Trả lời nhanh
Nhà máy sản xuất xe đạp. Lợi nhuận mỗi ngày là G(x) = −0,02x3 + 3x2 − 52x − 2 400 (€) với x ∈ [0; 130]. Vì G(x) = −0,02(x − 50)(x − 120)(x + 20), nhà máy có lãi khi sản xuất từ 51 đến 119 xe mỗi ngày; lợi nhuận lớn nhất là 2 640 € khi sản xuất 90 xe; nếu chạy hết công suất 130 xe thì đơn giá phải lớn hơn 1 800/13 ≈ 138,46 € mới có lãi.
Tóm tắt đề bài
Đây là bài 5 trang 36 trong Chuyên đề học tập Toán 12 Cánh diều, thuộc bài vận dụng đạo hàm để giải bài toán tối ưu trong thực tiễn. Dữ kiện chính:
- Mỗi xe đạp bán với giá 120 €; mỗi ngày sản xuất tối đa 130 xe và bán hết trong ngày.
- Chi phí sản xuất x xe trong một ngày: K(x) = 0,02x3 − 3x2 + 172x + 2 400 (€).
- Yêu cầu: a) vẽ đồ thị lợi nhuận G(x) trên [0; 130]; b) tìm số xe để có lãi; c) tìm số xe để lợi nhuận lớn nhất; d) nếu sản xuất đủ 130 xe/ngày thì phải chọn đơn giá bao nhiêu để có lãi.
Lời giải chi tiết
a) Lập hàm lợi nhuận và vẽ đồ thị
Doanh thu một ngày: P(x) = 120x (€). Lợi nhuận bằng doanh thu trừ chi phí:
G(x) = 120x − (0,02x3 − 3x2 + 172x + 2 400) = −0,02x3 + 3x2 − 52x − 2 400, x ∈ [0; 130].
Đạo hàm: G′(x) = −0,06x2 + 6x − 52. Nhân hai vế phương trình G′(x) = 0 với −50 được 3x2 − 300x + 2 600 = 0, có Δ′ = 1502 − 3·2 600 = 14 700, nên
x = (150 ± √14 700) : 3 = 50 ± 70√3/3, tức x1 ≈ 9,59 và x2 ≈ 90,41 (cả hai thuộc [0; 130]).
| x | 0 | x1 ≈ 9,59 | x2 ≈ 90,41 | 130 |
|---|---|---|---|---|
| G′(x) | − | 0 | 0 | − |
| Chiều biến thiên | giảm từ −2 400 | cực tiểu ≈ −2 640,4 | cực đại ≈ 2 640,4 | giảm về −2 400 |
Trên (x1; x2) thì G′(x) > 0 nên G đồng biến; trên [0; x1) và (x2; 130] thì G′(x) < 0 nên G nghịch biến. Một số giá trị để vẽ: G(0) = −2 400; G(20) = −2 400; G(40) = −960; G(50) = 0; G(60) = 960; G(80) = 2 400; G(90) = 2 640; G(100) = 2 400; G(120) = 0; G(130) = −2 400.
Nhận xét: đồ thị đối xứng qua điểm uốn (50; 0), vì G″(x) = −0,12x + 6 = 0 tại x = 50. Đó là lí do giá trị cực đại và cực tiểu có độ lớn bằng nhau.
b) Số xe cần sản xuất để nhà máy có lãi
Nhận thấy G(50) = 0 nên x = 50 là một nghiệm; chia đa thức và phân tích được
G(x) = −0,02(x − 50)(x − 120)(x + 20).
Với x ∈ [0; 130] thì x + 20 > 0 và −0,02 < 0, nên G(x) > 0 ⇔ (x − 50)(x − 120) < 0 ⇔ 50 < x < 120. Vì x là số xe nên x nguyên: nhà máy có lãi khi sản xuất từ 51 đến 119 xe mỗi ngày. Sản xuất đúng 50 hoặc 120 xe thì hòa vốn (lợi nhuận bằng 0).
c) Số xe để lợi nhuận lớn nhất
Trên [0; 130], G đạt giá trị lớn nhất tại x2 ≈ 90,41 (so sánh với G(0) = G(130) = −2 400 ở hai đầu mút). Nhưng số xe phải là số nguyên, nên ta so sánh hai số nguyên gần nhất:
- G(90) = −14 580 + 24 300 − 4 680 − 2 400 = 2 640 (€);
- G(91) ≈ 2 639,58 (€).
