Tailieumoi.vn giới thiệu Giải bài tập Toán lớp 9 Bài 1: Đa giác đều. Hình đa giác đều trong thực tiễn chi tiết sách Toán 9 Tập 2 Cánh diều giúp học sinh xem và so sánh lời giải từ đó biết cách làm bài tập môn Toán 9. Mời các bạn đón xem:

Giải bài tập Toán 9 Bài 1: Đa giác đều. Hình đa giác đều trong thực tiễn

Khởi động trang 80 Toán 9 Tập 2: Ở lớp dưới, ta đã làm quen với những hình có dạng tam giác đều (Hình 1), hình vuông (Hình 2), lục giác đều (Hình 3). Tam giác đều, hình vuông, lục giác đều là những đa giác đều đặc biệt.

Đa giác đều là đa giác như thế nào?

Lời giải:

Sau bài học này, chúng ta sẽ trả lời được câu hỏi trên như sau:

Đa giác đều là đa giác có tất cả các cạnh bằng nhau và tất cả các góc bằng nhau.

I. Đa giác, đa giác lồi

Hoạt động 1 trang 80 Toán 9 Tập 2: Tứ giác MNPQ ở Hình 4a gồm 4 đỉnh M, N, P, Q và 4 cạnh MN, NP, PQ, QM. Ngũ giác ABCDE ở Hình 4b gồm 5 đỉnh A, B, C, D, E và 5 cạnh AB, BC, CD, DE, EA.

Quan sát hai hình đó, hãy cho biết các phát biểu sau là đúng hay sai:

a) Mỗi đỉnh là điểm chung của đúng hai cạnh.

b) Không có hai cạnh nào nằm trên cùng một đường thẳng.

Lời giải:

a) – Hình 4a:

⦁ đỉnh M là điểm chung của 2 cạnh MN, MQ;

⦁ đỉnh N là điểm chung của 2 cạnh NM, NP;

⦁ đỉnh P là điểm chung của 2 cạnh PN, PQ;

⦁ đỉnh Q là điểm chung của 2 cạnh QM, QP.

– Hình 4b:

⦁ đỉnh A là điểm chung của 2 cạnh AB, AE;

⦁ đỉnh B là điểm chung của 2 cạnh BA, BC;

⦁ đỉnh C là điểm chung của 2 cạnh CB, CD;

⦁ đỉnh D là điểm chung của 2 cạnh DC, DE;

⦁ đỉnh E là điểm chung của 2 cạnh EA, ED.

Vậy phát biểu a) là đúng.

b) Trong cả hai hình, không có hai cạnh nào nằm trên cùng một đường thẳng.

Vậy phát biểu b) là đúng.

Hoạt động 2 trang 81 Toán 9 Tập 2: Nêu đặc điểm về vị trí của ngũ giác ABCDE so với đường thẳng chứa một cạnh bất kì của ngũ giác đó (Hình 5).

Lời giải:

Ngũ giác ABCDE luôn nằm về một phía so với đường thẳng chứa một cạnh bất kì của ngũ giác đó.

II. Đa giác đều

Hoạt động 3 trang 82 Toán 9 Tập 2: Quan sát Hình 7 và nêu đặc điểm về cạnh và góc của tam giác đều, hình vuông, lục giác đều.

Lời giải:

Tam giác đều ABC có AB = BC = CA và $\widehat{A}=\widehat{B}=\widehat{C}.$

Hình vuông ABCD có AB = BC = CD = DA và $\widehat{A}=\widehat{B}=\widehat{C}=\widehat{D}.$

Lục giác đều ABCDE có AB = BC = CD = DE = EF = FA và $\widehat{A}=\widehat{B}=\widehat{C}=\widehat{D}=\widehat{E}=\widehat{F}.$

Vậy các hình tam giác đều, hình vuông, lục giác đều có tất cả các cạnh bằng nhau và tất cả các góc bằng nhau.

Luyện tập trang 83 Toán 9 Tập 2: Ghép sáu miếng phẳng hình tam giác đều có cạnh bằng nhau để tạo thành hình lục giác ABCDEG như ở Hình 10. Lục giác ABCDEG có là lục giác đều hay không? Vì sao?

Lời giải:

Vì lục giác ABCDEG được ghép bởi 6 hình tam giác đều có cạnh bằng nhau nên ta có AB = BC = CD = DE = EG = GA.

Mặt khác, mỗi góc trong một tam giác đều bằng 60°, nên số đo mỗi góc của lục giác là: 60° + 60° = 120°.

Vậy lục giác ABCDEG có 6 cạnh bằng nhau và 6 góc bằng nhau (cùng bằng 120°) nên ABCDEG là lục giác đều.

