Cho hàm số y = f(x) xác định trên tập D. Khi đó:

• Hàm số đồng biến trên D ⇔ ∀ x1, x2 ∈ D : x1 < x2 ⇒ f(x1) < f(x2)

• Hàm số nghịch biến trên D ⇔ ∀ x1, x2 ∈ D : x1 < x2 ⇒ f(x1) > f(x2)

Chọn đáp án A.

Thay x = -1 vào hàm số ta được: f(x) = 3 -(-1)2 = 2 .

Chọn đáp án B.

Thay y = 3 vào hàm số ta được: f(3) = (3)3 - 3.3 - 2 = 16 ⇒ 2.f(3) = 2.16 = 32.

Chọn đáp án C.

Thay x = -2 vào hàm số f(x) = -2x3 ta được f(-2) = -2.(-2) = 16 .

Thay x = -1 vào hàm số h(x) = 10 - 3x ta được h(-1) = 10 - 3.(-1) = 13.

Nên f(-2) > h(-1) .

Chọn đáp án D.

Ta có:

Vậy có 2 giá trị của thỏa mãn.

Chọn đáp án C.

Với hai số thực bất kì x1; x2 . Giả sử x1 < x2 , suy ra:

2x1 < 2x2 ⇒ 2x1 + 2 < 2x2 + 2

Hay f(x1) < f(x2)(f(x1) = 2x1 + 2; f(x2) = 2x2 + 2)

Do đó, hàm số đã cho đồng biến trên R,

Chọn đáp án A.

Với hai số thực bất kì x1; x2 . Giả sử x1 < x2 , suy ra:

-3x1 > -3x2 ⇒ -3x1 + 100 > -3x2 + 100

Hay f(x1) > f(x2); (f(x1) = -3x1 + 100; f(x2) = -3x2 + 100)

Do đó, hàm số đã cho nghịch biến trên R,

Chọn đáp án A.

Ta có: x2 ≥ 0 ∀ x ⇒ x2 + 1 > 0 ∀ x

Do đó, hàm số  luôn xác định với mọi giá trị của x.

Chọn đáp án B.

Ta có giá trị tương ứng của hàm số khi x= 0 là:

y = f(0) = 2.0 +100 = 100

Chọn đáp án C.

Xét hàm số y =2. Với mọi giá trị của x nhưng y luôn nhận giá trị là 2 nên hàm số y =2 là hàm hằng.

Chọn đáp án C.

Thay x = a vào hai hàm số ta được f(a) = 2a2, g(a) = 4a – 2

Khi đó:

Vậy có một giá trị của a thỏa mãn yêu cầu đề bài.

Đáp án cần chọn là: B

Lần lượt thay tọa độ các điểm M, N, P, Q vào hàm số f(x) = 5,5x ta được:

+) Với M (0; 1), thay x = 0; y = 1 ta được 1 = 5,5.0 ⇔ 1 = 0 (Vô lý) nên M ∉ (C)

+) Với N (2; 11), thay x = 2; y = 11 ta được 2.5,5 = 11 ⇔ 11 = 11 (luôn đúng) nên N ∈ (C)

+ Với P (−2; 11), thay x = −2; y = 11 ta được 11 = 5,5.(−2) ⇔ 11 = −11 (vô lý) nên P ∉ (C)

+) Với Q (−2; 12), thay x = −2; y = 12 ta được 12 = 5,5.(−2) ⇔  12 = −11 (vô lý) nên Q ∉ (C)

Đáp án cần chọn là: B

Lần lượt thay tọa độ các điểm M, N, P, Q vào hàm số f(x) = 3x – 2 ta được:

+) Với M (0; 1); thay x = 0; y = 1 ta được 1 = 3.0 – 2 ⇔ 1 = −2 (vô lý) nên M ∉ (C)

+) Với N (2; 3), thay x =2; y = 3 ta được 3 = 3.2 – 2 ⇔ 3 = 4 (vô lý) nên N ∉ (C)

+) Với P (−2; −8), thay x = −2; y = −8 ta được −8 = 3. (−2) – 2 ⇔ −8 = −8 (luôn đúng) nên P ∈ (C)

+ ) Với Q (−2; 0), thay x = −2; y = 0 ta được 0 = 3. (−2) – 2 ⇔ 0 = −8 (vô lý) nên Q ∉ (C)

Đáp án cần chọn là: C

Lần lượt thay tọa độ các điểm M, O, P, Q, A vào hàm số  ta được:

Vậy có bốn điểm thuộc đồ thị (C) trong số các điểm đã cho.

