Với giải Bài 4 trang 36 Chuyên đề Toán 12 Cánh diều chi tiết trong Bài 2: Vận dụng đạo hàm để giải quyết một số bài toán tối ưu trong thực tiễn giúp học sinh dễ dàng xem và so sánh lời giải từ đó biết cách làm bài tập Chuyên đề Toán 12. Mời các bạn đón xem:

Giải Chuyên đề Toán 12 Bài 2: Vận dụng đạo hàm để giải quyết một số bài toán tối ưu trong thực tiễn

Bài 4 trang 36 Chuyên đề Toán 12: Một con cá hồi bơi ngược dòng để vượt một khoảng cách là 300 km. Vận tốc dòng nước là 6 km/h. Nếu vận tốc bơi của cá khi nước đứng yên là v (km/h) thì năng lượng tiêu hao của cá trong t giờ được cho bởi công thức

E(v) = cv³t,

trong đó c là một hằng số, E được tính bằng jun. Tìm vận tốc bơi của cá khi nước đứng yên để năng lượng tiêu hao là ít nhất (Nguồn: Giải tích 12 Nâng cao, NXBGD Việt Nam, 2020).

Lời giải:

Vận tốc của con cá hồi khi bơi ngược dòng là: v – 6 (km/h).

Thời gian để con cá hồi đó khi bơi ngược dòng 300 km là: $\frac{300}{v-6}$ (giờ).

Năng lượng tiêu hao của cá để vượt quãng đường 300 km là:

$E\left(v\right)=c{v}^3\cdot \frac{300}{v-6}=300c\cdot \frac{v^3}{v-6}$ (jun).

Xét hàm số $E\left(v\right)=300c\cdot \frac{v^3}{v-6},v>6.$

Ta có $E^{\text{'}}\left(v\right)=300c\cdot \frac{3v^2\left(v-6\right)-v^3}{{\left(v-6\right)}^2}=300c\cdot \frac{2v^3-18v^2}{{\left(v-6\right)}^2}=300c\cdot \frac{2v^2\left(v-9\right)}{{\left(v-6\right)}^2}.$

Do đó E’(v) = 0 ⇔ v = 0 (không thỏa mãn) hoặc v = 9 (thỏa mãn do v > 0).

Bảng biến thiên của hàm số:

Căn cứ bảng biến thiên, ta có $\underset{\left(6;+\infty \right)}{\min }E\left(v\right)=E\left(9\right)=72900$ tại v = 9.

Vậy vận tốc bơi của cá khi nước đứng yên để năng lượng tiêu hao là ít nhất là 9 km/h.