Tính f(0);    f(1);    f(2);   f(3);     f(-2);     f(-10)

Phương pháp giải:

Lời giải:

$\begin{array}{rl}& f\left(0\right)=\frac{1}{2}.0+5=5\\ & f\left(2\right)=\frac{1}{2}.2+5=6\\ & f\left(3\right)=\frac{1}{2}.3+5=\frac{13}{2}\\ & f\left(-2\right)=\frac{1}{2}.\left(-2\right)+5=4\\ & f\left(-10\right)=\frac{1}{2}.\left(-10\right)+5=0\end{array}$

${\displaystyle f(1)=\frac{1}{2}.1+5={\displaystyle \frac{11}{2}}}$

$A\left({\displaystyle \frac{1}{3}};6\right),B\left({\displaystyle \frac{1}{2}};4\right),C\left(1;2\right),D\left(2;1\right),E\left(3;{\displaystyle \frac{2}{3}}\right),F\left(4;{\displaystyle \frac{1}{2}}\right)$

b) Vẽ đồ thị của hàm số $y=2x.$ 

a) Xác định hoành độ và tung độ mỗi điểm rồi biểu diễn trên mặt phẳng $Oxy.$

b) Đồ thị hàm số $y=ax\left(a\ne 0\right)$ là đường thẳng đi qua gốc tọa độ $O\left(0;0\right)$ và $M\left(1;a\right)$

Lời giải:

a) Vẽ hình 

b) Lấy $x=1\Rightarrow y=2x=2.1=2$

Nên đồ thị hàm số $y=2x$ là đường thẳng đi qua gốc tọa độ $O\left(0;0\right)$ và $C\left(1;2\right).$

Tính: $f(-2);$    $f(-1);$       $f(0);$     $f(\frac{1}{2});$    $f(1);$   $f(2);$       $f(3)$.

b) Cho hàm số $y=g(x)={\displaystyle \frac{2}{3}}x+3$.

Tính: $g(-2);$     $g(-1);$   $g(0);$     $g({\displaystyle \frac{1}{2}});$   $g(1);$      $g(2);$    $g(3)$.

c) Có nhận xét gì về giá trị của hai hàm số đã cho ở trên khi biến $x$ lấy cùng một giá trị ?

a) Tính các giá trị tương ứng của y theo các giá trị của x rồi điền vào bảng sau:

a) Vẽ trên cùng một mặt phẳng tọa độ đồ thị của hai hàm số đã cho.

b) Trong hai hàm số đã cho, hàm số nào đồng biến ? Hàm số nào nghịch biến ? Vì sao ?

Đồ thị của hàm số $y=2x$ là đường thẳng đi qua $O(0;0)$ và điểm $A(1;2)$.

+) Hàm số:  $y=-2x$

Cho $x=0\Rightarrow y=-2.0=0\Rightarrow O(0;0)$.

Cho $x=1\Rightarrow y=-2.1=-2\Rightarrow B(1;-2)$.

Đồ thị của hàm số $y=-2x$ là đường thẳng đi qua $O(0;0)$ và điểm $B(1;-2)$. 

b) Cách 1: Dùng định nghĩa

+) Xét hàm số: $y=f(x)=2x$

Với mọi $x_1,x_2\in \mathbb{R}$

Giả sử $x_1<x_2\Rightarrow 2x_1<2x_2\Rightarrow f(x_1)<f(x_2)$

Do đó hàm số $y=2x$ là hàm số đồng biến trên $\mathbb{R}$. 

+) Xét hàm số $y=g(x)=-2x$

Với mọi $x_1,x_2\in \mathbb{R}$

Giả sử  $x_1<x_2\Rightarrow -2x_1>-2x_2\Rightarrow g(x_1)>g(x_2)$

Do đó hàm số $y=-2x$ là hàm số nghịch biến trên $\mathbb{R}$.   

