Giải Toán 10 Bài 8 Kết nối tri thức: Tổng và hiệu của hai vectơ

Tóm tắt lý thuyết cần nhớ

Trước khi làm bài, bạn cần nắm chắc năm ý sau. Phần lớn lời giải bên dưới chỉ là áp dụng các ý này.

• Tổng hai vectơ: lấy điểm A bất kì, vẽ AB→ = a→, BC→ = b→ thì a→ + b→ = AC→. Kết quả không phụ thuộc vào việc chọn điểm A (đây chính là HĐ1).
• Quy tắc ba điểm: AB→ + BC→ = AC→ với ba điểm A, B, C bất kì. Điểm cuối của vectơ thứ nhất phải trùng điểm đầu của vectơ thứ hai.
• Quy tắc hình bình hành: nếu ABCD là hình bình hành thì AB→ + AD→ = AC→ (hai vectơ chung điểm đầu A, tổng là đường chéo qua A).
• Tính chất: giao hoán a→ + b→ = b→ + a→; kết hợp (a→ + b→) + c→ = a→ + (b→ + c→); a→ + 0→ = a→.
• Vectơ đối và hiệu: vectơ đối của a→ kí hiệu −a→ (cùng độ dài, ngược hướng); a→ + (−a→) = 0→. Hiệu a→ − b→ = a→ + (−b→). Với ba điểm O, A, B: AB→ = OB→ − OA→ (quy tắc hiệu).

Hai hệ thức hay dùng khi chứng minh: I là trung điểm AB ⇔ IA→ + IB→ = 0→; G là trọng tâm tam giác ABC ⇔ GA→ + GB→ + GC→ = 0→. Xem thêm bản đầy đủ tại phần lý thuyết hoặc bài Lý thuyết Tổng và hiệu của hai vectơ.

Giải bài tập trang 51

Câu mở đầu: góc lái để tàu sang sông nhanh nhất

Gọi v→ là vận tốc thực tế của tàu so với bờ, v_r→ là vận tốc riêng của tàu (so với nước), v_n→ là vận tốc dòng nước (so với bờ, song song với bờ). Khi đó v→ = v_r→ + v_n→, và v→ là đường chéo của hình bình hành dựng trên hai vectơ này.

Dòng nước chỉ đẩy tàu dọc theo bờ, nên nó không làm thay đổi tốc độ tiến ngang sông. Tốc độ tiến vuông góc với bờ chỉ phụ thuộc thành phần vuông góc của v_r→. Thành phần này lớn nhất khi v_r→ vuông góc với bờ.

Đáp số: giữ lái sao cho vận tốc riêng của tàu tạo với bờ góc 90°. Lưu ý: lúc đó vận tốc thực tế v→ bị xiên đi, tàu sẽ cập bờ kia ở điểm lệch về phía xuôi dòng; đề đã nói không quan tâm điểm đến.

HĐ1

Từ AB→ = A′B′→ (cùng bằng a→) suy ra AB // A′B′ và AB = A′B′. Tương tự BC // B′C′ và BC = B′C′. Hai tam giác ABC và A′B′C′ có hai cạnh bằng nhau và góc xen giữa bằng nhau (cạnh song song cùng hướng), nên bằng nhau, và AC, A′C′ song song, cùng hướng, cùng độ dài.

Kết luận: AC→ = A′C′→. Nhờ vậy tổng a→ + b→ được định nghĩa không phụ thuộc điểm A. Xem bài chi tiết: HĐ1 trang 51.

HĐ2

ABCD là hình bình hành nên AD→ = BC→. Do đó AB→ + AD→ = AB→ + BC→ = AC→ (quy tắc ba điểm). Đây là cách chứng minh quy tắc hình bình hành. Chi tiết: HĐ2 trang 51; cả trang: Giải Toán 10 trang 51.

