Với giải Bài 9 trang 37 Chuyên đề Toán 12 Cánh diều chi tiết trong Bài 2: Vận dụng đạo hàm để giải quyết một số bài toán tối ưu trong thực tiễn giúp học sinh dễ dàng xem và so sánh lời giải từ đó biết cách làm bài tập Chuyên đề Toán 12. Mời các bạn đón xem:

Giải Chuyên đề Toán 12 Bài 2: Vận dụng đạo hàm để giải quyết một số bài toán tối ưu trong thực tiễn

Bài 9 trang 37 Chuyên đề Toán 12: Một lò xo được làm từ một sợi dây kim loại. Gọi d là đường kính (trung bình) của sợi dây kim loại và D là đường kính (trung bình) của lò xo (Hình 7). Khi lò xo để thẳng đứng trên mặt đất thì nó bị nén lại bởi trọng lượng P của lò xo, vật chất trong dây kim loại chịu ứng suất lớn nhất S tại các điểm trên bề mặt sợi dây mà khoảng cách từ những điểm đó đến đường tâm của lò xo là nhỏ nhất.

Biết rằng S được cho bởi công thức:

$S=\frac{8PD}{\pi d^3}\left[\frac{\frac{4D}{d}-1}{4\left(\frac{D}{d}-1\right)}+\frac{0,615d}{D}\right].$

(Nguồn: John W. Cell, Engineering Problems Illustrating Mathematics,

McGraw-Hill Book Company, Inc. New York and London, 1943).

a) Giả sử sợi dây kim loại là cố định. Hỏi ta phải cuộn sợi dây kim loại đó thành lò xo với đường kính D bằng bao nhiêu để ứng xuất S là nhỏ nhất?

b) Giả sử lò xo có đường kính D cố định. Hỏi ta phải chọn loại dây kim loại với đường kính d bằng bao nhiêu để ứng xuất S là nhỏ nhất?

Lời giải:

a) Khi sợi dây kim loại cố định thì d và P là các hằng số.

Khi đó, ta có hàm số:

$S\left(a\right)=\frac{8Pa}{\pi d^2}\left[\frac{4a-1}{4\left(a-1\right)}+\frac{0,615}{a}\right]=\frac{8P}{\pi d^2}\left[\frac{4a^2-a}{4\left(a-1\right)}+0,615\right],$ với a > 0.

Ta có:

Do đó S’(a) = 0 ⇔ 4a² – 8a + 1 = 0

$\iff a=\frac{2-\sqrt{3}}{2}$ hoặc $a=\frac{2+\sqrt{3}}{2}.$

Bảng biến thiên của hàm số:

Căn cứ bảng biến thiên, ta có $\underset{\left(0;+\infty \right)}{\min }S\left(a\right)=S\left(\frac{2+\sqrt{3}}{2}\right)$ tại $a=\frac{2+\sqrt{3}}{2}$ hay $\frac{D}{d}=\frac{2+\sqrt{3}}{2}$ suy ra $D=\frac{\left(2+\sqrt{3}\right)d}{2}.$

Vậy ta phải cuộn sợi dây kim loại đó thành lò xo với đường kính $D=\frac{\left(2+\sqrt{3}\right)d}{2}$ để ứng xuất S là nhỏ nhất.

b) Với d > 0 ta có:

$S\left(d\right)=\frac{8PD}{\pi d^3}\left[\frac{\frac{4D}{d}-1}{4\left(\frac{D}{d}-1\right)}+\frac{0,615d}{D}\right]=\frac{8P}{\pi D^2}\cdot {\left(\frac{D}{d}\right)}^3\cdot \left[\frac{4\cdot \frac{D}{d}-1}{4\left(\frac{D}{d}-1\right)}+0,615\cdot \frac{d}{D}\right].$

Đặt $a=\frac{D}{d},$ ta có hàm số:

Do đó S’(a) = 0 ⇔ 12a⁴ – 13,08a³ – 6,84a² + 4,92a = 0

⇔ a ≈ 1,285 hoặc a ≈ 0,476 (do a > 0).

Bảng biến thiên của hàm số:

Căn cứ bảng biến thiên, ta có $\underset{\left(0;+\infty \right)}{\min }S\left(a\right)=S\left(1,285\right)$ tại a ≈ 1,285 hay $\frac{D}{d}\approx 1,285$ suy ra $d\approx \frac{D}{1,285}.$

Vậy ta phải chọn loại dây kim loại với đường kính $d\approx \frac{D}{1,285}$ để ứng xuất S là nhỏ nhất.