a) $\sqrt{10}.\sqrt{40};$

b) $\sqrt{5}.\sqrt{45};$

c) $\sqrt{52}.\sqrt{13};$

d) $\sqrt{2}.\sqrt{162}.$

Phương pháp giải:

Sử dụng các quy tắc khai phương một tích và quy tắc nhân các căn bậc hai.

Nếu $A\ge 0,B\ge 0$ thì $\sqrt{A.B}=\sqrt{A}.\sqrt{B}$ 

Lời giải:

a)

$\sqrt{10}.\sqrt{40}=\sqrt{10.40}=\sqrt{400}=20$

 b)

$\sqrt{5}.\sqrt{45}=\sqrt{5.45}=\sqrt{225}=15$

 c)

$=\sqrt{{\left(2.13\right)}^2}=2.13=26$

$\sqrt{52}.\sqrt{13}=\sqrt{52.13}=\sqrt{\mathrm{4.13.13}}$

 d)

$\sqrt{2.162}=\sqrt{\mathrm{2.2.81}}$

$=\sqrt{{\left(2.9\right)}^2}=2.9=18$

a) $\sqrt{45.80}$;

b) $\sqrt{75.48}$;

c) $\sqrt{90.6,4}$;

d) $\sqrt{2,5.14,4}$.

Phương pháp giải:

Sử dụng các quy tắc khai phương một tích và quy tắc nhân các căn bậc hai.

Nếu $A\ge 0,B\ge 0$ thì $\sqrt{A.B}=\sqrt{A}.\sqrt{B}$ 

Lời giải:

a)

$\sqrt{45.80}=\sqrt{\mathrm{9.5.5.16}}$

$=\sqrt{9}.\sqrt{5^2}.\sqrt{16}=\mathrm{3.4.5}=60$

 b)

$\sqrt{75.48}=\sqrt{\mathrm{25.3.3.16}}$

$=\sqrt{25}.\sqrt{3^2}.\sqrt{16}=\mathrm{5.3.4}=60$

 c)

$\sqrt{90.6,4}=\sqrt{\mathrm{9.10.6},4}=\sqrt{9.64}$

$=\sqrt{9}.\sqrt{64}=3.8=24$ 

 d)

$\sqrt{2,5.14,4}=\sqrt{25.1,44}$

$=\sqrt{25}.\sqrt{1,44}=5.1,2=6$.

Bài 25 trang 9 SBT Toán 9 tập 1: Rút gọn rồi tính:

a) $\sqrt{6,8^2-3,2^2}$;

b) $\sqrt{21,8^2-18,2^2}$;

c) $\sqrt{117,5^2-26,5^2-1440}$;

d) $\sqrt{146,5^2-109,5^2+27.256}$.

Phương pháp giải:

Áp dụng hằng đẳng thức:

$A^2-B^2=(A+B).(A-B).$

Lời giải:

a)

$\sqrt{6,8^2-3,2^2}$

$=\sqrt{\left(6,8+3,2\right)\left(6,8-3,2\right)}$

$=\sqrt{10.3,6}=\sqrt{36}=6$

b)

$\sqrt{21,8^2-18,2^2}$

$=\sqrt{\left(21,8+18,2\right)\left(21,8-18,2\right)}$

$\begin{array}{l}=\sqrt{40.3,6}=\sqrt{4.36}\\ =\sqrt{4}.\sqrt{36}=2.6=12\end{array}$

 c)

$\sqrt{117,5^2-26,5^2-1440}$

$=\sqrt{\left(117,5+26,5\right)\left(117,5-26,5\right)-1440}$

$=\sqrt{144.91-144.10}=\sqrt{144.\left(91-10\right)}$

$=\sqrt{144.81}=\sqrt{144}.\sqrt{81}=12.9=108$

 d)

$\sqrt{146,5^2-109,5^2+27.256}$

$=\sqrt{\left(146,5+109,5\right)\left(146,5-109,5\right)+27.256}$

$=\sqrt{256.37+27.256}$
$=\sqrt{256.(37+27)}$

$=\sqrt{256.64}$
$=\sqrt{256}.\sqrt{64}$

$=16.8=128$ 

a) $\sqrt{9-\sqrt{17}}.\sqrt{9+\sqrt{17}}=8$

b) $2\sqrt{2}\left(\sqrt{3}-2\right)$$+{\left(1+2\sqrt{2}\right)}^2-2\sqrt{6}=9$

Phương pháp giải:

Áp dụng: 

Quy tắc nhân các căn bậc hai:

Muốn nhân các căn bậc hai của số không âm, ta có thể nhân các số dưới dấu căn với nhau rồi khai phương kết quả đó, hay $\sqrt{A}.\sqrt{B}=\sqrt{A.B}$ với $A\ge 0$; $B\ge 0$.

