Tailieumoi.vn giới thiệu Giải bài tập Toán lớp 9 Bài 2: Phép quay chi tiết sách Toán 9 Tập 2 Cánh diều giúp học sinh xem và so sánh lời giải từ đó biết cách làm bài tập môn Toán 9. Mời các bạn đón xem:

Giải bài tập Toán 9 Bài 2: Phép quay

Khởi động trang 86 Toán 9 Tập 2: Bạn Ánh cắt một miếng bìa có dạng hình tròn tâm O, ghim miếng bìa đó lên bảng tại tâm O và gắn một đầu của chiếc kim vào tâm O của hình tròn (Hình 23).

Giả sử chiếc kim đi qua điểm A thuộc đường tròn (O). Bạn Ánh quay chiếc kim quanh điểm O, theo chiều kim đồng hồ, sao cho chiếc kim đi qua điểm B thuộc đường tròn (O) với cung AmB có số đo 60°.

Phép quay như trên biến một điểm M khác điểm O thành điểm nào?

Lời giải:

Sau bài học này, chúng ta sẽ trả lời được câu hỏi trên như sau:

Phép quay như trên biến một điểm M khác điểm O thành điểm M’ thuộc đường tròn (O; OM) sao cho tia OM quay thuận chiều kim đồng hồ đến tia OM’ thì điểm M tạo nên cung MM’ có số đo 60°.

I. Khái niệm

Hoạt động 1 trang 86 Toán 9 Tập 2: Cho điểm O cố định.

a) Xét điểm M tuỳ ý (khác điểm O) và đường tròn tâm O bán kính OM. Hãy tìm điểm M’ thuộc đường tròn (O; OM) sao cho chiều quay từ tia OM đến tia OM’ cùng chiều quay của kim đồng hồ và cung MnM’ có số đo 120°.

b) Xét điểm N tuỳ ý (khác điểm O) và đường tròn tâm O bán kính ON. Hãy tìm điểm N’ thuộc đường tròn (O; ON) sao cho chiều quay từ tia ON đến tia ON’ ngược chiều quay của kim đồng hồ và cung NpN’ có số đo 300°.

Lời giải:

a) ⦁ Vẽ đường tròn (O; OM).

⦁ Lấy điểm M’ thuộc (O; OM) sao cho chiều quay từ tia OM đến tia OM’ cùng chiều quay của kim đồng hồ. Xét đường tròn (O; ON) có $\widehat{MO{M}^{\text{'}}}$ là góc ở tâm chắn cung MnM’ nên $sđ\stackrel{⏜}{MnM’}=\widehat{MO{M}^{\text{'}}}=120°$ (Hình a).

b) ⦁ Vẽ đường tròn (O; ON).

⦁ Lấy điểm N’ thuộc (O; ON) sao cho chiều quay từ tia ON đến tia ON’ ngược chiều quay của kim đồng hồ. Xét đường tròn (O; ON) có $\widehat{NO{N}^{\text{'}}}$ là góc ở tâm chắn cung nhỏ NN’, mà $sđ\stackrel{⏜}{Np{N}^{\text{'}}}=300°$ nên $\widehat{NO{N}^{\text{'}}}=sđ\stackrel{⏜}{N{N}^{\text{'}}}=360°-sđ\stackrel{⏜}{Np{N}^{\text{'}}}=360°-300°=60°$ (Hình b).

Luyện tập trang 87 Toán 9 Tập 2: Cho hình vuông ABCD tâm O. Chỉ ra phép quay thuận chiều tâm O sao cho phép quay đó biến mỗi điểm A, B, C, D thành điểm đối xứng với nó qua tâm O.

Lời giải:

Điểm đối xứng của mỗi điểm A, B, C, D qua tâm O lần lượt là C, D, A, B.

Khi đó, phép quay thuận chiều 180° tâm O sẽ biến mỗi điểm A, B, C, D thành điểm đối xứng với nó qua tâm O.

II. Phép quay giữ nguyên hình đa giác đều

Hoạt động 2 trang 87 Toán 9 Tập 2: Cắt một miếng bìa có dạng hình lục giác đều A₁A₂A₃A₄A₅A₆ với tâm O và ghim miếng bìa đó lên bảng tại điểm O (Hình 27).

a) Quay miếng bìa đó theo phép quay thuận chiều 60° tâm O (Hình 28a). Hãy cho biết qua phép quay trên:

– Các điểm A₁, A₂, A₃, A₄, A₅, A₆ lần lượt quay đến vị trí mới là các điểm nào.