Vậy mỗi ngày nên sản xuất 90 xe, lợi nhuận lớn nhất là 2 640 €.
d) Đơn giá khi chạy hết công suất 130 xe/ngày
Chi phí khi sản xuất 130 xe: K(130) = 0,02·2 197 000 − 3·16 900 + 172·130 + 2 400 = 43 940 − 50 700 + 22 360 + 2 400 = 18 000 (€).
Gọi y (€) là đơn giá mới. Lợi nhuận là 130y − 18 000 > 0 ⇔ y > 18 000 : 130 = 1 800/13 ≈ 138,46. Vậy đơn giá phải lớn hơn khoảng 138,46 €; nếu đơn giá lấy theo số euro tròn thì tối thiểu là 139 € (khi đó lãi 130·139 − 18 000 = 70 €).
Phương pháp chung cho bài toán tối ưu lợi nhuận
- Đặt ẩn và điều kiện: x là số sản phẩm, thường x nguyên và nằm trong đoạn [0; công suất tối đa].
- Lập hàm mục tiêu: lợi nhuận = doanh thu − chi phí, với doanh thu = đơn giá × số lượng.
- Khảo sát trên đoạn: tính đạo hàm, tìm các điểm tới hạn thuộc đoạn, rồi so sánh giá trị hàm số tại các điểm đó và tại hai đầu mút.
- Quay về điều kiện thực tế: nếu điểm tối ưu không nguyên, so sánh giá trị tại hai số nguyên liền kề.
- Trả lời đúng câu hỏi: đề hỏi số lượng thì trả lời số lượng, hỏi lợi nhuận thì trả lời giá trị lớn nhất, kèm đơn vị.
Sai lầm thường gặp: quên trừ chi phí cố định 2 400 € khi lập G(x); kết luận x = 90,41 xe mà không làm tròn hợp lí; chỉ xét điểm cực đại mà bỏ qua giá trị ở đầu mút; ở câu d) tiếp tục dùng giá 120 € thay vì đặt ẩn đơn giá mới.
Bài tập tương tự có đáp án
Bài 1. Với hàm chi phí K(x) ở trên, mỗi ngày sản xuất bao nhiêu xe thì chi phí trung bình cho một xe thấp nhất?
Đáp án: Chi phí trung bình A(x) = K(x)/x = 0,02x2 − 3x + 172 + 2 400/x. A′(x) = 0,04x − 3 − 2 400/x2 = 0 có nghiệm x ≈ 83,59 trên (0; 130]. So sánh A(83) ≈ 89,70 và A(84) ≈ 89,69, nên sản xuất 84 xe, chi phí trung bình khoảng 89,69 €/xe.
Bài 2. Một cửa hàng bán x sản phẩm với giá mỗi sản phẩm là 200 − 0,5x (nghìn đồng), chi phí 40x + 3 000 (nghìn đồng). Tìm x để lợi nhuận lớn nhất.
Đáp án: L(x) = x(200 − 0,5x) − 40x − 3 000 = −0,5x2 + 160x − 3 000; L′(x) = −x + 160 = 0 ⇔ x = 160. Lợi nhuận lớn nhất L(160) = 9 800 nghìn đồng.
Bài 3. Từ tấm bìa hình vuông cạnh 60 cm, cắt ở bốn góc bốn hình vuông cạnh x cm rồi gấp thành hộp không nắp. Tìm x để thể tích hộp lớn nhất.
Đáp án: V(x) = x(60 − 2x)2 với 0 < x < 30; V′(x) = (60 − 2x)(60 − 6x) = 0 ⇔ x = 10 (nhận) hoặc x = 30 (loại). Thể tích lớn nhất V(10) = 16 000 cm3.
Câu hỏi thường gặp
Lợi nhuận lớn nhất của nhà máy xe đạp là bao nhiêu?
Lợi nhuận lớn nhất là 2 640 € mỗi ngày, đạt được khi nhà máy sản xuất 90 xe đạp.
Vì sao không trả lời 90,41 xe?
Số xe phải là số nguyên, nên ta so sánh G(90) = 2 640 và G(91) ≈ 2 639,58 rồi chọn 90 xe.
Sản xuất bao nhiêu xe thì nhà máy hòa vốn?
Nhà máy hòa vốn khi sản xuất 50 hoặc 120 xe mỗi ngày, vì G(50) = G(120) = 0.
Bài toán nhà máy xe đạp thuộc sách nào?
Đây là bài 5 trang 36 Chuyên đề học tập Toán 12 Cánh diều, bài vận dụng đạo hàm để giải quyết bài toán tối ưu trong thực tiễn.