Lời giải:

a)

Ta có: 

$\begin{array}{l}\sqrt{9-\sqrt{17}}.\sqrt{9+\sqrt{17}}\\ =\sqrt{\left(9-\sqrt{17}\right)\left(9+\sqrt{17}\right)}\end{array}$

$=\sqrt{9^2-(\sqrt{17}{)}^2}=\sqrt{81-17}$$=\sqrt{64}=8$

Vế trái bằng vế phải nên đẳng thức được chứng minh.

 b)

Ta có:

$2\sqrt{2}\left(\sqrt{3}-2\right)+{\left(1+2\sqrt{2}\right)}^2-2\sqrt{6}$

$=2\sqrt{6}-4\sqrt{2}+1+4\sqrt{2}+8-2\sqrt{6}$

= 1 + 8 = 9

Vế trái bằng vế phải nên đẳng thức được chứng minh.

a) ${\displaystyle \frac{\sqrt{6}+\sqrt{14}}{2\sqrt{3}+\sqrt{28}};}$

b) ${\displaystyle \frac{\sqrt{2}+\sqrt{3}+\sqrt{6}+\sqrt{8}+\sqrt{16}}{\sqrt{2}+\sqrt{3}+\sqrt{4}}.}$

Phương pháp giải:

Sử dụng các quy tắc khai phương một tích và quy tắc nhân các căn bậc hai.

Nếu $A\ge 0,B\ge 0$ thì $\sqrt{A.B}=\sqrt{A}.\sqrt{B}$

Nếu $A\ge 0,B\ge 0,C\ge 0$ thì 

$\sqrt{AC}+\sqrt{BC}=\sqrt{A}.\sqrt{C}+\sqrt{B}.\sqrt{C}$

$=\sqrt{C}(\sqrt{A}+\sqrt{B})$. 

Lời giải:

a)

${\displaystyle \begin{array}{rl}& \frac{\sqrt{6}+\sqrt{14}}{2\sqrt{3}+\sqrt{28}}=\frac{\sqrt{2.3}+\sqrt{2.7}}{2\sqrt{3}+\sqrt{4}.\sqrt{7}}\\ & =\frac{\sqrt{2}.\sqrt{3}+\sqrt{2}.\sqrt{7}}{2\sqrt{3}+2\sqrt{7}}\\ & =\frac{\sqrt{2}\left(\sqrt{3}+\sqrt{7}\right)}{2\left(\sqrt{3}+\sqrt{7}\right)}=\frac{\sqrt{2}}{2}\end{array}}$

 b)

${\displaystyle \begin{array}{rl}& \frac{\sqrt{2}+\sqrt{3}+\sqrt{6}+\sqrt{8}+\sqrt{16}}{\sqrt{2}+\sqrt{3}+\sqrt{4}}\\ & =\frac{\sqrt{2}+\sqrt{3}+\sqrt{6}+\sqrt{8}+4}{\sqrt{2}+\sqrt{3}+\sqrt{4}}\end{array}}$

${\displaystyle =\frac{\sqrt{2}+\sqrt{3}+2+2+\sqrt{6}+\sqrt{8}}{\sqrt{2}+\sqrt{3}+\sqrt{4}}}$

${\displaystyle =\frac{\sqrt{2}+\sqrt{3}+\sqrt{4}+\sqrt{4}+\sqrt{6}+\sqrt{8}}{\sqrt{2}+\sqrt{3}+\sqrt{4}}}$

${\displaystyle =\frac{\left(\sqrt{2}+\sqrt{3}+\sqrt{4}\right)+\sqrt{2}\left(\sqrt{2}+\sqrt{3}+\sqrt{4}\right)}{\sqrt{2}+\sqrt{3}+\sqrt{4}}}$

${\displaystyle =\frac{\left(\sqrt{2}+\sqrt{3}+\sqrt{4}\right)\left(1+\sqrt{2}\right)}{\sqrt{2}+\sqrt{3}+\sqrt{4}}}$$=1+\sqrt{2}$ 

a) $\sqrt{2}+\sqrt{3}$ và $\sqrt{10}$;

b) $\sqrt{3}+2$ và $\sqrt{2}+\sqrt{6}$;

c) 16 và $\sqrt{15}.\sqrt{17}$;

d) 8 và $\sqrt{15}+\sqrt{17}$. 