– Hình lục giác đều A₁A₂A₃A₄A₅A₆ sau khi quay đến một hình mới có trùng với chính nó hay không.

b) Quay miếng bìa đó theo phép quay ngược chiều 60° tâm O (Hình 28b). Hãy cho biết qua phép quay trên:

– Các điểm A₁, A₂, A₃, A₄, A₅, A₆ lần lượt quay đến vị trí mới là các điểm nào.

– Hình lục giác đều A₁A₂A₃A₄A₅A₆ sau khi quay đến một hình mới có trùng với chính nó hay không?

Lời giải:

a) Phép quay thuận chiều 60° tâm O biến các điểm A₁, A₂, A₃, A₄, A₅, A₆ lần lượt thành các điểm A₂, A₃, A₄, A₅, A₆, A₁.

Hình lục giác đều A₁A₂A₃A₄A₅A₆ sau khi quay đến một hình mới trùng với chính nó.

b) Phép quay ngược chiều 60° tâm O biến các điểm A₁, A₂, A₃, A₄, A₅, A₆ lần lượt thành các điểm A₆, A₁, A₂, A₃, A₄, A₅.

Hình lục giác đều A₁A₂A₃A₄A₅A₆ sau khi quay đến một hình mới trùng với chính nó.

Bài tập

Bài 1 trang 89 Toán 9 Tập 2: Cho hình vuông ABCD có tâm O (Hình 30).

Phép quay thuận chiều tâm O biến điểm A thành điểm D thì các điểm B, C, D tương ứng biến thành các điểm nào?

Lời giải:

Vì ABCD là hình vuông nên AC = BD, AC ⊥ BD tại O và O là trung điểm của AC, BD.

Do đó OA = OB = OC = OD và $\widehat{AOB}=\widehat{BOC}=\widehat{COD}=\widehat{DOA}=90°.$

Ta có góc được tạo bởi khi quay tia OA đến tia OD thuận chiều quay của kim đồng hồ là: $\widehat{AOB}+\widehat{BOC}+\widehat{COD}=90°+90°+90°=270°.$

Như vậy, phép quay thuận chiều 270° tâm O biến điểm A thành điểm D, biến các điểm B, C, D tương ứng thành các điểm A, B, C.

Bài 2 trang 89 Toán 9 Tập 2: Cho hình ngũ giác đều ABCDE có tâm O (Hình 31).

a) Phép quay ngược chiều tâm O biến điểm A thành điểm E thì các điểm B, C, D, E tương ứng biến thành các điểm nào?

b) Chỉ ra các phép quay tâm O giữ nguyên hình ngũ giác đều đã cho.

Lời giải:

a) Vì ngũ giác đều ABCDE có tâm O nên OA = OB = OC = OD = OE.

Vì ABCDE là ngũ giác đều nên AB = BC = CD = DE = EA.

Xét ∆OAB và ∆OBC có:

OA = OB, OB = OC, AB = BC.

Do đó ∆OAB = ∆OBC (c.c.c).

Chứng minh tương tự ta có

∆OAB = ∆OBC = ∆COD = ∆DOE = ∆EOA.

Suy ra $\widehat{AOB}=\widehat{BOC}=\widehat{COD}=\widehat{DOE}=\widehat{EOA}.$

Mà $\widehat{AOB}+\widehat{BOC}+\widehat{COD}+\widehat{DOE}+\widehat{EOA}=360°$

Do đó $5\widehat{AOB}=360°$

Suy ra $\widehat{AOB}=\widehat{BOC}=\widehat{COD}=\widehat{DOE}=\widehat{EOA}=\frac{360°}{5}=72°.$

Như vậy, phép quay ngược chiều 72° tâm O giữ nguyên điểm O, biến điểm A thành điểm E thuộc đường tròn (O; OA) sao cho tia OA quay ngược chiều kim đồng hồ đến tia OE, điểm A tạo nên cung AE có số đo 72°.

Khi đó, phép quay ngược chiều 72° tâm O biến các điểm B, C, D, E tương ứng thành các điểm A, B, C, D.

b) Các phép quay giữ nguyên hình ngũ giác đều ABCDE là:

⦁ Năm phép quay thuận chiều α° tâm O với α° lần lượt nhận các giá trị 72°; 144°; 216°; 288°; 360°.

⦁ Năm phép quay ngược chiều α° tâm O với α° lần lượt nhận các giá trị 72°; 144°; 216°; 288°; 360°.

Bài 3 trang 89 Toán 9 Tập 2: Cho hình đa giác đều có 8 cạnh ABCDEGHK với tâm O (Hình 32).

Chỉ ra các phép quay tâm O giữ nguyên hình đa giác đều đã cho.