Đáp án cần chọn là: A

Lần lượt thay tọa độ các điểm M, O, P, Q, A vào hàm số f(x) = 3x ta được:

+) Với M (1; 1), thay x = 1; y = 1 ta được 1 = 3.1 ⇔ 1 = 3 (vô lý) nên M ∉ (C)

+) Với O (0; 0), thay x = 0; y = 0 ta được 0 = 3.0 ⇔ 0 = 0 (luôn đúng) nên O ∈ (C)

+) Với P (−1; −3), thay x = −1; y = −3 ta được −3 = 3.(−1) ⇔ −3 = −3 (luôn đúng) nên P  (C)

+) Với Q (3; 9), thay x = 3; y = 9 ta được 9 = 3.3 ⇔ 9 = 9 (luôn đúng) nên Q ∈ (C)

+) Với M (−2; 6), thay x = −2; y = 6 ta được 6 = 3.(−2) ⇔ 6 = −6 (vô lý) nên A ∉ (C)

Vậy có ba điểm thuộc đồ thị (C) trong số các điểm đã cho.

Đáp án cần chọn là: B

II. Bài tập tự luận có lời giải

Câu 1:

a) Cho hàm số y = f(x) = 2/3

Tính: f(−2); f(−1); f(0); f(12); f(1); f(2); f(3)f(−2); f(−1); f(0); f(12); f(1); f(2); f(3).

b) Cho hàm số 

Tính: g(−2); g(−1); g(0); g(12); g(1); g(2); g(3)g(−2); g(−1); g(0); g(12); g(1); g(2); g(3).

c) Có nhận xét gì về giá trị của hai hàm số đã cho ở trên khi biến xx lấy cùng một giá trị?

Lời giải:

a) Thay các giá trị vào hàm số . Ta có

b) Thay các giá trị vào hàm số  Ta có

c) Khi x lấy cùng một giá trị thì giá trị của g(x) lớn hơn giá trị của f(x) là 3 đơn vị.

III. Bài tập vận dụng

Câu 1: Xác định hàm số f(x) biết rằng f(x + 1) = x2 - 2x + 3

Câu 2: Chứng minh công thức tính khoảng cách d giữa hai điểm A(x1; y1) và B(x2; y2) là d = 

B. Lý thuyết Nhắc lại và bổ sung các khái niệm về hàm số

1. Khái niệm hàm số

• Nếu đại lượng y phụ thuộc vào một đại lượng x thay đổi sao cho mỗi giá trị của x, ta luôn xác định được chỉ một giá trị tương ứng của y thì y được gọi là hàm số của x và x gọi là biến số

• Hàm số có thể được cho bằng bảng hoặc bằng công thức, ...

Ví dụ 1.

+) y là hàm số của x được cho dưới dạng bảng:

+) y là hàm số của x được cho dưới dạng công thức: $y=\frac{1}{2}x$; y = x + 2; y = 5x.

• Hàm số thường được ký hiệu bởi những chữ f, g, h, ... chẳng hạn khi y là hàm số của biến số x, ta viết y = f(x) hoặc y = g(x), ….

• f(a) là giá trị của hàm số y = f(x) tại x = a. Khi hàm số y được cho bởi công thức y = f(x), muốn tính giá trị f(a) của hàm số tại x = a, ta thay x = a vào biểu thức f(x) rồi thực hiện các phép tính trong biểu thức.

Ví dụ 2. Ta có hàm số y = f(x) = 2x + 1.

Khi đó, f(2) = 2 . 2 + 1 = 5.

• Khi x thay đổi mà y luôn nhận một giá trị không đổi thì y được gọi là một hàm hằng.

Ví dụ 3. Ta có y = f(x) = 3.

Khi đó với giá trị nào của x thì y = 3.

Vậy y là hàm hằng.

2. Đồ thị của hàm số

Tập hợp các điểm biểu diễn các cặp giá trị tương ứng (x; f(x)) trên mặt phẳng tọa độ được gọi là đồ thị của hàm số y = f(x).

Ví dụ 4. Cho đồ thị của hàm số y = f(x) = 2x.

Các cặp giá trị tương ứng trên mặt phẳng tọa độ là O(0; 0); A(1; 2).

3. Hàm số đồng biến, nghịch biến

Cho hàm số y = f(x) xác định với mọi giá trị của x thuộc $ℝ$.

• Nếu giá trị của biến x tăng lên mà giá trị của f(x) tương ứng cũng tăng lên thì hàm số y = f(x) được gọi là hàm số đồng biến trên $ℝ$ (gọi tắt là hàm số đồng biến).

• Nếu giá trị của biến x tăng lên mà giá trị của f(x) tương ứng giảm đi thì hàm số y = f(x) được gọi là hàm số nghịch biến trên R (gọi tắt là hàm số nghịch biến).

Nói cách khác, cho hàm số y = f(x) xác định trên tập số thực R. Với $x_1,x_2\in ℝ$ ta có:

+ Nếu x₁ < x₂ mà f(x₁) < f(x₂) thì hàm số đồng biến.

+ Nếu x₁ < x₂ mà f(x₁) > f(x₂) thì hàm số nghịch biến.

Ví dụ 5. Cho hàm số y = x – 5, xác định với $\forall x\in ℝ$.

Ta có: x₁ < x₂ $\iff$ x₁ – 5 < x₂ – 5.

Hay f(x₁) < f(x₂) nên hàm số y = x – 5 đồng biến trên $ℝ$.