Phương pháp giải:

Áp dụng tính chất: Với $a>0,b>0$ và $a^2<b^2$ thì $a<b$

Để chứng minh $a<b$ ( với $a>0,b>0$) ta chứng minh $a^2<b^2$.

Chú ý: ${\left(\sqrt{A}\right)}^2=A$ ( với $A>0$).

Áp dụng hằng đẳng thức:

$(a+b{)}^2=a^2+2ab+b^2$

Lời giải:

a)

Ta có:

$\begin{array}{rl}& {\left(\sqrt{2}+\sqrt{3}\right)}^2=2+2\sqrt{6}+3\\ & =5+2\sqrt{6}\end{array}$

Và ${\left(\sqrt{10}\right)}^2=10=5+5$

So sánh $2\sqrt{6}$ và $5$:

Ta có: ${\left(2\sqrt{6}\right)}^2=2^2.{\left(\sqrt{6}\right)}^2=4.6=24$

$5^2=25$

Vì $24<25$$\Rightarrow {\left(2\sqrt{6}\right)}^2<5^2$

$\Rightarrow 2\sqrt{6}<5$

$\begin{array}{rl}& \Rightarrow 5+2\sqrt{6}<5+5\\ & \Rightarrow {\left(\sqrt{2}+\sqrt{3}\right)}^2<{\left(\sqrt{10}\right)}^2\\ & \Rightarrow \sqrt{2}+\sqrt{3}<\sqrt{10}\end{array}$

 b)

Ta có:

${\left(\sqrt{3}+2\right)}^2$$=3+4\sqrt{3}+4=7+4\sqrt{3}$

$\begin{array}{rl}& {\left(\sqrt{2}+\sqrt{6}\right)}^2=2+2\sqrt{12}+6\\ & =8+2\sqrt{4.3}=8+2.\sqrt{4}.\sqrt{3}\\ & =8+4\sqrt{3}\end{array}$

Vì $7+4\sqrt{3}<8+4\sqrt{3}$ nên ${\left(\sqrt{3}+2\right)}^2<{\left(\sqrt{2}+\sqrt{6}\right)}^2$

Vậy $\sqrt{3}+2$ < $\sqrt{2}+\sqrt{6}$

 c)

Ta có:

$\begin{array}{rl}& \sqrt{15}.\sqrt{17}=\sqrt{16-1}.\sqrt{16+1}\\ & =\sqrt{(16-1)(16+1)}=\sqrt{{16}^2-1}\end{array}$

Và $16=\sqrt{{16}^2}$

Vì $\sqrt{{16}^2-1}<\sqrt{{16}^2}$ nên $16>\sqrt{15}.\sqrt{17}$

Vậy $16>\sqrt{15}.\sqrt{17}$.

 d)

Ta có: 

$\begin{array}{rl}& {\left(\sqrt{15}+\sqrt{17}\right)}^2=15+2\sqrt{15.17}+17\\ & =32+2\sqrt{15.17}\end{array}$

Và $8^2=64=32+32$

So sánh $16$ và $\sqrt{15.17}$

Ta có: 

$\begin{array}{rl}& \sqrt{15.17}=\sqrt{(16-1)(16+1)}\\ & =\sqrt{{16}^2-1}<\sqrt{{16}^2}\end{array}$

Hay $16>\sqrt{15.17}$

Vì $16>\sqrt{15.17}$ nên $32>2\sqrt{15.17}$

Suy ra:

$\begin{array}{rl}& 64>32+2.\sqrt{15.17}\\ & \Rightarrow 8^2>{\left(\sqrt{15}+\sqrt{17}\right)}^2\end{array}$

Vậy $8>\sqrt{15}+\sqrt{17}$. 

$A=\sqrt{x+2}.\sqrt{x-3}$ và $B=\sqrt{(x+2)(x-3)}.$

a) Tìm $x$ để $A$ có nghĩa. Tìm $x$ để $B$ có nghĩa.

b) Với giá trị nào của $x$ thì $A=B$ ? 