Bài tập

Bài 1 trang 85 Toán 9 Tập 2: Cho ngũ giác ABCDE có các cạnh bằng nhau và $\widehat{A}=\widehat{B}=\widehat{C}=108°.$ Ngũ giác ABCDE có phải là ngũ giác đều hay không?

Lời giải:

⦁ Do ngũ giác ABCDE có các cạnh bằng nhau nên AB = BC = CD = DE = EA.

Xét ∆ABE có AB = AE nên ∆ABE cân tại A, suy ra $\widehat{ABE}=\widehat{AEB}.$

Lại có $\widehat{BAE}+\widehat{ABE}+\widehat{AEB}=180°$ (tổng ba góc của một tam giác)

Suy ra $\widehat{ABE}=\widehat{AEB}=\frac{180°-\widehat{BAE}}{2}=\frac{180°-108°}{2}=36°.$

Chứng minh tương tự với ∆BCD ta cũng có $\widehat{CBD}=\widehat{CDB}=36°.$

Ta có: $\widehat{ABC}=\widehat{ABE}+\widehat{EBD}+\widehat{DBC}$

Suy ra $\widehat{EBD}=\widehat{ABC}-\widehat{ABE}-\widehat{CBD}=108°-36°-36°=36°.$

⦁ Xét ∆ABE và ∆CDB có:

AB = CD; $\widehat{BAE}=\widehat{DCB}=108°,$ AE = CB

Do đó ∆ABE = ∆CDB (c.g.c)

Suy ra BE = BD (hai cạnh tương ứng)

Nên ∆BDE cân tại B, suy ra $\widehat{BED}=\widehat{BDE}.$

Lại có $\widehat{EBD}+\widehat{BED}+\widehat{BDE}=180°$(tổng ba góc của một tam giác)

Suy ra $\widehat{BED}=\widehat{BDE}=\frac{180°-\widehat{EBD}}{2}=\frac{180°-36°}{2}=72°.$

Khi đó: $\widehat{CDE}=\widehat{CDB}+\widehat{BDE}=36°+72°=108°$

Và $\widehat{AED}=\widehat{AEB}+\widehat{BED}=36°+72°=108°.$

Như vậy, $\widehat{EAB}=\widehat{ABC}=\widehat{BCD}=\widehat{CDE}=\widehat{DEA}=108°.$

Vậy ngũ giác ABCDE có 5 cạnh bằng nhau và 5 góc bằng nhau nên ABCDE là ngũ giác đều.

Bài 2 trang 85 Toán 9 Tập 2: Bạn Đan gấp một tờ giấy (có dạng hình vuông) lần lượt theo Hình 21a và Hình 21b để được Hình 21c, rồi cắt theo đoạn thẳng màu đỏ như ở Hình 21c, sau đó mở ra và được tờ giấy như Hình 21d. Bạn Đan cho rằng đó là một lục giác đều. Theo em, bạn Đan nói đúng hay không?

Lời giải:

Theo cách bạn Đan làm thì khi mở ra sẽ được một hình lục giác tạo bởi 6 tam giác đều (tam giác cân có góc ở đỉnh là 60°) nên theo kết quả của Luyện tập, trang 83, SGK Toán lớp 9, Tập 2 thì hình được tạo ra chính là một lục giác đều.

Bài 3 trang 85 Toán 9 Tập 2: Hãy tìm hiểu trong tự nhiên hay trong nghệ thuật, trang trí, thiết kế, công nghệ, ... những vật thể mà cấu trúc của nó có dạng hình đa giác đều.

Lời giải:

Trong tự nhiên hay trong nghệ thuật, trang trí, thiết kế, công nghệ, một số vật thể mà cấu trúc của nó có dạng hình đa giác đều để tạo ra sự đối xứng cân bằng như:

⦁ Tam giác đều: Biển báo giao thông; mặt kim tự tháp; kệ sách hình tam giác; khuôn đặt bi-a; một số thiết kế trang trí nghệ thuật;…

⦁ Hình vuông: Viên gạch lát nền; mặt bàn; mặt ghế; mặt xúc sắc; cái đĩa hình vuông.

⦁ Lục giác đều: Đèn trần; hộp đựng bánh kẹo Tết; nhiều trang trí hình lục giác đều.

Bài 4 trang 85 Toán 9 Tập 2: Thiết kế một đồ vật từ những hình có dạng đa giác đều. Chẳng hạn, vẽ trên giấy 20 hình tam giác đều bằng nhau rồi cắt ra và dán lại để tạo thành chao đèn (hình 20 mặt đều), như ở Hình 22.

