a) 

$\begin{array}{rl}& \sqrt{0,16.0,64.225}\\ & =\sqrt{0,16}.\sqrt{0,64}.\sqrt{225}\\ & =0,4.0,8.15=4,8\end{array}$

b)

$\begin{array}{rl}& \sqrt{250.360}\\ & =\sqrt{25.36.100}\\ & =\sqrt{25}.\sqrt{36}.\sqrt{100}\\ & =5.6.10=300\end{array}$

Trả lời câu hỏi 3 trang 14 SGK Toán 9 Tập 1: Tính

a) $\sqrt{3}.\sqrt{75}$

b) $\sqrt{20}.\sqrt{72}.\sqrt{4,9}$

a) $\sqrt{3}.\sqrt{75}=\sqrt{3.75}=\sqrt{225}=15$

b)

$\begin{array}{rl}& \sqrt{20}.\sqrt{72}.\sqrt{4,9}\\ & =\sqrt{\mathrm{20.72.4},9}=\sqrt{\mathrm{2.72.10.4},9}\\ & =\sqrt{144.49}=\sqrt{144}.\sqrt{49}=12.7=84\end{array}$

a) Ta có $\sqrt{3a^3}.\sqrt{12a}$$=\sqrt{3a^3.12a}=\sqrt{36a^4}=\sqrt{(6a^2{)}^2}$ 

$=\left|6a^2\right|=6a^2$ (do $a^2\ge 0)$

b) Ta có  $\sqrt{2a.32a{b}^2}=\sqrt{64a^2{b}^2}=\sqrt{(8ab{)}^2}$$=\left|8ab\right|=8ab$ (do $a\ge 0,b\ge 0)$

Bài tập ( trang 14, 15, 16 SGK Toán 9)

Bài 17 trang 14 SGK Toán 9 Tập 1 :Áp dụng quy tắc khai phương một tích, hãy tính:

a) $\sqrt{0,09.64}$;                         b) $\sqrt{2^4.(-7{)}^2}$;

c) $\sqrt{12,1.360}$;                        d) $\sqrt{2^2{.3}^4}$.

Phương pháp giải:

Sử dụng các công thức:

         +)  $\sqrt{a^2}=\left|a\right|$.

         +) Nếu $a\ge 0$  thì $\left|a\right|=a$.

Phương pháp giải:

Sử dụng các công thức:

Sử dụng các công thức:

+)$\sqrt{a.b}=\sqrt{a}.\sqrt{b}$,   với $a,b\ge 0$.

+) $\sqrt{a^2}=|a|$

+) $\sqrt{a^2}=a$ ,  nếu $a\ge 0$.

+) $\sqrt{a^2}=-a$ ,   nếu $a<0$.

Lời giải:

a) Ta có:

$\sqrt{0,36a^2}=\sqrt{0,36}.\sqrt{a^2}$ 

                 $=\sqrt{0,6^2}.\sqrt{a^2}$

                 $=0,6.│a│$ (Vì $a<0$ nên $│a│=-a)$.

                 $=0,6.(-a)=-0,6a$

b) 

Vì $a^2$ ≥ 0   nên  $\left|a^2\right|=a^2$.

Vì $a\ge 3$   hay  $3\le a$   nên   $3-a\le 0$.

       $\Rightarrow │3-a│=-(3-a)=-3+a=a-3$.

Ta có: $\sqrt{a^4.(3-a{)}^2}=\sqrt{a^4}$.$\sqrt{(3-a{)}^2}$ 

                                         $=\sqrt{(a^2{)}^2}.\sqrt{(3-a{)}^2}$

                                         $=\left|a^2\right|.\left|3-a\right|$.

                                         $=a^2.(a-3)=a^3-3a^2$.

c) 

Vì $a>1$   hay   $1<a$    nên   $1-a<0$.

$\Rightarrow \left|1-a\right|=-(1-a)=-1+a=a-1$.

 Ta có: $\sqrt{27.48(1-a{)}^2}=\sqrt{27.(3.16).(1-a{)}^2}$

                                            $=\sqrt{(27.3).16.(1-a{)}^2}$

                                            $=\sqrt{\mathrm{81.16.}(1-a{)}^2}$ 

                                            $=\sqrt{81}.\sqrt{16}.\sqrt{{(1-a)}^2}$

                                            $=\sqrt{9^2}.\sqrt{4^2}.\sqrt{(1-a{)}^2}$

                                            $=\mathrm{9.4.}|1-a|$

                                             $=36.|1-a|$

                                             $=36.(a-1)=36a-36$.

d) 

Vì $a^2\ge 0$, với mọi $a$   nên $\left|a^2\right|=a^2$.

 Vì $a>b$ nên $a-b>0$. Do đó  $\left|a-b\right|=a-b$.

