Sách bài tập Toán 12 Bài 15 (Kết nối tri thức): Phương trình đường thẳng trong không gian

Trịnh Thị Thu Hiền Ngày: 31-10-2024 Lớp 12

430

Với giải sách bài tập Toán 12 Bài 15: Phương trình đường thẳng trong không gian sách Kết nối tri thức hay, chi tiết giúp học sinh dễ dàng xem và so sánh lời giải từ đó biết cách làm bài tập trong SBT Toán 12. Mời các bạn đón xem:

Giải SBT Toán 12 Bài 15: Phương trình đường thẳng trong không gian

Bài 5.8 trang 28 SBT Toán 12 Tập 2: Trong không gian Oxyz, cho ba điểm A(0; 0; 2), B(1; 2; 1), C(2; 3; 4).

a) Viết phương trình tham số, phương trình chính tắc của đường thẳng AB.

b) Viết phương trình tham số của đường thẳng d đi qua điểm C và song song với AB.

Lời giải:

a) Ta có: $\vec{A B}$ = (1; 2; −1) là một vectơ chỉ phương của đường thẳng AB và đường thẳng AB đi qua A(0; 0; 2) nên phương trình tham số của đường thẳng AB là $\{\begin{cases} x = t \\ y = 2 t \\ z = 2 - t \end{cases}$ .

Phương trình chính tắc của đường thẳng AB là $\frac{x}{1} = \frac{y}{2} = \frac{z - 2}{- 1}$ .

b) Theo đề bài, đường thẳng d song song với đường thẳng AB nên $\vec{A B}$ = (1; 2; −1) chính là vectơ chỉ phương của đường thẳng d và đường thẳng d đi qua C(2; 3; 4).

Do đó, phương trình tham số của đường thẳng d $\{\begin{cases} x = 2 + t \\ y = 3 + 2 t \\ z = 4 - t \end{cases}$ .

Bài 5.9 trang 29 SBT Toán 12 Tập 2: Trong không gian Oxyz, cho mặt phẳng (P): 2x – 3y – z + 2 = 0 và điểm A(1; −1; −2).

a) Viết phương trình tham số của đường thẳng d đi qua A và vuông góc với mặt phẳng (P).

b) Tìm tọa độ giao điểm của đường thẳng d và mặt phẳng (P).

Lời giải:

a) Vì đường thẳng d vuông góc với mặt phẳng (P) nên $\vec{n_{P}}$ = (2; −3; −1) là một vectơ chỉ phương của đường thẳng d, phương trình tham số của đường thẳng d là $\{\begin{cases} x = 1 + 2 t \\ y = - 1 - 3 t \\ z = - 2 - t \end{cases}$ .

b) Gọi I là giao điểm của đường thẳng d và mặt phẳng (P).

Do I thuộc đường thẳng d nên tọa độ điểm I có dạng I(1 + 2t; −1 – 3t; −2 – t), mà I cũng thuộc (P) nên ta có:

2(1 + 2t) – 3(−1 – 3t) – (−2 – t) + 2 = 0

⇔ 14t + 9 = 0

⇔ t = $- \frac{9}{14}$ .

Do đó, I $(- \frac{2}{7}; \frac{13}{14}; - \frac{19}{14})$ .

Bài 5.10 trang 29 SBT Toán 12 Tập 2: Trong không gian Oxyz, cho đường thẳng d: $\{\begin{cases} x = 2 + 3 t \\ y = - 1 - t \\ z = - 3 + 2 t \end{cases}$ và mặt phẳng (P): x – y – z = 0.

a) Tìm tọa độ giao điểm I của đường thẳng d và mặt phẳng (P).

b) Viết phương trình đường thẳng d' nằm trên mặt phẳng (P) sao cho d' cắt và vuông góc với d.

Lời giải:

a) Theo đề, I là giao của đường thẳng d và mặt phẳng (P).

Gọi I(2 + 3t; −1 – t; – 3 + 2t), thay vào phương trình mặt phẳng (P) được

2 + 3t – (−1 – t) – (−3 + 2t) = 0

⇔ 2t + 6 = 0

⇔ t = −3.

