Với giải Bài 8 trang 37 Chuyên đề Toán 12 Cánh diều chi tiết trong Bài 2: Vận dụng đạo hàm để giải quyết một số bài toán tối ưu trong thực tiễn giúp học sinh dễ dàng xem và so sánh lời giải từ đó biết cách làm bài tập Chuyên đề Toán 12. Mời các bạn đón xem:

Giải Chuyên đề Toán 12 Bài 2: Vận dụng đạo hàm để giải quyết một số bài toán tối ưu trong thực tiễn

Bài 8 trang 37 Chuyên đề Toán 12: Một doanh nghiệp dự định sản xuất các hộp đựng nước giải khát có dạng hình trụ với dung tích là 500 cm³ (Hình 5). Hãy tính bán kính đáy và chiều cao của chiếc hộp để diện tích vỏ hộp là nhỏ nhất (Hình 6).

Lời giải:

Chiều cao h của hộp đựng nước có dạng hình trụ là: $h=\frac{500}{\pi r^2}$ (cm).

Diện tích mặt đáy của hộp đựng nước là: S_đáy = πr² (cm²).

Diện tích xung quanh của hộp đựng nước là:

$S_{xq}=2\pi rh=2\pi r\cdot \frac{500}{\pi r^2}=\frac{1000}{r}$ (cm²).

Diện tích vỏ hộp (diện tích toàn phần tất cả các mặt của hộp) là:

$S=2\pi r^2+\frac{1000}{r}{\text{ (cm}}^2\text{).}$

Xét hàm số $S\left(r\right)=2\pi r^2+\frac{1000}{r},$ r ∈ (0; +∞).

Ta có $S^{\text{'}}\left(r\right)=4\pi r-\frac{1000}{r^2}.$

Do đó $S^{\text{'}}\left(r\right)=0\iff 4\pi r-\frac{1000}{r^2}=0\iff r^3=\frac{1000}{4\pi }\iff r=\frac{10}{\sqrt[3]{4\pi }}.$

Bảng biến thiên của hàm số:

Căn cứ bảng biến thiên, ta có $\underset{\left(0;+\infty \right)}{\min }S\left(r\right)\approx 348,73$ tại $r=\frac{10}{\sqrt[3]{4\pi }}.$

Vậy để diện tích vỏ hộp là nhỏ nhất thì bán kính của chiếc hộp là $r=\frac{10}{\sqrt[3]{4\pi }}\text{ (cm)}$ và chiều cao của chiếc hộp là $h=\frac{500}{\pi {\left(\frac{10}{\sqrt[3]{4\pi }}\right)}^2}=\frac{500}{\pi \cdot \frac{100}{{\left(\sqrt[3]{4\pi }\right)}^2}}=\frac{5{\left(\sqrt[3]{4\pi }\right)}^2}{\pi }\text{ (cm).}$