Ta có: ${\displaystyle \frac{1}{a-b}}$ . $\sqrt{a^4.(a-b{)}^2}$

$={\displaystyle \frac{1}{a-b}}$ . $\sqrt{a^4}.\sqrt{(a-b{)}^2}$

$={\displaystyle \frac{1}{a-b}}.\left|a^2\right|.\left|a-b\right|$

$={\displaystyle \frac{1}{a-b}}.a^2.(a-b)$

$={\displaystyle \frac{1}{a-b}}.(a-b).a^2$

$=a^2$

Bài 20 trang 15 SGK Toán 9 Tập 1: Rút gọn các biểu thức sau:

a) $\sqrt{{\displaystyle \frac{2a}{3}}}$.$\sqrt{{\displaystyle \frac{3a}{8}}}$ với $a\ge 0$;

b) $\sqrt{13a}.\sqrt{{\displaystyle \frac{52}{a}}}$ với $a>0$;

c) $\sqrt{5a}.\sqrt{45a}-3a$ với $a\ge 0$;

d) $(3-a{)}^2-\sqrt{0,2}.\sqrt{180a^2}$.

b) Ta có:

$\sqrt{13a}.\sqrt{{\displaystyle \frac{52}{a}}}=\sqrt{13a.{\displaystyle \frac{52}{a}}}=\sqrt{{\displaystyle \frac{13a.52}{a}}}$

$=\sqrt{{\displaystyle \frac{13a.(13.4)}{a}}}=\sqrt{{\displaystyle \frac{(13.13).4.a}{a}}}$

 $=\sqrt{{13}^2.4}=\sqrt{{13}^2}.\sqrt{4}$

$=\sqrt{{13}^2}.\sqrt{2^2}=13.2$ 

 $=26$    (vì $a>0$)

c)

Do $a\ge 0$ nên bài toán luôn được xác định.

Ta có: $\sqrt{5a}.\sqrt{45a}-3a=\sqrt{5a.45a}-3a$

                                        $=\sqrt{(5.a).(\mathrm{5.9.}a)}-3a$

                                        $=\sqrt{(5.5).9.(a.a)}-3a$

                                        $=\sqrt{5^2{.3}^2.a^2}-3a$

                                        $=\sqrt{5^2}.\sqrt{3^2}.\sqrt{a^2}-3a$

                                        $=\mathrm{5.3.}\left|a\right|-3a=15\left|a\right|-3a.$

                                        $=15a-3a=(15-3)a=12a.$

(vì $a\ge 0$   nên  $\left|a\right|=a).$

d) Ta có:

$(3-a{)}^2-\sqrt{0,2}.\sqrt{180a^2}=(3-a{)}^2-\sqrt{0,2.180a^2}$ 

                                             $=(3-a{)}^2-\sqrt{0,2.(10.18).a^2}$

                                             $=(3-a{)}^2-\sqrt{(0,2.10).18.a^2}$

                                             $=(3-a{)}^2-\sqrt{\mathrm{2.18.}{a}^2}$

                                             $=(3-a{)}^2-\sqrt{36a^2}$

                                             $=(3-a{)}^2-\sqrt{36}.\sqrt{a^2}$

                                            $=(3-a{)}^2-\sqrt{6^2}.\sqrt{a^2}$

                                             $=(3-a{)}^2-6.\left|a\right|$.

+) $TH1$: Nếu $a\ge 0\Rightarrow |a|=a$.

Do đó: $(3-a{)}^2-6\left|a\right|=(3-a{)}^2-6a$

                                        $=(3^2-\mathrm{2.3.}a+a^2)-6a$

                                        $=(9-6a+a^2)-6a$

                                        $=9-6a+a^2-6a$

                                        $=a^2+(-6a-6a)+9$

                                        $=a^2+(-12a)+9$

                                        $=a^2-12a+9$.

+) $TH2$: Nếu $a<0\Rightarrow |a|=-a$.

Do đó: $(3-a{)}^2-6\left|a\right|=(3-a{)}^2-6.(-a)$

                                        $=(3^2-\mathrm{2.3.}a+a^2)-(-6a)$

                                        $=(9-6a+a^2)+6a$

                                        $=9-6a+a^2+6a$

                                        $=a^2+(-6a+6a)+9$

                                        $=a^2+9$.

Vậy $(3-a{)}^2-\sqrt{0,2}.\sqrt{180a^2}=a^2-12a+9$,   nếu $a\ge 0$.

        $(3-a{)}^2-\sqrt{0,2}.\sqrt{180a^2}=a^2+9$,   nếu   $a<0$. 

Bài 21 trang 15 SGK Toán 9 Tập 1: Khai phương tích $\mathrm{12.30.40}$ được:

$(A)1200$;         $(B)120$;           $(C)12$;           $(D)240$

Hãy chọn kết quả đúng.

                    $=\sqrt{3^2}.\sqrt{4^2}.\sqrt{{10}^2}$

                    $=\mathrm{3.4.10}=120$.

Vậy đáp án đúng là $(B).120$

Bài 22 trang 15 SGK Toán 9 Tập 1: Biến đổi các biểu thức dưới dấu căn thành dạng tích rồi tính:

a) $\sqrt{{13}^2-{12}^2}$;                    b) $\sqrt{{17}^2-8^2}$;

c) $\sqrt{{117}^2-{108}^2}$;                 d) $\sqrt{{313}^2-{312}^2}$.

