Với giải Luyện tập 9 trang 47 Toán 12 Tập 2 Kết nối tri thức chi tiết trong Bài 15: Phương trình đường thẳng trong không gian giúp học sinh dễ dàng xem và so sánh lời giải từ đó biết cách làm bài tập Toán 12. Mời các bạn đón xem:

Giải bài tập Toán 12 Bài 15: Phương trình đường thẳng trong không gian

Luyện tập 9 trang 47 Toán 12 Tập 2: Trong không gian Oxyz, cho hai đường thẳng ${\Delta }_1:\frac{x-1}{1}=\frac{y+2}{1}=\frac{z-3}{4}$ và ${\Delta }_2:\frac{x+1}{1}=\frac{y+1}{1}=\frac{z}{4}$. Chứng minh rằng:

a) Hai đường thẳng ∆₁ và ∆₂ song song với nhau;

b) Đường thẳng ∆₁ và trục Ox chéo nhau;

c) Đường thẳng ∆₂ trùng với đường thẳng ${\Delta }_3:\frac{x+2}{1}=\frac{y+2}{1}=\frac{z+4}{4}$

d) Đường thẳng ∆₂ cắt trục Oz.

Lời giải:

Đường thẳng ∆₁ đi qua điểm A(1; −2; 3) và có vectơ chỉ phương $\overrightarrow{u_{{\Delta }_1}}=\left(1;1;4\right)$

Đường thẳng ∆₂ đi qua điểm B(−1; −1; 0) và có vectơ chỉ phương $\overrightarrow{u_{{\Delta }_2}}=\left(1;1;4\right)$

a) Vì $\overrightarrow{u_{{\Delta }_1}}=\overrightarrow{u_{{\Delta }_2}}=\left(1;1;4\right)$ và A ∉ ∆₂ nên hai đường thẳng ∆₁ và ∆₂ song song với nhau.

b) Trục Ox đi qua điểm O(0; 0; 0) và có vectơ chỉ phương là $\overrightarrow{i}=\left(1;0;0\right)$

Có $\overrightarrow{OA}=\left(1;-2;3\right)$ và $\left[\overrightarrow{i},\overrightarrow{u_{{\Delta }_1}}\right]=\left(0;-4;1\right)$.

Có $\overrightarrow{OA}.\left[\overrightarrow{i},\overrightarrow{u_{{\Delta }_1}}\right]=8+3=11\ne 0$. Do đó đường thẳng ∆₁ và trục Ox chéo nhau.

c) Đường thẳng ∆₃ đi qua điểm C(−2; −2; −4) và có vectơ chỉ phương .

Vì $\overrightarrow{u_{{\Delta }_2}}=\overrightarrow{u_{{\Delta }_3}}=\left(1;1;4\right)$ và B ∈ ∆₃ nên đường thẳng ∆₂ trùng với đường thẳng ∆₃.

d) Trục Oz đi qua điểm O(0; 0; 0) và có vectơ chỉ phương là $\overrightarrow{k}=\left(0;0;1\right)$.

Có $\overrightarrow{OB}=\left(-1;-1;0\right)$, $\left[\overrightarrow{k},\overrightarrow{u_{{\Delta }_2}}\right]=\left(-1;1;0\right)\ne \overrightarrow{0}$

Có $\overrightarrow{OB}.\left[\overrightarrow{k},\overrightarrow{u_{{\Delta }_2}}\right]=1-1=0$

Do đó đường thẳng ∆₂ cắt trục Oz.