Với giải Bài 6 trang 36 Chuyên đề Toán 12 Cánh diều chi tiết trong Bài 2: Vận dụng đạo hàm để giải quyết một số bài toán tối ưu trong thực tiễn giúp học sinh dễ dàng xem và so sánh lời giải từ đó biết cách làm bài tập Chuyên đề Toán 12. Mời các bạn đón xem:

Giải Chuyên đề Toán 12 Bài 2: Vận dụng đạo hàm để giải quyết một số bài toán tối ưu trong thực tiễn

Bài 6 trang 36 Chuyên đề Toán 12: Một nhà máy sản xuất một loại sản phẩm cho thị trường Mỹ. Biết rằng:

– Chi phí cho các công việc hành chính chung của nhà máy là 90 đô la Mỹ (USD)/1 ngày.

– Chi phí sản xuất là 0,09 USD/1 sản phẩm.

– Các loại chi phí khác trong mỗi một ngày là $\frac{x^2}{10000}$ (USD), trong đó x là số sản phẩm nhà máy sản xuất được trong ngày hôm đó.

a) Tính tổng chi phí U(x) của mỗi một sản phẩm.

b) Tìm x sao cho U(x) nhận giá trị nhỏ nhất.

Lời giải:

a) Chi phí cho các công việc hành chính chung trong một ngày của nhà máy cho mỗi sản phẩm là: $\frac{90}{x}$ (USD).

Các loại chi phí khác trong một ngày của nhà máy cho mỗi sản phẩm là: $\frac{x}{10000}$ (USD).

Tổng chi phí cho mỗi một sản phẩm là: $U\left(x\right)=\frac{90}{x}+0,09+\frac{x}{10000}$ (USD).

b) Xét hàm số $U\left(x\right)=\frac{90}{x}+0,09+\frac{x}{10000}$ trên [1; +∞).

Ta có: $U^{\text{'}}\left(x\right)=-\frac{90}{x^2}+\frac{1}{10000}.$

Do đó $U^{\text{'}}\left(x\right)=0\iff -\frac{90}{x^2}+\frac{1}{10000}=0\iff x^2=900000\iff x\approx 948,7$ (do x > 0).

Bảng biến thiên của hàm số:

Căn cứ bảng biến thiên, ta có $\underset{\left[1;+\infty \right)}{\min }U\left(x\right)\approx 0,280$ tại x ≈ 948,7.

Ta có U(948) ≈ 0,2797367089 và U(949) ≈ 0,2797366702 nên U(948) > U(947).

Vậy x = 947 thì U(x) nhận giá trị nhỏ nhất.