                      $=\sqrt{5^2}=|5|=5$.

b) Ta có:

$\sqrt{{17}^2-8^2}=\sqrt{(17+8)(17-8)}$

                    $=\sqrt{25.9}=\sqrt{25}.\sqrt{9}$

                    $=\sqrt{5^2}.\sqrt{3^2}=|5|.|3|$.

                    $=5.3=15$.

c) Ta có:

$\sqrt{{117}^2-{108}^2}=\sqrt{(117-108)(117+108)}$

                          $=\sqrt{9.225}$ $=\sqrt{9}.\sqrt{225}$

                          $=\sqrt{3^2}.\sqrt{{15}^2}=|3|.|15|$

                          $=3.15=45$.

d) Ta có:

$\sqrt{{313}^2-{312}^2}=\sqrt{(313-312)(313+312)}$

                          $=\sqrt{1.625}=\sqrt{625}$

                          $=\sqrt{{25}^2}=|25|=25$.

Bài 23 trang 15 SGK Toán 9 Tập 1: Chứng minh.

a) $(2-\sqrt{3})(2+\sqrt{3})=1$;

b) $(\sqrt{2006}-\sqrt{2005})$ và $(\sqrt{2006}+\sqrt{2005})$ là hai số nghịch đảo của nhau.

Ta tìm tích của hai số $(\sqrt{2006}-\sqrt{2005})$ và $(\sqrt{2006}+\sqrt{2005})$

Ta có:

$(\sqrt{2006}+\sqrt{2005}).(\sqrt{2006}-\sqrt{2005})$

= $(\sqrt{2006}{)}^2-(\sqrt{2005}{)}^2$

$=2006-2005=1$

Do đó  $(\sqrt{2006}+\sqrt{2005}).(\sqrt{2006}-\sqrt{2005})=1$

$\iff \sqrt{2006}-\sqrt{2005}={\displaystyle \frac{1}{\sqrt{2006}+\sqrt{2005}}}$

Vậy hai số trên là nghịch đảo của nhau.

Bài 24 trang 15 SGK Toán 9 Tập 1:Rút gọn và tìm giá trị (làm tròn đến chữ số thập phân thứ $3$) của các căn thức sau:

$a)$ $\sqrt{4(1+6x+9x^2{)}^2}$ tại $x=-\sqrt{2}$; 

$b)$ $\sqrt{9a^2(b^2+4-4b)}$ tại $a=-2;b=-\sqrt{3}$.

a) Ta có: 

$\sqrt{4(1+6x+9x^2{)}^2}$ $=\sqrt{4}.\sqrt{{(1+6x+9x^2)}^2}$

                                   $=\sqrt{4}.\sqrt{(1+2.3x+3^2.x^2{)}^2}$

                                   $=\sqrt{2^2}.\sqrt{{\left[1^2+2.3x+(3x{)}^2\right]}^2}$

                                   $=2.\sqrt{{\left[{\left(1+3x\right)}^2\right]}^2}$

                                   $=2.\left|(1+3x{)}^2\right|$

                                   $=2(1+3x{)}^2$.

 (Vì  $(1+3x{)}^2>0$ với mọi $x$  nên $\left|(1+3x{)}^2\right|=(1+3x{)}^2$)

Thay $x=-\sqrt{2}$ vào biểu thức rút gọn trên, ta được: 

                                $2{\left[1+3.(-\sqrt{2})\right]}^2=2(1-3\sqrt{2}{)}^2$.

Bấm máy tính, ta được: $2{\left(1-3\sqrt{2}\right)}^2\approx 21,029$.

b) Ta có:

$\sqrt{9a^2(b^2+4-4b)}=\sqrt{3^2.a^2.(b^2-4b+4)}$

                                  $=\sqrt{(3a{)}^2.(b^2-2.b.2+2^2)}$

                                  $=\sqrt{(3a{)}^2}.\sqrt{(b-2{)}^2}$

                                  $=\left|3a\right|.\left|b-2\right|$

Thay $a=-2$ và $b=-\sqrt{3}$ vào biểu thức rút gọn trên, ta được:

$\left|3.(-2)\right|.\left|-\sqrt{3}-2\right|=\left|-6\right|.\left|-(\sqrt{3}+2)\right|$

                                     $=6.(\sqrt{3}+2)=6\sqrt{3}+12$.

Bấm máy tính, ta được: $6\sqrt{3}+12\approx 22,392$. 

Bài 25 trang 16 SGK Toán 9 Tập 1: Tìm $x$ biết:

a) $\sqrt{16x}=8$;                        b) $\sqrt{4x}=\sqrt{5}$;

c) $\sqrt{9(x-1)}=21$;             d) $\sqrt{4(1-x{)}^2}-6=0$.

Phương pháp giải:

+) Sử dụng các công thức sau:  $(\sqrt{a}{)}^2=a$,   với $a\ge 0$.

+) Sử dụng định lí so sánh hai căn bậc hai số học: 

$a<b\iff \sqrt{a}<\sqrt{b}$,  với $a,b\ge 0$.

+) Sử dụng tính chất của bất đẳng thức:  

$a<b\iff a.c>b.c$,   với $c<0$.