Giải bài tập trang 52

HĐ3 (tính chất giao hoán, kết hợp)

a) Với AB→ = a→, BC→ = b→: a→ + b→ = AB→ + BC→ = AC→. Với AD→ = b→, DC→ = a→: b→ + a→ = AD→ + DC→ = AC→. Vậy a→ + b→ = b→ + a→.

b) Ta có (a→ + b→) + c→ = AC→ + CD→ = AD→. Mặt khác b→ + c→ = BC→ + CD→ = BD→ nên a→ + (b→ + c→) = AB→ + BD→ = AD→. Vậy hai vế bằng nhau. Xem: HĐ3 trang 52.

Luyện tập 1: hình thoi ABCD, cạnh 1, góc BAD = 120°

Tính |CB→ + CD→| và |DB→ + CD→ + BA→|.

• Vì ABCD là hình thoi nên AB→ = DC→, suy ra CD→ = BA→. Do đó CB→ + CD→ = CB→ + BA→ = CA→.
• Hai góc kề cạnh AB bù nhau nên góc ABC = 180° − 120° = 60°. Tam giác ABC có BA = BC = 1 và góc B = 60° nên là tam giác đều, CA = 1.
• Vậy |CB→ + CD→| = 1.
• Câu sau: DB→ + CD→ + BA→ = (CD→ + DB→) + BA→ = CB→ + BA→ = CA→, nên độ dài cũng bằng 1.

Lỗi hay gặp: viết CB→ + CD→ = BD→. Hai vectơ này chung điểm đầu C nên phải dùng quy tắc hình bình hành (kết quả CA→ là đường chéo qua C), không phải quy tắc ba điểm. Xem: Luyện tập 1 trang 52.

HĐ4 (hai lực cân bằng)

Hai lực cân bằng là hai lực cùng tác dụng lên một vật mà vật vẫn đứng yên (hoặc chuyển động thẳng đều). Ví dụ trận kéo co hoà: hai đội kéo ngược chiều với lực như nhau. Hai vectơ biểu diễn chúng cùng phương, ngược hướng, cùng độ dài, tức là hai vectơ đối nhau, và tổng của chúng bằng 0→. Đây là chỗ khái niệm vectơ đối ra đời. Xem: HĐ4 trang 52, cả trang: Giải Toán 10 trang 52.

Giải bài tập trang 53

Luyện tập 2

Đề: tứ giác ABCD; M, N là trung điểm AB, CD; O là trung điểm MN. Chứng minh OA→ + OB→ + OC→ + OD→ = 0→.

Vì M là trung điểm AB nên OA→ + OB→ = 2·OM→. Vì N là trung điểm CD nên OC→ + OD→ = 2·ON→. Cộng lại: tổng = 2(OM→ + ON→). Do O là trung điểm MN nên OM→ + ON→ = 0→. Vậy tổng bằng 0→, tức O là trọng tâm của hệ bốn điểm A, B, C, D.

Mẹo: gặp “trung điểm” thì nghĩ ngay đến IA→ + IB→ = 0→ (hoặc OA→ + OB→ = 2OM→ với O bất kì). Xem: Luyện tập 2 trang 53 và Giải Toán 10 trang 53.

Giải bài tập trang 54

Vận dụng: lực kéo pháo lên dốc

Khẩu pháo nặng 22 148 N đặt trên dốc nghiêng 30° so với phương ngang (hình 4.18). Trọng lực P→ phân tích thành hai thành phần: một thành phần vuông góc mặt dốc (bị phản lực của mặt dốc cân bằng) và một thành phần song song mặt dốc kéo pháo trượt xuống. Lực kéo tối thiểu phải cân bằng thành phần song song này.

Độ lớn thành phần này là 22 148 · sin 30° = 22 148 · 0,5 = 11 074 N. Đáp số: cần lực kéo ít nhất khoảng 11 074 N. Xem: Vận dụng trang 54.

