Với giải Bài 2 trang 35 Chuyên đề Toán 12 Cánh diều chi tiết trong Bài 2: Vận dụng đạo hàm để giải quyết một số bài toán tối ưu trong thực tiễn giúp học sinh dễ dàng xem và so sánh lời giải từ đó biết cách làm bài tập Chuyên đề Toán 12. Mời các bạn đón xem:

Giải Chuyên đề Toán 12 Bài 2: Vận dụng đạo hàm để giải quyết một số bài toán tối ưu trong thực tiễn

Bài 2 trang 35 Chuyên đề Toán 12: Hình 4 minh hoạ một màn hình BC có chiều cao 1,4 m được đặt thẳng đứng và mép dưới của màn hình cách mặt đất một khoảng BA = 1,8 m. Một chiếc đèn quan sát màn hình được đặt ở vị trí O trên mặt đất. Hãy tính khoảng cách AO sao cho góc quan sát BOC là lớn nhất.

Lời giải:

Cách 1. Để góc quan sát BOC là lớn nhất thì $\cos \widehat{BOC}$ là nhỏ nhất.

Giả sử AO = x (m) (x > 0).

Do đó f’(x) = 0 ⇔ 1,96x³ – 11,2896x = 0 ⇔ x = 2,4 (vì x > 0).

Bảng biến thiên của hàm số:

Căn cứ bảng biến thiên, ta có $\underset{\left(0;+\infty \right)}{\min }f\left(x\right)=f\left(2,4\right)=0,96$ tại x = 2,4.

Vậy để góc quan sát BOC là lớn nhất thì khoảng cách AO là 2,4 mét.

Cách 2. Để góc quan sát BOC là lớn nhất thì $\tan \widehat{BOC}$ là lớn nhất.

Giả sử AO = x (m) (x > 0).

Ta có $\tan \widehat{BOC}=\tan \left(\widehat{AOC}-\widehat{AOB}\right)=\frac{\tan \widehat{AOC}-\tan \widehat{AOB}}{1+\tan \widehat{AOC}\cdot \tan \widehat{AOB}}$

$=\frac{\frac{AC}{AO}-\frac{AB}{AO}}{1+\frac{AC}{AO}\cdot \frac{AB}{AO}}=\frac{\frac{1,4}{x}}{1+\frac{1,8+1,4}{x}\cdot \frac{1,8}{x}}=\frac{1,4x}{x^2+5,76}.$

Xét hàm số $f\left(x\right)=\frac{1,4x}{x^2+5,76},x\in \left(0;+\infty \right).$

Ta có: $f^{\text{'}}\left(x\right)=\frac{1,4\cdot \left(x^2+5,76\right)-1,4x\cdot 2x}{{\left(x^2+5,76\right)}^2}=\frac{-1,4x^2+8,064}{{\left(x^2+5,76\right)}^2}.$

Do đó f’(x) = 0 ⇔ x = 2,4 (do x > 0).

Bảng biến thiên của hàm số:

Căn cứ bảng biến thiên, ta có $\underset{\left(0;+\infty \right)}{\min }f\left(x\right)=f\left(2,4\right)=\frac{7}{24}$ tại x = 2,4.

Vậy để góc quan sát BOC là lớn nhất thì khoảng cách AO là 2,4 mét.