Phương pháp giải:

Áp dụng:

- Để $\sqrt{A}$ có nghĩa thì $A\ge 0$

- Để $\sqrt{A.B}$ có nghĩa ta xét các trường hợp:

Trường hợp 1: 

$\{\begin{array}{l}A\ge 0\\ B\ge 0\end{array}$

Trường hợp 2:

$\{\begin{array}{l}A\le 0\\ B\le 0\end{array}$

Lời giải:

a)

 Ta có: $A=\sqrt{x+2}.\sqrt{x-3}$ có nghĩa khi và chỉ khi: 

$\{\begin{array}{c}x+2\ge 0\hfill \\ x-3\ge 0\hfill \end{array}\iff \{\begin{array}{c}x\ge -2\hfill \\ x\ge 3\hfill \end{array}\iff x\ge 3$

Vậy  $x\ge 3$ thì $A$ có nghĩa.

$B=\sqrt{(x+2)(x-3)}$ có nghĩa khi và chỉ khi:

$(x+2)(x-3)\ge 0$

Trường hợp 1: 

$\{\begin{array}{c}x+2\ge 0\hfill \\ x-3\ge 0\hfill \end{array}\iff \{\begin{array}{c}x\ge -2\hfill \\ x\ge 3\hfill \end{array}\iff x\ge 3$

Trường hợp 2: 

$\{\begin{array}{c}x+2\le 0\hfill \\ x-3\le 0\hfill \end{array}\iff \{\begin{array}{c}x\le -2\hfill \\ x\le 3\hfill \end{array}\iff x\le -2$

Vậy với $x\ge 3$ hoặc $x\le -2$ thì $B$ có nghĩa

 b)

Để $A$ và $B$ đồng thời có nghĩa thì $x\ge 3$

Khi đó: $A=B$

$\iff \sqrt{x+2}.\sqrt{x-3}=\sqrt{(x+2)(x-3)}$ (luôn đúng)

Vậy với $x\ge 3$ thì $A=B$.

a) $\sqrt{4{(a-3)}^2}$ với $a\ge 3$ ;

b) $\sqrt{9{(b-2)}^2}$ với $b<2$ ;

c) $\sqrt{a^2{(a+1)}^2}$ với $a>0$ ;

d) $\sqrt{b^2{(b-1)}^2}$ với $b<0$ .

Phương pháp giải:

Áp dụng: 

$\sqrt{A^2}=\left|A\right|$ 

Với $A\ge 0$ thì $\left|A\right|=A$

Với $A<0$ thì $\left|A\right|=-A$.

Lời giải:

$\begin{array}{rl}& \sqrt{4{(a-3)}^2}=\sqrt{4}.\sqrt{{(a-3)}^2}\\ & =2.\left|a-3\right|=2(a-3)(doa\ge 3)\end{array}$

 b)

$\begin{array}{rl}& \sqrt{9{(b-2)}^2}=\sqrt{9}\sqrt{{(b-2)}^2}\\ & =3.\left|b-2\right|=3(2-b)(dob<2)\end{array}$

 c)

$\begin{array}{rl}& \sqrt{a^2{(a+1)}^2}=\sqrt{a^2}.\sqrt{{(a+1)}^2}\\ & =\left|a\right|.\left|a+1\right|=a(a+1)(doa>0)\end{array}$

 d)

$\begin{array}{rl}& \sqrt{b^2{(b-1)}^2}=\sqrt{b^2}.\sqrt{{(b-1)}^2}\\ & =\left|b\right|.\left|b-1\right|=-b(1-b)(dob<0)\end{array}$

a) $\sqrt{x^2-4}+2\sqrt{x-2}$;

b) $3\sqrt{x+3}+\sqrt{x^2-9}$.

Phương pháp giải:

Áp dụng: 

- Để $\sqrt{A}$ có nghĩa thì $A\ge 0$

- Để $\sqrt{A.B}$ có nghĩa ta xét các trường hợp:

Trường hợp 1: 

$\{\begin{array}{l}A\ge 0\\ B\ge 0\end{array}$

Trường hợp 2:

$\{\begin{array}{l}A\le 0\\ B\le 0\end{array}$

Biến đổi về dạng tích:

Nếu $A\ge 0,B\ge 0$ thì $\sqrt{A.B}=\sqrt{A}.\sqrt{B}$

Với $A\ge 0,B\ge 0,C\ge 0$ 

Ta có :

$\begin{array}{l}\sqrt{A.B}+\sqrt{A.C}=\sqrt{A}.\sqrt{B}+\sqrt{A}.\sqrt{C}\\ =\sqrt{A}.(\sqrt{B}+\sqrt{C})\end{array}.$

Lời giải:

a)

Ta có: $\sqrt{x^2-4}+2\sqrt{x-2}$ có nghĩa khi và chỉ khi:

