Với giải Bài 2.6 trang 42 Chuyên đề Toán 12 Kết nối tri thức chi tiết trong Bài 4: Vận dụng đạo hàm để giải quyết một số bài toán tối ưu giúp học sinh dễ dàng xem và so sánh lời giải từ đó biết cách làm bài tập Chuyên đề Toán 12. Mời các bạn đón xem:

Giải Chuyên đề Toán 12 Bài 4: Vận dụng đạo hàm để giải quyết một số bài toán tối ưu

Bài 2.6 trang 42 Chuyên đề Toán 12: Một cửa sổ có dạng phía dưới là hình chữ nhật, phía trên là nửa hình tròn có đường kính bằng chiều rộng của hình chữ nhật (H.2.17). Biết độ dài mép ngoài của cửa sổ phần sát tường (kể cả phần nửa đường tròn phía trên) là 10 m. Hãy tính các kích thước của hình chữ nhật để cửa sổ có diện tích lớn nhất (kết quả làm tròn đến chữ số thập phân thứ hai).

Lời giải:

Gọi x (m) là chiều rộng của hình chữ nhật, 0 < x < 10.

Khi đó, bán kính của phần cửa sổ nửa hình tròn là $\frac{x}{2}$ (m).

Diện tích của phần cửa sổ nửa hình tròn là: $S_1=\frac{1}{2}\cdot \pi \cdot {\left(\frac{x}{2}\right)}^2=\frac{\pi x^2}{8}{\text{ (m}}^2\text{).}$

Độ dài mép ngoài của phần cửa nửa đường tròn chính là nửa chu vi đường tròn và bằng: $\pi \cdot \frac{x}{2}=\frac{\pi x}{2}\text{ (m).}$

Độ dài mép ngoài của phần cửa hình chữ nhật và cũng là chu vi hình chữ nhật, bằng: $10-\frac{\pi x}{2}\text{ (m).}$

Chiều dài của phần cửa sổ hình chữ nhật là $10-\frac{\pi x}{2}-=\frac{x}{2}=\text{10}-\frac{\left(\pi +1\right)x}{2}\text{ (m).}$

Diện tích của phần cửa sổ hình chữ nhật là:

$S_2=x\cdot \left[\text{10}-\frac{\left(\pi +1\right)x}{2}\right]=10x-\frac{\left(\pi +1\right)x^2}{2}{\text{ (m}}^2\text{).}$

Diện tích của cửa sổ là:

$S\left(x\right)=S_1+S_2=\frac{\pi x^2}{8}+10x-\frac{\left(\pi +1\right)x^2}{2}=10x-\frac{\left(3\pi +4\right)x^2}{8}{\text{ (m}}^2\text{).}$

Xét hàm $S\left(x\right)=10x-\frac{\left(3\pi +4\right)x^2}{8}$ trên khoảng (0; 10).

Ta có

$S^{\text{'}}\left(x\right)=10-\frac{\left(3\pi +4\right)x}{4},$$S^{\text{'}}\left(x\right)=0\iff 10-\frac{\left(3\pi +4\right)x}{4}=0\iff x=\frac{40}{3\pi +4}.$

Lập bảng biến thiên của hàm số trên khoảng (0; 10):

Từ bảng biến thiên, ta có $\underset{\left(0;10\right)}{\max }S\left(x\right)\approx 14,90$ khi $x=\frac{40}{3\pi +4}\approx 2,98\text{ (m).}$

Vậy các kích thước của hình chữ nhật lần lượt là khoảng 2,98 m và $\text{10}-\frac{\left(\pi +1\right)\cdot 2,98}{2}\approx 3,83\text{ (m).}$