Lời giải:

Hình đa giác đều ABCDEGHK có 8 cạnh nên ta có các phép quay thuận chiều α° tâm O và các phép quay ngược chiều α° tâm O, với α° lần lượt nhận các giá trị sau đây thì giữ nguyên đa giác đều đó:

Bài 4 trang 89 Toán 9 Tập 2: Vẽ trên giấy 18 hình tam giác đều bằng nhau và ở vị trí như Hình 33 (còn gọi là hình chong chóng).

a) Hãy đánh dấu 6 điểm mút của hình chong chóng sao cho 6 điểm mút đó là các đỉnh của một hình lục giác đều tâm O.

b) Hãy chỉ ra những phép quay tâm O giữ nguyên hình chong chóng.

Lời giải:

a)

b) Ta thấy rằng những phép quay tâm O giữ nguyên hình chong chóng chính là những phép quay tâm O giữ nguyên hình lục giác đều ABCDEG. Đó là các phép quay thuận chiều α° tâm O và các phép quay ngược chiều α° tâm O, với α° lần lượt nhận các giá trị sau đây:

Xem thêm các bài giải bài tập Toán lớp 9 Cánh diều hay, chi tiết khác:

§1. Đa giác đều. Hình đa giác đều trong thực tiễn

§2. Phép quay

Bài tập cuối chương 9

§1. Hình trụ

§2. Hình nón

§3. Hình cầu

Lý thuyết Phép quay

1. Khái niệm

Cho điểm O cố định và số thực α.

– Phép quay thuận chiều α° (0° < α° < 360°) tâm O giữ nguyên điểm O, biến điểm M (khác điểm O) thành điểm M’ thuộc đường tròn (O; OM) sao cho tia OM quay thuận chiều kim đồng hồ đến tia OM’ thì điểm M tạo nên cung MnM’ có số đo α° (Hình a).

– Phép quay ngược chiều α° (0° < α° < 360°) tâm O được phát biểu tương tự (Hình b).

Chú ý: Phép quay 0° và phép quay 360° giữ nguyên mọi điểm.

Ví dụ 1. Cho hình vuông ABCD tâm O.

a) Chỉ ra phép quay thuận chiều tâm O sao cho phép quay đó biến các điểm A, B, C, D theo thứ tự thành các điểm B, C, D, A.

b) Phép quay ngược chiều 180° tâm O biến các điểm A, B, C, D thành các điểm nào?

Hướng dẫn giải

a) Vì ABCD là hình vuông nên AC ⊥ BD tại O.

Phép quay thuận chiều 90° tâm O biến các điểm A, B, C, D theo thứ tự thành các điểm B, C, D, A.

b) Phép quay ngược chiều 180° tâm O biến các điểm A, B, C, D theo thứ tự thành các điểm C, D, A, B.

2. Phép quay giữ nguyên hình đa giác đều

– Cho hình đa giác đều A₁A₂...A_n (n ≥ 3, n ∈ ℕ) có tâm O. Phép quay giữ nguyên hình đa giác đều A₁A₂...A_n là phép quay tâm O biến mỗi đỉnh của hình đa giác đều thành một đỉnh của hình đa giác đều đó.

– Các phép quay giữ nguyên hình đa giác đều A₁A₂...A_n (n ≥ 3, n ∈ ℕ) với tâm O là các phép quay thuận chiều α° tâm O và các phép quay ngược chiều α° tâm O, với α° lần lượt nhận các giá trị

${\alpha }_1^o=\frac{360°}{n};{\alpha }_2^o=\frac{2\cdot 360°}{n};\mathrm{...};{\alpha }_n^o=\frac{n\cdot 360°}{n}=360°.$

Ví dụ 2. Cho tam giác ABC đều nội tiếp đường tròn (O). Chỉ ra các phép quay giữ nguyên tam giác ABC.

Hướng dẫn giải

Các phép quay giữ nguyên tam giác ABC là:

⦁ Ba phép quay thuận chiều α° tâm O với α° lần lượt nhận các giá trị:

${\alpha }_1^o=\frac{360°}{3}=120°;{\alpha }_2^o=\frac{2\cdot 360°}{3}=240°;{\alpha }_3^o=\frac{3\cdot 360°}{3}=360°.$

⦁ Ba phép quay ngược chiều α° tâm O với α° lần lượt nhận các giá trị:

${\alpha }_1^o=\frac{360°}{3}=120°;{\alpha }_2^o=\frac{2\cdot 360°}{3}=240°;{\alpha }_3^o=\frac{3\cdot 360°}{3}=360°.$