Cách 2:

Lập bảng giá trị cho $x$ nhận các giá trị $-2;-1;0;1;2$ ta được bảng sau:

Quan sát bảng trên ta thấy: Khi $x$ càng tăng thì giá trị của hàm số $y=2x$ càng tăng và giá trị của hàm số $y=-2x$ càng giảm. Do đó:

Hàm số $y=-2x$ nghịch biến, hàm số $y=2x$ đồng biến.

Hãy tìm hiểu và trình bày lại các bước thực hiện vẽ đồ thị đó. 

Phương pháp giải: 

+) Cách vẽ đồ thị hàm số $y=ax,(a\ne 0)$:  Cho $x=x_0\Rightarrow y_0=a{x}_0$. Đồ thị hàm số đi qua điểm O(0;0) và điểm $(x_0;y_0)$

Đồ thị hàm số $y=ax(a\ne 0)$ là đường thẳng đi qua gốc tọa độ và điểm $A(x_0;y_0)$

+) Sử dụng định lí Py-ta-go: Tam giác $\mathrm{\Delta }ABC$ vuông tại $A$ thì $A{B}^2+A{C}^2=B{C}^2$. 

Lời giải:

Cách vẽ:  

- Cho $x=1$ ta được $y=\sqrt{3}.1=\sqrt{3}$. Suy ra $A(1;\sqrt{3})$

- Cho $x=0$ ta được $y=\sqrt{3}.0=0$. Suy ra $O(0;0)$

Vẽ đường thẳng qua O, A được đồ thị hàm số $y=\sqrt{3}x.$

Các bước vẽ:

- Vẽ một hình vuông có độ dài cạnh là 1 đơn vị, có một đỉnh là O, lấy điểm $B(1;1)$. Khi đó, đường chéo OB có độ dài bằng $\sqrt{1^2+1^2}=\sqrt{2}.$

- Vẽ cung tròn tâm $O$, bán kính $OB$ , ta xác định được điểm $C$ trên tia $Ox$, và ta có $OC=\sqrt{2}.$

- Vẽ một hình chữ nhật có một đỉnh là O, cạnh CD = 1 và cạnh OC = OB = $\sqrt{2}$ ta được đường chéo $OD=\sqrt{C{D}^2+O{C}^2}=\sqrt{1+{\left(\sqrt{2}\right)}^2}=\sqrt{3}.$

- Vẽ cung tròn tâm $O$, bán kính $OD$ , ta xác định được điểm $E$ trên tia $Oy$, và ta có $OE=\sqrt{3}.$

- Vẽ hình chữ nhật có một đỉnh là O, có một cạnh bằng 1 đơn vị và một cạnh có độ dài bằng $OE=\sqrt{3}$ ta được điểm $A\left(1;\sqrt{3}\right)$ . 

- Vẽ đường thẳng đi qua gốc tọa độ O và điểm A ta được đồ thị của hàm số $y=\sqrt{3}x$ 

Phương pháp giải:

a) Lần lượt thay từng giá trị của $x$ vào biểu thức của $y$ để tính giá trị của hàm số tại điểm đó.

b) Giá trị của hàm số $y=ax+b$ lớn hơn giá trị của hàm số $y=ax$ là $b$ đơn vị khi $x$ lấy cùng một giá trị.

Lời giải:

a) 

+) Thay giá trị của $x$ vào biểu thức của hàm số $y=0,5x$, ta được:

$f(-2,5)=0,5.(-2,5)=-1,25$.

 $f(-2,25)=0,5.(-2,25)=-1,125$.

$f(-1,5)=0,5.(-1,5)=-0,75$.

$f(-1)=0,5.(-1)=-0,5$.

$f(0)=0,5.0=0$.

$f(1)=0,5.1=0,5$.

$f(1,5)=0,5.1,5=0,75$.

$f(2,2,5)=0,5.2,25=1,125$.

$f(2,5)=0,5.2,5=1,25$.

+) Thay giá trị của $x$ vào biểu thức của hàm số $y=0,5x+2$, ta được:

$f(-2,5)=0,5.(-2,5)+2=-1,25+2=0,75$.

$f(-2,25)=0,5.(-2,25)+2=-1,125+2=0,875$.

