Với giải Bài 5 trang 74 Toán 9 Tập 2 Cánh diều chi tiết trong Bài 1: Đường tròn ngoại tiếp tam giác. Đường tròn nội tiếp tam giác giúp học sinh dễ dàng xem và so sánh lời giải từ đó biết cách làm bài tập Toán 9. Mời các bạn đón xem:

Giải bài tập Toán 9 Bài 1: Đường tròn ngoại tiếp tam giác. Đường tròn nội tiếp tam giác

Bài 5 trang 74 Toán 9 Tập 2: Cho tam giác nhọn ABC (AB < AC) nội tiếp đường tròn (O) đường kính AD = 2R. Gọi M là trung điểm của cạnh BC và H là trực tâm của tam giác ABC. Chứng minh:

a) DB ⊥ AB và CD ⊥ AC;

b) Tứ giác BHCD là hình bình hành;

c) AC² + BH² = 4R²;

d) Ba điểm H, M, D thẳng hàng và AH = 2OM.

Lời giải:

a) Vì góc ABD, góc ACD đều là các góc nội tiếp chắn nửa đường tròn (O) (do AD là đường kính của (O)) nên $\widehat{ABD}=\widehat{ACD}=90°.$

Do đó DB ⊥ AB và CD ⊥ AC.

b) Vì H là trực tâm của ∆ABC nên BH ⊥ AC và CH ⊥ AB.

Lại có CD ⊥ AC và DB ⊥ AB (câu a) nên BH // CD và CH // BD.

Xét tứ giác BHCD có BH // CD và CH // BD nên BHCD là hình bình hành.

c) Vì BHCD là hình bình hành nên BH = CD.

Xét ∆ACD vuông tại C, theo định lí Pythagore, ta có:

AD² = AC² + CD²

Suy ra (2R)² = AC² + BH²

Hay AC² + BH² = 4R².

d) Vì BHCD là hình bình hành nên hai đường chéo BC và HD cắt nhau tại trung điểm của mỗi đường.

Mà M là trung điểm của BC nên M cũng là trung điểm của HD, do đó ba điểm H, M, D thẳng hàng.

Lại có AD là đường kính của đường tròn (O) nên O là trung điểm của AD.

Xét ∆AHD có O, M lần lượt là trung điểm của AB, HD nên OM là đường trung bình của tam giác,

Do đó $OM=\frac{1}{2}AH$ hay AH = 2OM.