Vậy I(−7; 2; −9).

b) Ta có vectơ pháp tuyến của mặt phẳng (P) là $\vec{n_{P}}$ = (1; −1; −1), vectơ chỉ phương của đường thẳng d là $\vec{u_{d}}$ = (3; −1; 2).

Do d' nằm trên (P), cắt đường thẳng d và vuông góc với d nên đường thẳng d' đi qua điểm I(−7; 2; −9) và nhận $[\vec{n_{P}}, \vec{u_{d}}]$ làm vectơ chỉ phương.

Ta có: $[\vec{n_{P}}, \vec{u_{d}}] = (|\begin{matrix} - 1 & - 1 \\ - 1 & 2 \end{matrix}|; |\begin{matrix} - 1 & 1 \\ 2 & 3 \end{matrix}|; |\begin{matrix} 1 & - 1 \\ 3 & - 1 \end{matrix}|)$ = (−1; −5; 2).

Phương trình tham số của đường thẳng d' là $\{\begin{cases} x = - 7 - t \\ y = 2 - 5 t \\ z = - 9 + 2 t \end{cases}$ .

Bài 5.11 trang 29 SBT Toán 12 Tập 2: Trong không gian Oxyz, cho hai đường thẳng:

d: $\{\begin{cases} x = 1 + 2 t \\ y = - 2 + t \\ z = 4 - 3 t \end{cases}$ và d': $\{\begin{cases} x = 1 - 2 s \\ y = 2 - s \\ z = 5 + 3 s . \end{cases}$

a) Chứng minh rằng d // d'.

b) Viết phương trình mặt phẳng (P) chứa d và d'.

Lời giải:

a) Ta có: $\vec{u_{d}}$ = (2; 1; −3) và $\vec{u_{d^{'}}}$ = (−2; −1; 3) = −1(2; 1; −3) là hai vectơ cùng phương và điểm A(1; −2; 4) thuộc đường thẳng d nhưng không thuộc d' (do thay A và d' thì hệ $\{\begin{cases} 1 - 2 s = 1 \\ 2 - s = - 2 \\ 5 + 3 s = 4 \end{cases}$ vô nghiệm).

Do đó, d ∥ d'.

b) Ta có: $\vec{u_{d}}$ = (2; 1; −3).

Lấy A(1; −2; 4) ∈ d và B(1; 2; 5) ∈ d' ⇒ $\vec{A B}$ = (0; 4; 1).

Do (P) chứa hai đường thẳng d và d' nên vectơ pháp tuyến của mặt phẳng (P) là

$\vec{n_{P}} = [\vec{u_{d}}, \vec{A B}] = (|\begin{matrix} 1 & - 3 \\ 4 & 1 \end{matrix}|; |\begin{matrix} - 3 & 2 \\ 1 & 0 \end{matrix}|; |\begin{matrix} 2 & 1 \\ 0 & 4 \end{matrix}|)$ = (13; −2; 8).

Phương trình mặt phẳng (P) là:

13(x – 1) – 2(y + 2) + 8(z – 4) = 0

⇔ 13x – 2y + 8z – 49 = 0.

Bài 5.12 trang 29 SBT Toán 12 Tập 2: Trong không gian Oxyz, cho hai đường thẳng:

d: $\{\begin{cases} x = 1 - t \\ y = 2 + t \\ z = - 3 + 2 t \end{cases}$ và d': $\frac{x + 2}{3} = \frac{y + 1}{2} = \frac{z}{- 1}$ .

Xét vị trí tương đối giữa hai đường thẳng d và d'.

Lời giải:

Ta có: $\vec{u_{d}}$ = (−1; 1; 2), $\vec{u_{d^{'}}}$ = (3; 2; −1) lần lượt là vectơ chỉ phương của đường thẳng d và d'.

