Với giải Luyện tập - vận dụng 1 trang 31 Chuyên đề Toán 12 Cánh diều chi tiết trong Bài 2: Vận dụng đạo hàm để giải quyết một số bài toán tối ưu trong thực tiễn giúp học sinh dễ dàng xem và so sánh lời giải từ đó biết cách làm bài tập Chuyên đề Toán 12. Mời các bạn đón xem:

Giải Chuyên đề Toán 12 Bài 2: Vận dụng đạo hàm để giải quyết một số bài toán tối ưu trong thực tiễn

Luyện tập - vận dụng 1 trang 31 Chuyên đề Toán 12: Một nhà máy cần sản xuất một bể nước không nắp bằng tôn có dạng hình hộp chữ nhật với đáy có chiều dài gấp hai lần chiều rộng và thể tích là $\frac{4}{3}{\text{\hspace{0.17em}\hspace{0.17em}m}}^3.$ Tính chiều rộng của đáy hình hộp chữ nhật đó sao cho số tôn cần sử dụng là nhỏ nhất.

Lời giải:

Gọi chiều rộng của đáy hình hộp chữ nhật đó là x (m) (x > 0).

Chiều dài của đáy hình hộp chữ nhật đó là 2x (m).

Chiều cao của hình hộp chữ nhật đó là: $\frac{\frac{4}{3}}{x\cdot 2x}=\frac{2}{3x^2}$ (m).

Diện tích đáy hình hộp chữ nhật đó là: x.2x = 2x² (m²).

Diện tích xung quanh hình hộp chữ nhật đó là: $2\cdot \left(x+2x\right)\cdot \frac{2}{3x^2}=\frac{4}{x}$ (m²).

Diện tích tôn cần sử dụng là: $2x^2+\frac{4}{x}$ (m²).

Xét hàm số $f\left(x\right)=2x^2+\frac{4}{x},x\in \left(0;+\infty \right).$

Ta có $f^{\text{'}}\left(x\right)=4x-\frac{4}{x^2}=\frac{4x^3-4}{x^2}.$

f’(x) = 0 ⇔ 4x³ – 4 = 0 ⇔ x = 1.

Bảng biến thiên của hàm số:

Căn cứ bảng biến thiên, ta có $\underset{\left(0;+\infty \right)}{\min }f\left(x\right)=f\left(1\right)=6$ tại x = 1.

Vậy chiều rộng của đáy hình hộp chữ nhật là 1 mét để số tôn cần sử dụng là nhỏ nhất.