Với giải sách bài tập Toán 10 Bài 8: Tổng và hiệu của hai vectơ sách Kết nối tri thức hay, chi tiết giúp học sinh dễ dàng xem và so sánh lời giải từ đó biết cách làm bài tập trong SBT Toán 10. Mời các bạn đón xem:

Giải SBT Toán lớp 10 Bài 8: Tổng và hiệu của hai vectơ

Giải SBT Toán 10 trang 50 Tập 1

Bài 4.7 trang 50 SBT Toán 10 Tập 1: Cho hai vectơ $\overrightarrow{a}$ và $\overrightarrow{b}$ không cùng phương. Chứng minh rằng:

$\left|\overrightarrow{a}\right|-\left|\overrightarrow{b}\right|<\left|\overrightarrow{a}+\overrightarrow{b}\right|<\left|\overrightarrow{a}\right|+\left|\overrightarrow{b}\right|$

Lời giải:

Giả sử ba điểm A, B, C thoả mãn: $\overrightarrow{a}=\overrightarrow{AB},\overrightarrow{b}=\overrightarrow{BC}$ 

Khi đó ta có: $\overrightarrow{a}+\overrightarrow{b}=\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{BC}=\overrightarrow{AC}$ (quy tắc ba điểm)

Do đó:

Mặt khác: xét tam giác ABC, theo bất đẳng thức trong tam giác ta có:

AB – BC < AC < AB + BC

Hay $\left|\overrightarrow{a}\right|-\left|\overrightarrow{b}\right|<\left|\overrightarrow{a}+\overrightarrow{b}\right|<\left|\overrightarrow{a}\right|+\left|\overrightarrow{b}\right|$ 

Vậy $\left|\overrightarrow{a}\right|-\left|\overrightarrow{b}\right|<\left|\overrightarrow{a}+\overrightarrow{b}\right|<\left|\overrightarrow{a}\right|+\left|\overrightarrow{b}\right|.$

Bài 4.8 trang 50 SBT Toán 10 Tập 1: Cho hình bình hành ABCD tâm O. M là một điểm tuỳ ý thuộc cạnh BC, khác B và C. MO cắt cạnh AD tại N.

a) Chứng minh rằng O là trung điểm MN.

b) Gọi G là trọng tâm tam giác BCD. Chứng minh rằng G cũng là trọng tâm tam giác MNC.

Lời giải:

a) Vì ABCD là hình bình hành tâm O

Nên O là trung điểm của AC và BD và $\widehat{ADO}=\widehat{CBO}$ 

Xét ∆ODN và ∆OBM có:

OD = OB (do O là trung điểm của BD),

$\widehat{DON}=\widehat{BOM}$ (hai góc đối đỉnh),

$\widehat{NDO}=\widehat{MBO}$(do $\widehat{ADO}=\widehat{CBO}$)

Þ ∆ODN = ∆OBM (g.c.g)

Þ ON = OM (hai cạnh tương ứng)

Þ O là trung điểm của NM.

Vậy O là trung điểm của NM.

b) Vì G là trọng tâm ∆BCD nên $\overrightarrow{GB}+\overrightarrow{GC}+\overrightarrow{GD}=\overrightarrow{0}$ 

$\Rightarrow \left(\overrightarrow{GM}+\overrightarrow{MB}\right)+\overrightarrow{GC}+\left(\overrightarrow{GN}+\overrightarrow{ND}\right)=\overrightarrow{0}$ (quy tắc hiệu)

$\Rightarrow \overrightarrow{GM}+\overrightarrow{MB}+\overrightarrow{GC}+\overrightarrow{GN}+\overrightarrow{ND}=\overrightarrow{0}$

$\Rightarrow \overrightarrow{GM}+\overrightarrow{GC}+\overrightarrow{GN}+\left(\overrightarrow{MB}+\overrightarrow{ND}\right)=\overrightarrow{0}$ (*)

Ta có: O là trung điểm của NM (câu a), O là trung điểm của BD (câu a)

Þ BMDN là hình bình hành

$\Rightarrow \overrightarrow{BM}=\overrightarrow{ND}$ $\Rightarrow -\overrightarrow{MB}=\overrightarrow{ND}$ 

$\Rightarrow \overrightarrow{MB}+\overrightarrow{ND}=\overrightarrow{0}$ 

Thay vào (*) ta được $\overrightarrow{GM}+\overrightarrow{GC}+\overrightarrow{GN}+\overrightarrow{0}=\overrightarrow{0}$

Do đó $\overrightarrow{GM}+\overrightarrow{GC}+\overrightarrow{GN}=\overrightarrow{0}$

Þ G là trọng tâm tam giác MNC.