Đường thẳng d đi qua A(1; 2; −3), đường thẳng d' đi qua B(−2; −1; 0)

⇒ $\vec{A B}$ = (−3; −3; 3).

Có $[\vec{u_{d}}, \vec{u_{d^{'}}}] = (|\begin{matrix} 1 & 2 \\ 2 & - 1 \end{matrix}|; |\begin{matrix} 2 & - 1 \\ - 1 & 3 \end{matrix}|; |\begin{matrix} - 1 & 1 \\ 3 & 2 \end{matrix}|)$ = (−5; 5; −5).

Ta được $[\vec{u_{d}}, \vec{u_{d^{'}}}] . \vec{A B}$ = −5.(−3) + 5.(−3) + 3.(−5) = −15 ≠ 0.

Vậy hai đường thẳng d và d' chéo nhau.

Bài 5.13 trang 29 SBT Toán 12 Tập 2: Trong không gian Oxyz, một xe tải có chiều cao bằng 1, di chuyển trên mặt phẳng (Oxyz) và cần chui qua gầm của một cây cầu. Cây cầu đó thuộc đường thẳng ∆: $\{\begin{cases} x = 1 + t \\ y = - 1 + 2 t \\ z = 2 \end{cases}$ . Hỏi chiều cao của gầm cầu có đủ để xe tải chui qua hay không?

Lời giải:

Đường thẳng ∆ đi qua điểm A(1; −1; 2) và đường thẳng song song với mặt phẳng (Oxy). Khoảng cách giữa đường thẳng ∆ và mặt phẳng (Oxy) bằng khoảng cách từ điểm A đến mặt phẳng (Oxy).

Ta có: $d (A, (O x y))$ = 2 > 1, do đó xe tải có chiều cao bằng 1 thì chui qua được gầm cầu.

Bài 5.14 trang 29 SBT Toán 12 Tập 2: Trong không gian Oxyz, một người ở trong một căn phòng, mắt người đặt tại vị trí A(1; 2; 3), nhìn ra ngoài khu vườn qua một khung của sổ có dạng hình tròn tâm O(0; 0; 0), bán kính 2 và thuộc mặt phẳng (Oyz). Hỏi qua khung cửa sổ, người đó có nhìn thấy bông hoa ở vị trí M(−2; 1; 1) hay không?

Lời giải:

Gọi N là giao điểm của đường thẳng AM với mặt phẳng (Oyz) ⇒ N(0; b; c).

Ta có: $\vec{A N}$ = (−1; b – 2; c – 3) và $\vec{A M}$ = (−3; −1; −2) là hai vectơ cùng phương nên ta có $\frac{b - 2}{- 1} = \frac{c - 3}{- 2} = \frac{- 3}{- 1} = 3$ ⇔ $\{\begin{cases} b = - 1 \\ c = - 3 \end{cases}$ ⇒ N(0; −1; −3).

Như vậy ON = $\sqrt{0 + {(- 1)}^{2} + {(- 3)}^{2}} = \sqrt{10}$ > 2 nên mắt người đặt ở vị trí A không thể nhìn thấy bông hoa đặt ở vị trí M qua một đường tròn có tâm O bán kính bằng 2 nằm trên mặt phẳng (Oyz).

Lý thuyết Phương trình đường thẳng trong không gian

1. Phương trình đường thẳng

• Vectơ chỉ phương của đường thẳng

Vectơ $\vec{u} \neq \vec{0}$ được gọi là vectơ chỉ phương của đường thẳng D nếu giá của $\vec{u}$ song song hoặc trùng với $∆$ .

Chú ý

+) Đường thẳng hoàn toàn xác định khi biết một điểm mà nó đi qua và một vectơ chỉ phương.

+) Nếu $\vec{u}$ là một vectơ chỉ phương của $∆$ thì $k \vec{u}$ (với k là một số khác 0) cũng là một vectơ chỉ phương của $∆$ .

Ví dụ 1. Cho hình chóp S.ABCD, đáy là hình bình hành. Hãy chỉ ra các vectơ chỉ phương của đường thẳng BC mà điểm đầu và điểm cuối của vectơ đó đều là các đỉnh của hình chóp S.ABCD.