Bài 4.6

Cho bốn điểm A, B, C, D. Chứng minh:

a) AB→ + CD→ = AD→ + CB→. Xen điểm D vào AB→ và điểm B vào CD→: AB→ = AD→ + DB→, CD→ = CB→ + BD→. Cộng lại: AB→ + CD→ = AD→ + CB→ + (DB→ + BD→) = AD→ + CB→ + 0→. Đẳng thức được chứng minh.

b) AB→ − AD→ = CB→ − CD→. Theo quy tắc hiệu, AB→ − AD→ = DB→ và CB→ − CD→ = DB→. Hai vế cùng bằng DB→.

Xem: Bài 4.6 trang 54.

Bài 4.7

Cho hình bình hành ABCD. Tìm điểm M sao cho BM→ = AB→ + AD→; tìm quan hệ giữa CD→ và CM→.

Theo quy tắc hình bình hành, AB→ + AD→ = AC→, nên BM→ = AC→. Vậy M là điểm sao cho ABMC là hình bình hành, hay M = B + AC→ (dựng từ B vectơ bằng AC→). Khi đó CM→ = AB→ (cạnh đối của hình bình hành ABMC). Mà AB→ = DC→ (vì ABCD là hình bình hành), nên CM→ = DC→ = −CD→.

Kết luận: CD→ và CM→ là hai vectơ đối nhau, nghĩa là C là trung điểm của DM. Kiểm tra bằng toạ độ: A(0;0), B(1;0), D(0;1), C(1;1) ⇒ M(2;1), CD→ = (−1;0), CM→ = (1;0). Đúng. Xem: Bài 4.7 trang 54.

Bài 4.8

Tam giác đều ABC cạnh a. Tính |AB→ − AC→| và |AB→ + AC→|.

• AB→ − AC→ = CB→ (quy tắc hiệu) nên |AB→ − AC→| = CB = a.
• Gọi M là trung điểm BC. Khi đó AB→ + AC→ = 2AM→, nên |AB→ + AC→| = 2AM. Trong tam giác đều, AM = a√3/2, vậy |AB→ + AC→| = a√3.

Xem: Bài 4.8 trang 54.

Bài 4.9

Hai lực F₁→, F₂→ cùng tác động lên một vật, |F₁→| = 3 N, |F₂→| = 2 N, hai lực vuông góc với nhau như trong hình 4.19. Hợp lực là đường chéo của hình chữ nhật dựng trên hai lực, nên độ lớn là √(3² + 2²) = √13 ≈ 3,6 N.

Nếu hai lực hợp nhau góc θ bất kì thì |F₁→ + F₂→|² = F₁² + F₂² + 2F₁F₂cos θ; với θ = 90° số hạng cuối bằng 0. Xem: Bài 4.9 trang 54.

Bài 4.10

Hai tàu xuất phát cùng lúc từ một bờ sang bờ kia, vận tốc riêng có độ lớn bằng nhau, nhưng lái theo hai hướng khác nhau (hình 4.20). Dòng nước chảy song song với bờ nên không ảnh hưởng đến tốc độ vượt sông.

Gọi α là góc giữa vận tốc riêng và bờ, v là độ lớn vận tốc riêng, d là bề rộng sông. Tốc độ tiến vuông góc bờ là v·sin α, thời gian sang sông là t = d/(v·sin α). Vì v, d như nhau nên tàu nào có góc α lớn hơn (gần vuông góc với bờ hơn) thì sang bờ trước; hai tàu cùng góc α (đối xứng nhau qua phương vuông góc với bờ) thì đến cùng lúc. Hãy đối chiếu số đo góc trong hình 4.20 để chọn tàu. Xem: Bài 4.10 trang 54 và Giải Toán 10 trang 54.

Mẹo làm bài và lỗi thường gặp

• Quy tắc ba điểm: kiểm tra “đuôi nối đầu” (AB→ + BC→). Nếu hai vectơ chung điểm đầu, hãy dùng quy tắc hình bình hành hoặc dời một vectơ.
• Hiệu hai vectơ chung điểm đầu: AB→ − AC→ = CB→ (điểm cuối trừ điểm cuối, đọc từ C đến B). Đừng viết thành BC→.
• Độ dài tổng khác tổng độ dài: |a→ + b→| ≤ |a→| + |b→|, dấu “=” chỉ xảy ra khi hai vectơ cùng hướng.
• Chứng minh đẳng thức vectơ: xen một điểm trung gian (thường là điểm xuất hiện ở cả hai vế) rồi dùng quy tắc ba điểm, như bài 4.6.