Vậy G là trọng tâm tam giác MNC.

Bài 4.9 trang 50 SBT Toán 10 Tập 1: Cho tứ giác ABCD.

a) Chứng minh rằng $\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{BC}+\overrightarrow{CD}+\overrightarrow{DA}=\overrightarrow{0}$ 

b) Chứng minh rằng $\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{CD}=\overrightarrow{AD}+\overrightarrow{CB}.$ 

Lời giải:

a) Theo quy tắc ba điểm ta có:

 Vậy $\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{BC}+\overrightarrow{CD}+\overrightarrow{DA}=\overrightarrow{0}$

b) Theo quy tắc ba điểm ta có:

Vậy $\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{CD}=\overrightarrow{AD}+\overrightarrow{CB}.$

Giải SBT Toán 10 trang 51 Tập 1

Bài 4.10 trang 51 SBT Toán 10 Tập 1: Cho tam giác ABC. Gọi D, E, F theo thứ tự là trung điểm của các cạnh BC, CA. AB.

a) Xác định vectơ $\overrightarrow{AF}–\overrightarrow{BD}+\overrightarrow{CE}.$ 

b) Xác định điểm M thoả mãn $\overrightarrow{\text{AF}}-\overrightarrow{BD}+\overrightarrow{CE}=\overrightarrow{MA}.$ 

c) Chứng minh rằng $\overrightarrow{MC}=\overrightarrow{AB}.$ 

Lời giải:

a) Ta có: $\overrightarrow{AF}–\overrightarrow{BD}+\overrightarrow{CE}$

$=\overrightarrow{AF}+\overrightarrow{DB}+\overrightarrow{CE}$

$=\overrightarrow{AF}+\overrightarrow{DB}+\overrightarrow{EA}$  (vì E là trung điểm AC nên $\overrightarrow{CE}=\overrightarrow{EA}$)

$=\left(\overrightarrow{EA}+\overrightarrow{AF}\right)+\overrightarrow{DB}$

$=\overrightarrow{EF}+\overrightarrow{DB}$

Vì E, F lần lượt là trung điểm của AC, AB

Nên EF là đường trung bình của tam giác ABC

Þ EF // BC và $EF=\frac{1}{2}BC$ 

Mà D là trung điểm của BC nên $BD=\frac{1}{2}BC$ 

Xét tứ giác EFBD có: EF // BD, $\text{EF}=BD\left(=\frac{1}{2}BC\right)$ 

Þ EFBD là hình bình hành

Þ $\overrightarrow{EF}=\overrightarrow{DB}$

Khi đó: $\overrightarrow{AF}–\overrightarrow{BD}+\overrightarrow{CE}$$=\overrightarrow{EF}+\overrightarrow{DB}$

$=\overrightarrow{DB}+\overrightarrow{DB}$

$=2\overrightarrow{DB}$ 

$\overrightarrow{CB}$ (do D là trung điểm của BC)

Vậy $\overrightarrow{AF}–\overrightarrow{BD}+\overrightarrow{CE}=\overrightarrow{CB}.$

b) Điểm M thoả mãn $\overrightarrow{\text{AF}}-\overrightarrow{BD}+\overrightarrow{CE}=\overrightarrow{MA}.$

Mà $\overrightarrow{AF}–\overrightarrow{BD}+\overrightarrow{CE}=\overrightarrow{CB}$ (câu a)

Nên $\overrightarrow{MA}=\overrightarrow{CB}$ 

Do đó MABC là hình bình hành (theo kết quả bài tập 4.3 SGK Toán 10 SBT Toán 10 Tập 1)

Vậy điểm M thoả mãn tứ giác MABC là hình bình hành.

c) Vì MABC là hình bình hành (câu b)

Nên $\overrightarrow{MC}=\overrightarrow{AB}$ (theo kết quả bài tập 4.3 SGK Toán 10 SBT Toán 10 Tập 1)

Vậy $\overrightarrow{MC}=\overrightarrow{AB}.$

Bài 4.11 trang 51 SBT Toán 10 Tập 1: Trên Hình 4.7 biểu diễn ba lực $\overrightarrow{F_1},\overrightarrow{F_2},\overrightarrow{F_3}$ cùng tác động vào một vật ở vị trí cân bằng A.