Hướng dẫn giải

Phương trình đường thẳng trong không gian (Lý thuyết Toán lớp 12) | Kết nối tri thức

Đường thẳng BC nhận $\vec{B C}, \vec{C B}, \vec{A D}, \vec{D A}$ là các vectơ chỉ phương của đường thẳng BC.

• Phương trình tham số của đường thẳng

Trong không gian Oxyz, cho đường thẳng $∆$ đi qua điểm A(x₀; y₀; z₀) và có vectơ chỉ phương $\vec{u} = (a; b; c)$ . Hệ phương trình $\{\begin{cases} x = x_{0} + a t \\ y = y_{0} + b t \\ z = z_{0} + c t \end{cases}$ được gọi là phương trình tham số của đường thẳng $∆$ (t là tham số, t $\in$ ℝ).

Chú ý

+) Với các số a, b, c không đồng thời bằng 0, hệ phương trình $\{\begin{cases} x = x_{0} + a t \\ y = y_{0} + b t \\ z = z_{0} + c t \end{cases} (t \in ℝ)$ xác định một đường thẳng đi qua điểm M(x₀; y₀; z₀) và có vectơ chỉ phương $\vec{u} = (a; b; c)$ .

+) Từ phương trình tham số của đường thẳng, mỗi giá trị của tham số tương ứng với một điểm thuộc đường thẳng và ngược lại.

Ví dụ 2. Viết phương trình tham số của đường thẳng $∆$ đi qua điểm A(0; 1; 2) và có vectơ chỉ phương $\vec{u} = (1; 2; 3)$ .

Hướng dẫn giải

Đường thẳng $∆$ đi qua điểm A(0; 1; 2) và có vectơ chỉ phương $\vec{u} = (1; 2; 3)$ có phương trình là: $\{\begin{cases} x = t \\ y = 1 + 2 t \\ z = 2 + 3 t \end{cases}$ .

• Phương trình chính tắc của đường thẳng

Trong không gian Oxyz, cho đường thẳng $∆$ đi qua điểm A(x₀; y₀; z₀) và có vectơ chỉ phương $\vec{u} = (a; b; c)$ với a, b, c là các số khác 0.

Hệ phương trình: $\frac{x - x_{0}}{a} = \frac{y - y_{0}}{b} = \frac{z - z_{0}}{c}$ được gọi là phương trình chính tắc của đường thẳng $∆$ .

Ví dụ 3. Viết phương trình chính tắc của đường thẳng $∆$ đi qua điểm A(−1; 1; 2) và có vectơ chỉ phương $\vec{u} = (1; - 2; 3)$ .

Hướng dẫn giải

Đường thẳng $∆$ đi qua điểm A(−1; 1; 2) và có vectơ chỉ phương $\vec{u} = (1; - 2; 3)$ có phương trình chính tắc là: $\frac{x + 1}{1} = \frac{y - 1}{- 2} = \frac{z - 2}{3}$ .

• Phương trình đường thẳng đi qua hai điểm

Trong không gian Oxyz, cho hai điểm phân biệt A₁(x₁; y₁; z₁) và A₂(x₂; y₂; z₂). Đường thẳng A₁A₂ có vectơ chỉ phương $\vec{A_{1} A_{2}} = (x_{2} - x_{1}; y_{2} - y_{1}; z_{2} - z_{1})$ .

+) Đường thẳng A₁A₂ có phương trình tham số là: $\{\begin{cases} x = x_{1} + (x_{2} - x_{1}) t \\ y = y_{1} + (y_{2} - y_{1}) t \\ z = z_{1} + (z_{2} - z_{1}) t \end{cases} (t \in ℝ)$ .

+) Trong trường hợp x₁ ≠ x₂, y₁ ≠ y₂, z₁ ≠ z₂ thì đường thẳng A₁A₂ có phương trình chính tắc là: $\frac{x - x_{1}}{x_{2} - x_{1}} = \frac{y - y_{1}}{y_{2} - y_{1}} = \frac{z - z_{1}}{z_{2} - z_{1}}$ .