$x^2-4\ge 0$ và $x-2\ge 0$ 

Ta có: $x-2\ge 0\iff x\ge 2$

$x^2-4\ge 0\iff (x+2)(x-2)\ge 0$

Trường hợp 1: 

$\{\begin{array}{c}x+2\ge 0\hfill \\ x-2\ge 0\hfill \end{array}\iff \{\begin{array}{c}x\ge -2\hfill \\ x\ge 2\hfill \end{array}\iff x\ge 2$

Trường hợp 2: 

$\{\begin{array}{c}x+2\le 0\hfill \\ x-2\le 0\hfill \end{array}\iff \{\begin{array}{c}x\le -2\hfill \\ x\le 2\hfill \end{array}\iff x\le -2$

Vậy với  $x\ge 2$ thì biểu thức có nghĩa.

Biến đổi về dạng tích:

$\begin{array}{rl}& \sqrt{x^2-4}+2\sqrt{x-2}\\ & =\sqrt{(x+2)(x-2)}+2\sqrt{x-2}\end{array}$

$=\sqrt{x+2}.\sqrt{x-2}+2\sqrt{x-2}$

$=\sqrt{x-2}.\left(\sqrt{x+2}+2\right)$

 b)

Ta có: $3\sqrt{x+3}+\sqrt{x^2-9}$ có nghĩa khi và chỉ khi:

$x+3\ge 0$ và $x^2-9\ge 0$

Ta có: $x+3\ge 0\iff x\ge -3$

$x^2-9\ge 0\iff (x+3)(x-3)\ge 0$

Trường hợp 1: 

$\{\begin{array}{c}x+3\ge 0\hfill \\ x-3\ge 0\hfill \end{array}\iff \{\begin{array}{c}x\ge -3\hfill \\ x\ge 3\hfill \end{array}\iff x\ge 3$

Trường hợp 2: 

$\{\begin{array}{c}x+3\le 0\hfill \\ x-3\le 0\hfill \end{array}\iff \{\begin{array}{c}x\le -3\hfill \\ x\le 3\hfill \end{array}\iff x\le -3$

Vậy với $x\ge 3$ thì biểu thức có nghĩa.

Biến đổi về dạng tích: 

$\begin{array}{rl}& 3\sqrt{x+3}+\sqrt{x^2-9}\\ & =3\sqrt{x+3}+\sqrt{(x+3)(x-3)}\end{array}$

$=3\sqrt{x+3}+\sqrt{x+3}.\sqrt{x-3}$

$=\sqrt{x+3}\left(3+\sqrt{x-3}\right)$

a) $\sqrt{x-5}=3$;

b) $\sqrt{x-10}=-2$;

c) $\sqrt{2x-1}=\sqrt{5}$;

d) $\sqrt{4-5x}=12$. 

Phương pháp giải:

Để tìm $x$ trong bài toán này ta phải thực hiện các bước sau:

Bước 1: Tìm điều kiện xác định:

Áp dụng $\sqrt{A}$ xác định khi $A\ge 0$

Bước 2: Giải phương trình bằng cách bình phương hai vế.

$\sqrt{A}=B\iff A=B^2$

Bước 3: Kết hợp điều kiện và kết luận nghiệm của phương trình.

Lời giải:

a)

$\sqrt{x-5}=3$

Điều kiện: $x-5\ge 0\iff x\ge 5$

Ta có: 

$\sqrt{x-5}=3\iff x-5=9$$\iff x=14(tm)$

Vậy $x=14.$

b)

$\sqrt{x-10}=-2$

Điều kiện: $x-10\ge 0\iff x\ge 10$

Vì $\sqrt{x-10}\ge 0$ mà $-2<0$ nên không có giá trị nào của x để $\sqrt{x-10}=-2$

c)

$\sqrt{2x-1}=\sqrt{5}$

Điều kiện: $2x-1\ge 0\iff x\ge 0,5$

Ta có: 

$\begin{array}{rl}& \sqrt{2x-1}=\sqrt{5}\iff 2x-1=5\\ & \iff 2x=6\iff x=3(tm)\end{array}$

Vậy $x=3.$

 d)

$\sqrt{4-5x}=12$

Điều kiện: ${\displaystyle 4-5x\ge 0\iff x\le \frac{4}{5}}$

Ta có: 

$\begin{array}{rl}& \sqrt{4-5x}=12\iff 4-5x=144\\ & \iff -5x=140\iff x=-28(tm)\end{array}$

Vậy $x=-28.$