$f(-1,5)=0,5.(-1,5)+2=-0,75+2=1,25$.

$f(-1)=0,5.(-1)+2=-0,5+2=1,5$.

$f(0)=0,5.0+2=0+2=2$.

$f(1)=0,5.1+2=0,5+2=2,5$.

$f(1,5)=0,5.1,5+2=0,75+2=2,75$.

$f(2,2,5)=0,5.2,25+2=1,125+2=3,125$.

$f(2,5)=0,5.2,5+2=1,25+2=3,25$.

Vậy ta có bảng sau:

b) Khi $x$ lấy cùng một giá trị của $x$ thì giá trị của hàm số $y=0,5x+2$ lớn hơn giá trị của hàm số $y=0,5x$ là $2$ đơn vị.

Bài 7 trang 46 SGK Toán 9 Tập 1 :Cho hàm số $y=f(x)=3x$. 

Cho $x$ hai giá trị bất kì $x_1,x_2$ sao cho $x_1<x_2$ .

Hãy chứng minh $f(x_1)<f(x_2)$ rồi rút ra kết luận hàm số đã cho đồng biến trên $\mathbb{R}$.

Phương pháp giải:

+) Định nghĩa hàm số đồng biến:   Với $x_1,x_2\in \mathbb{R}$:

     Nếu $x_1<x_2$  và   $f(x_1)<f(x_2)$  thì hàm số $y=f(x)$ đồng biến trên $\mathbb{R}$.

+) Tính chất của bất đẳng thức: Với $c>0$ thì: $a<b\iff a.c<b.c$

Lời giải: 

Cách 1:

Ta có:  

$f\left(x_1\right)=3x_1$

$f\left(x_2\right)=3x_2$

Theo giả thiết, ta có:

$x_1<x_2\iff 3.x_1<3.x_2$ ( nhân cả 2 vế của bất đẳng thức với $3>0$ nên chiều bất đẳng thức không đổi)

$\iff f(x_1)<f(x_2)$ (vì $f\left(x_1\right)=3x_1;$$f\left(x_2\right)=3x_2)$

Vậy với $x_1<x_2$ ta được $f(x_1)<f(x_2)$ nên hàm số $y=3x$ đồng biến trên $\mathbb{R}$. 

Cách 2:

Vì $x_1<x_2$ nên $x_1-x_2<0$

Từ đó: $f(x_1)-f(x_2)=3x_1-3x_2=3(x_1-x_2)<0$ 

Hay $f(x_1)<f(x_2)$ 

Vậy với $x_1<x_2$ ta được $f(x_1)<f(x_2)$ nên hàm số $y=3x$ đồng biến trên $\mathbb{R}$.

Lý thuyết Bài 1: Nhắc lại và bổ sung các khái niệm về hàm số

I. Nhắc lại và bổ sung khái niệm về hàm số và đồ thị hàm số

Khái niệm hàm số

+) Nếu đại lượng $y$ phụ thuộc vào đại lượng thay đổi $x$ sao cho với mỗi giá trị của $x$, ta luôn xác định được một và chỉ một giá trị tương ứng của $y$ thì $y$ gọi là hàm số của $x$ ($x$ gọi là biến số).
Ta viết : $y=f\left(x\right)$, $y=g\left(x\right)$, …

+) Giá trị của hàm số $f\left(x\right)$ tại điểm $x_0$ kí hiệu là $f\left(x_0\right)$.

+) Tập xác định $D$ của hàm số $f\left(x\right)$ là tập hợp các giá trị của $x$ sao cho $f\left(x\right)$ có nghĩa.

+) Khi $x$ thay đổi mà $y$ luôn nhận một giá trị không đổi thì hàm số $y=f\left(x\right)$ gọi là hàm hằng.

Đồ thị của hàm số

Đồ thị của hàm số $y=f\left(x\right)$ là tập hợp tất cả các điểm $M\left(x;y\right)$ trong mặt phẳng tọa độ $Oxy$ sao cho $x,y$ thỏa mãn hệ thức $y=f\left(x\right)$

II. Các dạng toán thường gặp