Lời giải:

⦁ Vẽ trên giấy 4 hình tam giác đều bằng nhau rồi cắt ra và dán lại để tạo thành chao đèn (tứ diện đều):

⦁ Vẽ trên giấy 8 hình tam giác đều bằng nhau rồi cắt ra và dán lại để tạo thành chao đèn (bát diện đều):

⦁ Vẽ trên giấy 6 hình vuông bằng nhau rồi cắt ra và dán lại để tạo thành cái chao đèn (hình lập phương):

⦁ Vẽ trên giấy 12 hình ngũ giác đều bằng nhau rồi cắt ra và dán lại để tạo thành chao đèn (thập nhị diện đều):

Xem thêm các bài giải bài tập Toán lớp 9 Cánh diều hay, chi tiết khác:

Bài tập cuối chương 8

§1. Đa giác đều. Hình đa giác đều trong thực tiễn

§2. Phép quay

Bài tập cuối chương 9

§1. Hình trụ

§2. Hình nón

Lý thuyết Đa giác đều. Hình đa giác đều trong thực tiễn

1. Đa giác. Đa giác lồi

1.1. Đa giác

Đa giác A₁A₂...A_n (n ≥ 3, n ∈ ℕ) là một hình gồm n đoạn thẳng A₁A₂, A₂A₃, ..., A_{n – 1}A_n, A_nA₁ sao cho mỗi điểm A₁, A₂, ..., A_n là điểm chung của đúng hai đoạn thẳng và không có hai đoạn thẳng nào nằm trên cùng một đường thẳng. Trong đa giác A₁A₂...A_n, các điểm A₁, A₂, ..., A_n là các đỉnh, các đoạn thẳng A₁A₂, A₂A₃, ..., A_{n – 1}A_n, A_nA₁ là các cạnh.

Ví dụ 1. Tứ giác MNPQ ở Hình a gồm 4 đỉnh M, N, P, Q và 4 cạnh MN, NP, PQ, QM.Ngũ giác ABCDE ở Hình b gồm 5 đỉnh A, B, C, D, E và 5 cạnh AB, BC, CD, DE, EA.

Quan sát tứ giác MNPQ và ngũ giác ABCDE, ta nhận thấy:

– Mỗi đỉnh là điểm chung của đúng hai cạnh.

– Không có hai cạnh nào nằm trên cùng một đường thẳng.

Ta nói tứ giác MNPQ và ngũ giác ABCDE là những đa giác.

1.2. Đa giác lồi

– Đa giác lồi là đa giác luôn nằm về một phía của đường thẳng chứa một cạnh bất kì của đa giác đó.

Với ngũ giác lồi ABCDE ở hình vẽ trên, các góc ABC, BCD, CDE, DEA, EAB gọi là các góc của đa giác.

– Trong trường hợp tổng quát, đa giác lồi có n cạnh (n ≥ 3, n ∈ ℕ) cũng là đa giác lồi có n góc. Khi n lần lượt bằng 3; 4; 5; 6; ... ta có tam giác, tứ giác lồi, ngũ giác lồi, lục giác lồi, ...

Ví dụ2. Quan sát các đa giác ở hình dưới đây và cho biết đã giác nào là đa giác lồi. Nêu tên các cạnh, các đỉnh, các góc của đa giác lồi đó.

Hướng dẫn giải

– Ở ­Hình 1, do đa giác ABCDEFGH không nằm về một phía của đường thẳng chứa cạnh BC (hoặc CD, EF, FG) nên đa giác ABCDEFGH không phải là đa giác lồi.

– Ở Hình 2, do đa giác MNPQRS luôn nằm về một phía của đường thẳng chứa một cạnh bất kì của đa giác đó nên đa giác MNPQRS là đa giác lồi.

Đa giác lồi MNPQRS có:

⦁ các cạnh là: MN, NP, PQ, QR, RS, SM;

⦁ có các đỉnh là: M, N, P, Q, R, S;

⦁ có các góc là: $\widehat{MNP},\widehat{NPQ},\widehat{PQR},\widehat{QRS},\widehat{RSM},\widehat{SMN}.$

– Ở ­Hình 3, do đa giác IJKLUV không nằm về một phía của đường thẳng chứa cạnh UV (hoặc VI) nên đa giác IJKLUV không phải là đa giác lồi.

Quy ước:Từ nay về sau, khi nói về đa giác mà không chú thích gì thêm thì ta hiểu đó là đa giác lồi.

2. Đa giác đều

– Định nghĩa: Đa giác đều là đa giác có tất cả các cạnh bằng nhau và tất cả các góc bằng nhau.

Chẳng hạn, tam giác đều, hình vuông, lục giác đều là các đa giác đều vì mỗi đa giác đó có tất cả các cạnh bằng nhau và tất cả các góc bằng nhau.

– Đối với mỗi đa giác đều, có đúng một điểm O cách đều tất cả các đỉnh của đa giác đó. Điểm O đó được gọi là tâm của đa giác đều.

– Phần mặt phẳng giới hạn bởi đa giác đều được gọi là hình đa giác đều. Vì mỗi hình đa giác đều cũng là một phần của mặt phẳng nên hình đa giác đều còn gọi là hình phẳng đều.