Ví dụ 4. Lập phương trình tham số của đường thẳng đi qua hai điểm M(1; 1; 1) và N(1; −3; 2).

Hướng dẫn giải

Đường thẳng MN đi qua điểm M(1; 1; 1) nhận $\vec{M N} = (0; - 4; 1)$ làm vectơ chỉ phương có phương trình tham số là: $\{\begin{cases} x = 1 \\ y = 1 - 4 t \\ z = 1 + t \end{cases}$ .

2. Hai đường thẳng vuông góc

Trong không gian Oxyz, cho hai đường thẳng $∆$ ₁, $∆$ ₂ tương ứng có vectơ chỉ phương $\vec{u_{1}} = (a_{1}; b_{1}; c_{1})$ , $\vec{u_{2}} = (a_{2}; b_{2}; c_{2})$ . Khi đó $Δ_{1} ⊥ Δ_{2} \Leftrightarrow \vec{u_{1}} . \vec{u_{2}} = 0 \Leftrightarrow a_{1} a_{2} + b_{1} b_{2} + c_{1} c_{2} = 0$ .

Ví dụ 5. Trong không gian Oxyz, cho hai đường thẳng:

d₁: $\{\begin{cases} x = 2 + t \\ y = 5 - 4 t \\ z = 3 + t \end{cases}$ và d₂: $\{\begin{cases} x = 1 + 2 m \\ y = m \\ z = 2 + 2 m \end{cases}$ .

Chứng minh rằng hai đường thẳng trên vuông góc với nhau.

Hướng dẫn giải

Ta có $\vec{u_{d_{1}}} = (1; - 4; 1)$ ; $\vec{u_{d_{2}}} = (2; 1; 2)$ .

Vì $\vec{u_{d_{1}}} . \vec{u_{d_{2}}} = 1.2 + (- 4) .1 + 1.2 = 0$ . Do đó d₁ ⊥ d₂.

3. Vị trí tương đối giữa hai đường thẳng

Trong không gian Oxyz, cho hai đường thẳng $∆_{1}$ , $∆_{2}$ lần lượt đi qua các điểm A₁(x₁; y₁; z₁), A₂(x₂; y₂; z₂) và tương ứng có vectơ chỉ phương $\vec{u_{1}} = (a_{1}; b_{1}; c_{1}), \vec{u_{2}} = (a_{2}; b_{2}; c_{2})$ . Khi đó:

+) $∆_{1}$ // $∆_{2}$ $\Leftrightarrow$ $\vec{u_{1}}$ cùng phương với $\vec{u_{2}}$ và A₁ Phương trình đường thẳng trong không gian (Lý thuyết Toán lớp 12) | Kết nối tri thức $∆_{2}$ .

+) $∆_{1}$ ≡ $∆_{2}$ $\Leftrightarrow$ $\vec{u_{1}}$ cùng phương với $\vec{u_{2}}$ và A₁ $\in$ $∆_{2}$ .

+) $∆_{1}$ và $∆_{2}$ cắt nhau

$\Leftrightarrow$ $\{\begin{cases} [\vec{u_{1}}, \vec{u_{2}}] \neq \vec{0} \\ \vec{A_{1} A_{2}} ⊥ [\vec{u_{1}}, \vec{u_{2}}] \end{cases} \Leftrightarrow \{\begin{cases} [\vec{u_{1}}, \vec{u_{2}}] \neq \vec{0} \\ \vec{A_{1} A_{2}} . [\vec{u_{1}}, \vec{u_{2}}] = 0 \end{cases}$ .

+) $∆_{1}$ và $∆_{2}$ chéo nhau $\Leftrightarrow$ $\vec{A_{1} A_{2}} . [\vec{u_{1}}, \vec{u_{2}}] \neq 0$ .

