Với giải Bài 5 trang 36 Chuyên đề Toán 12 Cánh diều chi tiết trong Bài 2: Vận dụng đạo hàm để giải quyết một số bài toán tối ưu trong thực tiễn giúp học sinh dễ dàng xem và so sánh lời giải từ đó biết cách làm bài tập Chuyên đề Toán 12. Mời các bạn đón xem:

Giải Chuyên đề Toán 12 Bài 2: Vận dụng đạo hàm để giải quyết một số bài toán tối ưu trong thực tiễn

Bài 5 trang 36 Chuyên đề Toán 12: Một nhà máy sản xuất xe đạp cho thị trường châu Âu theo đơn giá 120 euro (€). Chi phí mỗi ngày của nhà máy được cho bởi hàm số

K(x) = 0,02x³ – 3x² + 172x + 2 400,

trong đó x là số lượng xe đạp sản xuất được trong ngày hôm đó. Mỗi ngày có thể sản xuất tối đa 130 xe đạp. Giả sử số xe đạp sản xuất được trong mỗi ngày đều được bán hết vào cuối ngày đó.

Gọi G(x) là hàm số biểu diễn lợi nhuận hàng ngày của nhà máy (Nguồn: A. Bigalke et al., Mathematik, Grundkurs ma-1, Cornelsen 2010).

a) Vẽ đồ thị hàm số G(x) trên đoạn [0; 130].

b) Số lượng xe mỗi ngày cần sản xuất là bao nhiêu chiếc để nhà máy có lãi?

c) Số lượng xe mỗi ngày cần sản xuất là bao nhiêu chiếc để nhà máy có lợi nhuận lớn nhất?

d) Giả sử nhà máy quyết định tận dụng tối đa công suất sản xuất 130 xe đạp mỗi ngày. Nhà máy phải chọn đơn giá là bao nhiêu để có lãi?

Lời giải:

a) Doanh thu một ngày của nhà máy sản xuất là: P(x) = 120x (€), x ∈ [0; 130].

Lợi nhuận một ngày của nhà máy là:

G(x) = P(x) – K(x) = 120x – (0,02x³ – 3x² + 172x + 2 400)

= –0,02x³ + 3x² – 52x – 2 400 (€).

Vẽ đồ thị hàm số G(x) trên đoạn [0; 130]:

⦁ Ta có G’(x) = –0,06x² + 6x – 52.

G’(x) = 0 ⇔ x ≈ 9,6 hoặc x ≈ 90,4.

Bảng biến thiên:

Hàm số nghịch biến trên [0; 9,6) và (90,4; 130]; đồng biến trên khoảng (9,6; 90,4).

⦁ Trên đoạn [0; 130], đồ thị hàm số cắt trục hoành tại các điểm (50; 0) và (120; 0); đồ thị cắt trục tung tại điểm (0; –2 400).

Vậy đồ thị hàm số G(x) trên đoạn [0; 130] được cho như hình dưới đây:

b) Để nhà máy có lãi thì G(x) > 0.

Từ đồ thị hàm số ở câu a, ta có G(x) > 0 ⇔ x ∈ (50; 120).

Mà số lượng xe là số tự nhiên nên x ∈ ℕ, do đó x ∈ [51; 119].

Vậy mỗi ngày nhà máy cần sản xuất từ 51 đến 119 chiếc xe để có lãi.

c) Từ bảng biến thiên của hàm số G(x) ở câu a, ta có G(x) đạt giá trị lớn nhất khi và chỉ khi x ≈ 90,4.

Ta có G(90) = 2 640 và G(91) = 2 639,58 nên G(90) > G(91).

Vậy để nhà máy có lợi nhuận lớn nhất thì mỗi ngày cần sản xuất 90 chiếc xe.

d) Chi phí mỗi ngày của nhà máy khi sản xuất 130 chiếc xe là:

K(130) = 0,02.130³ – 3.130² + 172.130 + 2 400 = 18 000 (€).

Gọi y là đơn giá nhà máy bán ra thị trường, khi đó doanh thu nhà máy thu được là:

P(y) = 130y (€).

Lợi nhuận nhà máy thu được là: G(y) = P(y) – K(130) = 130y – 18 000 (€).

Để nhà máy có lãi thì G(y) > 0 ⇔ 130y – 18 000 > 0 ⇔ x > $\frac{1800}{3}$ ≈ 138, 46.

Vậy để nhà máy có lãi thì cần chọn đơn giá lớn hơn 138,46 euro.