Ví dụ3. Cho lục giác đều ABCDEF tâm O, biết OA = 4 cm.

a) Tính số đo mỗi góc của lục giác đều ABCDEF.

b) Tính số đo mỗi cạnh của lục giác đều ABCDEF.

Hướng dẫn giải

a) Tổng 6 góc của lục giác đều ABCDEF bằng tổng các góc trong haitứ giác ABCD và ABEF.

Suy ra tổng 6 góc của lục giác đều ABCDEF bằng 2.360° = 720°.

Do tất cả các góc của lục giác đều bằng nhau nên số đo mỗi góc của lục giác đều bằng $\frac{720°}{6}=120°.$

Vậy số đo mỗi góc của lục giác đều ABCDEF đều bằng nhau và bằng 120°.

b) Ta có AF = AB (vì ABCDEF là lục giác đều) và OB = OF (vì O là tâm của lục giác đều ABCDEF).

Suy ra AO là đường trung trực của đoạn BF.

Vì AF = AB (chứng minh trên) nên tam giác ABF cân tại A.Do đó AO vừa là đường trung trực, vừa là đường phân giác của tam giác ABF.

Vì vậy $\widehat{OAB}=\frac{\widehat{BAF}}{2}=\frac{120°}{2}=60°.$

Ta có OB = OA = 4 cm (vì O là tâm của lục giác đều ABCDEF).

Suy ra tam giác OAB cân tại O, mà $\widehat{OAB}=60°$ (chứng minh trên).

Do đó tam giác OAB đều, suy ra AB = OB = OA = 4 cm.

Vì vậy BC = CD = DE = EF = FA = AB = 4 cm (vì ABCDEF là lục giác đều).

Vậy số đo mỗi cạnh của lục giác đều ABCDEF đều bằng nhau và bằng 4 cm.

3. Hình đa giác đều trong thực tiễn

Trong thế giới tự nhiên, xuất hiện nhiều vật thể có hình ảnh liên quan đến hình đa giác đều. Dưới đây chúng ta sẽ tìm hiểu những vật thể có hình ảnh liên quan đến hình đa giác đều trong thế giới tự nhiên, trong nghệ thuật, kiến trúc và thiết kế, công nghệ.

3.1. Hình đa giác đều trong thế giới tự nhiên

Trong tự nhiên, vật thể có hình ảnh liên quan đến hình đa giác đều rất đa dạng, phong phú, chẳng hạn: bông hoa (hình a), con sao biển (hình b) có hình ảnh liên quan đến ngũ giác đều; tổ ong (Hình c) có hình ảnh liên quan đến lục giác đều; ...

3.2. Hình đa giác đều trong nghệ thuật, kiến trúc

Ngay từ xa xưa, con người trong quá trình chinh phục thế giới tự nhiên luôn khao khát tạo dựng được những công trình hài hòa và bền vững. Để làm được điều đó, họ đã nghiên cứu, phân tích cấu trúc của những hình khối cân đối nhất.

Một trong các nguyên tắc quan trọng nhất với nghệ thuật, hay kiến trúc là nguyên tắc cân bằng. Theo đó, các thiết kế về kiến trúc, đồ họa hay một tác phẩm nghệ thuật cần thực hiện tốt về cân bằng. Vì thế, bố cục kiểu đối xứng, cân bằng thường được sử dụng trong các tác phẩm nghệ thuật hay kiến trúc. Chẳng hạn, các vật thể có dạng như ở hình d, e, g được trang trí bởi hình tam giác đều, hình tứ giác đều, lục giác đều.

Trong thiết kế hay kiến trúc ta cũng thấy hình phẳng đều hiển hiện rất đa dạng, phong phú, chẳng hạn: Palmanova là một thị trấn thuộc Italia, được UNESCO công nhận là một di sản thế giới, điểm độc đáo nhất ở đây chính là kiến trúc của thị trấn gợi nên hình ảnh đa giác đều 18 cạnh (hình h). Toàn bộ thị trấn như một tổ hợp các pháo đài có kiến trúc cổ kính ở bên trong kết hợp với tổng thể tạo nên vẻ đẹp kì diệu.

Trong thiết kế, công nghệ, chúng ta cũng dễ dàng nhận ra các vật thể mà cấu trúc của chúng có dạng hình phẳng đều. Các công trình hay máy móc muốn tồn tại, ổn định, bền vững và có được vẻ đẹp thì phải chú trọng đến tính cân xứng, đều đặn. Theo đó, hình phẳng đều thường được sử dụng, chẳng hạn: các viên gạch lát nền (Hình i) có dạng hình vuông; bề mặt của ốc và đai ốc (Hình k) có dạng lục giác đều; chiếc đĩa (Hình m) có dạng hình đa giác đều tám cạnh; ...