thẳng c ⊥ AB nhưng không vuông góc tại trung điểm của cạnh đó nên đường thẳng c không là đường trung trực của ∆ABC.
– Nhận xét: Mỗi tam giác có 3 đường trung trực.
2. Tính chất ba đường trung trực của tam giác
– Ba đường trung trực của một tam giác cùng đi qua một điểm.
Nhận xét:
+ Để xác định giao điểm ba đường trung trực của một tam giác, ta chỉ cần vẽ hai đường trung trực bất kì và xác định giao điểm của hai đường đó.
+ Giao điểm ba đường trung trực của một tam giác cách đều ba đỉnh của tam giác đó.
Do đó, trong một tam giác ba đường trung trực cùng đi qua một điểm và điểm đó cách đều ba đỉnh của tam giác.
Ví dụ: Cho ∆ABC có ba đường trung trực của AB, BC, AC cắt nhau tại O, tương ứng cắt AB, BC, CA lần lượt tại H, K, E. Chứng minh rằng: BK < OA < OC + BC.
Hướng dẫn giải
Vì O là giao điểm của ba đường trung trực trong ∆ABC nên OA = OB = OC.
Xét ∆OBK vuông tại K nên OB > BK (vì trong tam giác vuông cạnh huyền là cạnh lớn nhất). (1)
∆OBC có OB < OC + BC (bất đẳng thức trong tam giác)
Mà OA = OB
Do đó OA < OC + BC (2)
Từ (1) và (2) suy ra BK < OA < OC + BC
Vậy BK < OA < OC + BC.