Bài luyện tập tự đặt

1. Cho tam giác ABC vuông tại A, AB = 3, AC = 4. Tính |AB→ + AC→| và |AB→ − AC→|.
2. Rút gọn: AB→ + BC→ + CD→ − AD→ + MN→ − MP→ − PN→.
3. Hai lực 5 N và 12 N cùng tác dụng lên một vật, vuông góc với nhau. Tính độ lớn hợp lực.

Đáp án:

1. Gọi M là trung điểm BC, BC = 5, AM = 2,5 nên |AB→ + AC→| = 2AM = 5; |AB→ − AC→| = |CB→| = 5.
2. AB→ + BC→ + CD→ = AD→ nên AD→ − AD→ = 0→. Lại có MN→ − MP→ = PN→, nên MN→ − MP→ − PN→ = 0→. Kết quả: 0→.
3. √(5² + 12²) = 13 N.

Mục lục các bài giải liên quan

• Sách bài tập Toán 10 Bài 8
• 20 câu trắc nghiệm Tổng và hiệu của hai vectơ
• Bài 7: Các khái niệm mở đầu
• Bài 9: Tích của một vectơ với một số
• Bài 10: Vectơ trong mặt phẳng toạ độ
• Bài 11: Tích vô hướng của hai vectơ
• Giải SGK Toán 10 – Kết nối tri thức

Câu hỏi thường gặp

Quy tắc ba điểm và quy tắc hình bình hành khác nhau thế nào?

Quy tắc ba điểm dùng khi điểm cuối của vectơ thứ nhất trùng điểm đầu của vectơ thứ hai: AB→ + BC→ = AC→. Quy tắc hình bình hành dùng khi hai vectơ chung điểm đầu: nếu ABCD là hình bình hành thì AB→ + AD→ = AC→.

Làm sao tính hiệu hai vectơ a→ − b→?

Lấy a→ cộng với vectơ đối của b→: a→ − b→ = a→ + (−b→). Với ba điểm O, A, B bất kì, OB→ − OA→ = AB→, tức là lấy điểm cuối trừ điểm cuối rồi đọc theo hướng từ A đến B.

Vì sao muốn tàu sang sông nhanh nhất phải lái vuông góc với bờ?

Dòng nước chảy song song bờ nên chỉ làm tàu trôi dọc bờ, không đổi tốc độ tiến ngang sông. Tốc độ ngang chỉ do thành phần vuông góc của vận tốc riêng quyết định, lớn nhất khi vận tốc riêng vuông góc với bờ.

Bài 8 Toán 10 Kết nối tri thức gồm những dạng bài nào?

Gồm tính độ dài tổng, hiệu hai vectơ trong hình đặc biệt (hình thoi, tam giác đều), chứng minh đẳng thức vectơ bằng quy tắc ba điểm, tìm điểm thoả đẳng thức vectơ, và bài toán vật lí về hợp lực, vận tốc.

Bài học liên quan

• Lý thuyết Toán 10 Chân trời sáng tạo: tóm tắt đủ 10 chương
• Lý thuyết Toán 10 Cánh diều: tóm tắt kiến thức trọng tâm 7 chương
• Tọa độ của vectơ lớp 10 (Chân trời sáng tạo): lý thuyết, cách tìm, bài tập
• Cách tính tọa độ vectơ tổng, hiệu, tích với một số – Toán 10
• Lý thuyết giải tam giác, tính diện tích tam giác Toán 10 Cánh Diều
• Lý thuyết Các số đặc trưng đo xu thế trung tâm: tứ phân vị Toán 10 CTST