Với giải Bài 7 trang 37 Chuyên đề Toán 12 Cánh diều chi tiết trong Bài 2: Vận dụng đạo hàm để giải quyết một số bài toán tối ưu trong thực tiễn giúp học sinh dễ dàng xem và so sánh lời giải từ đó biết cách làm bài tập Chuyên đề Toán 12. Mời các bạn đón xem:

Giải Chuyên đề Toán 12 Bài 2: Vận dụng đạo hàm để giải quyết một số bài toán tối ưu trong thực tiễn

Bài 7 trang 37 Chuyên đề Toán 12: Trong một phản ứng hoá học, lượng khí CO₂ thoát ra V(t) được tính theo thời gian t bằng công thức:

$V\left(t\right)=\frac{0,2k_1}{k_1-k_2}\left(e^{-k_{2}t}-e^{-k_{1}t}\right),$

trong đó V(t) được tính theo đơn vị mililít và t được tính theo đơn vị giây; k₁, k₂ là các hằng số sao cho k₁ > k₂ > 0 (Nguồn: John W. Cell, Engineering Problems Illustrating Mathematics, McGraw-Hill Book Company, Inc. New York and London, 1943).

Lượng khí CO₂ thoát ra trong phản ứng đó có giá trị lớn nhất là bao nhiêu?

Lời giải:

Xét hàm số $V\left(t\right)=\frac{0,2k_1}{k_1-k_2}\left(e^{-k_{2}t}-e^{-k_{1}t}\right),$ với k₁ > k₂ > 0 và t ∈ (0; +∞).

Ta có $V^{\text{'}}\left(t\right)=\frac{0,2k_1}{k_1-k_2}\left(-k_2{e}^{-k_{2}t}+k_1{e}^{-k_{1}t}\right).$

Do đó $V^{\text{'}}\left(t\right)=0\iff \frac{0,2k_1}{k_1-k_2}\left(-k_2{e}^{-k_{2}t}+k_1{e}^{-k_{1}t}\right)=0\iff k_2{e}^{-k_{2}t}=k_1{e}^{-k_{1}t}$

$\iff e^{\left(k_2-k_1\right)t}=\frac{k_2}{k_1}\iff \left(k_2-k_1\right)t=\ln \left(\frac{k_2}{k_1}\right)\iff t=\frac{\ln \left(\frac{k_2}{k_1}\right)}{k_2-k_1}.$

Đặt $t_0=\frac{\ln \left(\frac{k_2}{k_1}\right)}{k_2-k_1}.$

Bảng biến thiên của hàm số:

Căn cứ bảng biến thiên, ta có $\underset{\left(0;+\infty \right)}{\max }V\left(t\right)=V\left(t_0\right)=\frac{0,2k_1}{k_1-k_2}\left[{\left(\frac{k_2}{k_1}\right)}^{-\frac{k_2}{k_2-k_1}}-{\left(\frac{k_2}{k_1}\right)}^{-\frac{k_1}{k_2-k_1}}\right]$ tại $t=t_0=\frac{\ln \left(\frac{k_2}{k_1}\right)}{k_2-k_1}.$

Vậy lượng khí CO₂ thoát ra trong phản ứng đó có giá trị lớn nhất là $\frac{0,2k_1}{k_1-k_2}\left[{\left(\frac{k_2}{k_1}\right)}^{-\frac{k_2}{k_2-k_1}}-{\left(\frac{k_2}{k_1}\right)}^{-\frac{k_1}{k_2-k_1}}\right]$ (mililít).