Cho biết $\left|\overrightarrow{F_1}\right|=30N,\left|\overrightarrow{F_2}\right|=40N.$ Tính cường độ của lực $\overrightarrow{F_3}.$ 

Lời giải:

Ta sử dụng các vectơ $\overrightarrow{AB},\overrightarrow{AC},\overrightarrow{AD}$ và $\overrightarrow{AE}$ lần lượt biểu diễn cho các lực $\overrightarrow{F_1},\overrightarrow{F_2},\overrightarrow{F_3}$ và hợp lực $\overrightarrow{F}$ của $\overrightarrow{F_1},\overrightarrow{F_2}$ (hình vẽ dưới đây).

Khi đó do $\overrightarrow{F}=\overrightarrow{F_1}+\overrightarrow{F_2}$ nên tứ giác ABEC là hình bình hành

Lại có $\widehat{BAC}=90°$ nên ABEC là hình chữ nhật

Khi đó $\left|\overrightarrow{F}\right|=\left|\overrightarrow{AE}\right|=AE=\sqrt{A{B}^2+B{E}^2}$ (định lí Pythagoras) 

Hay $\left|\overrightarrow{F}\right|=\sqrt{{\left|\overrightarrow{F_1}\right|}^2+{\left|\overrightarrow{F_2}\right|}^2}=\sqrt{{30}^2+{40}^2}=50$ (N).

Do vật ở vị trí cân bằng A nên hai lực $\overrightarrow{F}$ và $\overrightarrow{F_3}$ ngược hướng và có cường độ bằng nhau

Tức là hai vectơ $\overrightarrow{AE}$ và $\overrightarrow{AD}$ là hai vectơ đối nhau

Do đó cường độ của lực $\overrightarrow{F_3}$ bằng $\left|\overrightarrow{F_3}\right|=\left|\overrightarrow{F}\right|=50\left(N\right)$ 

Vậy cường độ của lực $\overrightarrow{F_3}$ bằng 50 N.

Bài 4.12 trang 51 SBT Toán 10 Tập 1: Trên mặt phẳng, chất điểm A chịu tác dụng của ba lực $\overrightarrow{F_1},\overrightarrow{F_2},\overrightarrow{F_3}$ và ở trạng thái cân bằng. Góc giữa hai vectơ $\overrightarrow{F_1},\overrightarrow{F_2}$ bằng 60°. Tính độ lớn của $\overrightarrow{F_3}$, biết $\left|\overrightarrow{F_1}\right|=\left|\overrightarrow{F_2}\right|=2\sqrt{3}N.$ 

Lời giải:

Ta sử dụng các vectơ $\overrightarrow{AB},\overrightarrow{AC},\overrightarrow{AD}$ và $\overrightarrow{AE}$ lần lượt biểu diễn cho các lực $\overrightarrow{F_1},\overrightarrow{F_2},\overrightarrow{F_3}$ và hợp lực $\overrightarrow{F}$ của $\overrightarrow{F_1},\overrightarrow{F_2}$ (hình vẽ dưới đây).

Khi đó do $\overrightarrow{F}=\overrightarrow{F_1}+\overrightarrow{F_2}$ nên tứ giác ABEC là hình bình hành

Lại có góc giữa hai vectơ $\overrightarrow{F_1},\overrightarrow{F_2}$ bằng 60° nên $\widehat{BAC}=60°$ 

Suy ra

$$\begin{gathered} \widehat{ECA}=180°-\widehat{BAC} \\ =180°-60°=120° \end{gathered}$$ 

Áp dụng định lí Cosin cho tam giác AEC ta có:

AE² = AC² + EC² – 2.AC.EC.cos$\widehat{ECA}$ 

Hay $A{E}^2={\left(2\sqrt{3}\right)}^2+{\left(2\sqrt{3}\right)}^2-2.2\sqrt{3}.2\sqrt{3}.c\text{os120}°$ 

Þ AE² = 36

Þ AE = 6

Do đó $\left|\overrightarrow{F}\right|=6\left(N\right)$ 

Vì chất điểm A ở trạng thái cân bằng nên hai lực $\overrightarrow{F_{}}$ và $\overrightarrow{F_3}$ ngược hướng và có cường độ bằng nhau

Tức là hai vectơ $\overrightarrow{AE}$ và $\overrightarrow{AD}$ là hai vectơ đối nhau

Do đó độ lớn của lực $\overrightarrow{F_3}$ bằng $\left|\overrightarrow{F_3}\right|=\left|\overrightarrow{F}\right|=6\left(N\right)$ 

Vậy độ lớn của lực $\overrightarrow{F_3}$ bằng 6 N.

Xem thêm các bài giải SBT Toán 10 Kết nối tri thức hay, chi tiết khác:

Bài 7: Các khái niệm mở đầu

Bài 9: Tích của một vectơ với một số

Bài 10: Vectơ trong mặt phẳng tọa độ

Bài 11: Tích vô hướng của hai vectơ