Với giải Bài 2.9 trang 43 Chuyên đề Toán 12 Kết nối tri thức chi tiết trong Bài 4: Vận dụng đạo hàm để giải quyết một số bài toán tối ưu giúp học sinh dễ dàng xem và so sánh lời giải từ đó biết cách làm bài tập Chuyên đề Toán 12. Mời các bạn đón xem:

Giải Chuyên đề Toán 12 Bài 4: Vận dụng đạo hàm để giải quyết một số bài toán tối ưu

Bài 2.9 trang 43 Chuyên đề Toán 12: Một công ty dự kiến chi 1 tỉ đồng sản xuất các thùng đựng sơn hình trụ với dung tích 5 ℓ. Giá sản xuất mặt xung quanh là 100 nghìn đồng m², giá sản xuất mặt đáy là 120 nghìn đồng/m². Hỏi công ty có thể sản xuất được tối đa bao nhiêu thùng sơn? (Giả sử chi phí cho các mối nối không đáng kể)

Lời giải:

Đổi 5 ℓ = 5 dm³ = 0,005 m³.

Gọi x (m) là bán kính của đáy thùng đựng sơn hình trụ, x > 0.

Khi đó, chiều cao của thùng đựng sơn hình trụ là: $\frac{0,005}{\pi x^2}\text{ (m).}$

Diện tích xung quanh của thùng đựng sơn hình trụ là: $S_{xq}=2\pi x\cdot \frac{0,005}{\pi x^2}=\frac{\text{0,01}}{x}{\text{ (m}}^2\text{).}$

Diện tích đáy của thùng đựng sơn hình trụ là: S_đáy = πx² (m²).

Giá sản xuất mặt xung quanh của một thùng đựng sơn là: $100\cdot \frac{\text{0,01}}{x}=\frac{1}{x}$ (nghìn đồng).

Giá sản xuất hai mặt đáy của một thùng đựng sơn là: 120.2πx² = 240πx² (nghìn đồng).

Chi phí sản xuất một thùng sơn là: $C\left(x\right)=\frac{1}{x}+240\pi x^2$ (nghìn đồng) với x > 0.

Ta có $C^{\text{'}}\left(x\right)=-\frac{1}{x^2}+480\pi x.$

$C^{\text{'}}\left(x\right)=0\iff -\frac{1}{x^2}+480\pi x=0\iff 480\pi x^3=1\iff x=\sqrt[3]{\frac{1}{480\pi }}.$

Lập bảng biến thiên của hàm số trên khoảng (0; +∞).

Từ bảng biến thiên, ta có $\underset{\left(0;+\infty \right)}{\min }C\left(x\right)\approx 17,20105$ khi $x=\sqrt[3]{\frac{1}{480\pi }}\approx 0,0872.$

Khi đó, chi phí thấp nhất để sản xuất một thùng sơn là khoảng 17,20105 nghìn đồng hay 17 201,05 đồng.

Ta có: 1 000 000 : 17 210,05 ≈ 58 135,98.

Vậy công ty có thể sản xuất được tối đa 58 135 thùng sơn.