Ví dụ 6. Trong không gian Oxyz, cho hai đường thẳng d₁: $\{\begin{cases} x = t + 1 \\ y = 2 t + 3 \\ z = - 2 t \end{cases}$ và d₂: $\{\begin{cases} x = m - 2 \\ y = m + 2 \\ z = - m + 3 \end{cases}$ . Xác định vị trí tương đối của hai đường thẳng trên.

Hướng dẫn giải

Đường thẳng d₁ đi qua điểm A(1; 3; 0) và có vectơ chỉ phương $\vec{u_{1}} = (1; 2; - 2)$ .

Đường thẳng d₂ đi qua điểm B(−2; 2; 3) và có vectơ chỉ phương $\vec{u_{2}} = (1; 1; - 1)$ .

Có $\vec{A B} = (- 3; - 1; 3)$ và $[\vec{u_{1}}, \vec{u_{2}}] = (0; - 1; - 1)$ .

Vì $\vec{A B} . [\vec{u_{1}}, \vec{u_{2}}] = - 3.0 + (- 1) . (- 1) + 3. (- 1) = - 2 \neq 0$ .

Do đó d₁ và d₂ chéo nhau.

Chú ý. Để xét vị trí tương đối giữa hai đường thẳng, ta cũng có thể dựa vào các vectơ chỉ phương và phương trình của hai đường thẳng đó theo tiêu chuẩn sau đây.

Trong không gian Oxyz, cho hai đường thẳng $∆$ ₁, $∆$ ₂ tương ứng có vectơ chỉ phương $\vec{u_{1}} = (a_{1}; b_{1}; c_{1}), \vec{u_{2}} = (a_{2}; b_{2}; c_{2})$ và có phương trình tham số:

$Δ_{1} : \{\begin{cases} x = x_{1} + a_{1} t \\ y = y_{1} + b_{1} t \\ z = z_{1} + c_{1} t \end{cases}$ ; $Δ_{2} : \{\begin{cases} x = x_{2} + a_{2} s \\ y = y_{2} + b_{2} s \\ z = z_{2} + c_{2} s \end{cases}$

Xét hệ phương trình hai ẩn t, s: $\{\begin{cases} x_{1} + a_{1} t = x_{2} + a_{2} s \\ y_{1} + b_{1} t = y_{2} + b_{2} s \\ z_{1} + c_{1} t = z_{2} + c_{2} s \end{cases}$ (*).

Khi đó:

+) $∆$ ₁ // $∆$ ₂ $\Leftrightarrow$ $\vec{u_{1}}$ cùng phương với $\vec{u_{2}}$ và hệ (*) vô nghiệm.

+) $∆$ ₁ ≡ $∆$ ₂ $\Leftrightarrow$ Hệ (*) có vô số nghiệm.

+) $∆$ ₁ cắt $∆$ ₂ $\Leftrightarrow$ Hệ (*) có nghiệm duy nhất.

+) $∆$ ₁ và $∆$ ₂ chéo nhau $\Leftrightarrow$ $\vec{u_{1}}$ và $\vec{u_{2}}$ không cùng phương và hệ (*) vô nghiệm.

Ví dụ 7. Trong không gian Oxyz, cho hai đường thẳng d₁: $\{\begin{cases} x = 10 - 3 t \\ y = 10 - 4 t \\ z = 3 - 2 t \end{cases}$ và d₂: $\{\begin{cases} x = m + 3 \\ y = 2 m + 2 \\ z = 3 m + 3 \end{cases}$ . Xác định vị trí tương đối của hai đường thẳng trên.

Hướng dẫn giải

Xét hệ phương trình $\{\begin{cases} 10 - 3 t = m + 3 \\ 10 - 4 t = 2 m + 2 \\ 3 - 2 t = 3 m + 3 \end{cases}$ $\Leftrightarrow \{\begin{cases} m + 3 t = 7 \\ 2 m + 4 t = 8 \\ 3 m + 2 t = 0 \end{cases}$ $\Leftrightarrow \{\begin{cases} m = - 2 \\ t = 3 \end{cases}$ .