Với giải Bài 2.7 trang 42 Chuyên đề Toán 12 Kết nối tri thức chi tiết trong Bài 4: Vận dụng đạo hàm để giải quyết một số bài toán tối ưu giúp học sinh dễ dàng xem và so sánh lời giải từ đó biết cách làm bài tập Chuyên đề Toán 12. Mời các bạn đón xem:

Giải Chuyên đề Toán 12 Bài 4: Vận dụng đạo hàm để giải quyết một số bài toán tối ưu

Bài 2.7 trang 42 Chuyên đề Toán 12: Người ta muốn kéo một đường dây điện từ nhà máy điện đặt tại điểm A đến một hòn đảo nhỏ C. Biết rằng nhà máy điện nằm sát bờ biển, bờ biển được coi là thẳng, khoảng cách CB từ hòn đảo C đến bờ biển là 1 km, khoảng cách giữa hai điểm A và B là 4 km. Mỗi kilômét dây điện nếu đặt ngầm dưới nước sẽ mất 5 000 USD, còn nếu đặt ngầm dưới đất sẽ mất 3 000 USD. Người ta dự định kéo dây điện ngầm dưới đất từ điểm A đến một điểm S trên bờ biển, nằm giữa A và B, sau đó chạy ngầm dưới nước từ điểm S đến hòn đảo C (H. 2.18). Tìm vị trí của điểm S sao cho chi phí kéo đường dây điện là nhỏ nhất.

Lời giải:

Gọi x (km) là khoảng cách từ điểm B đến vị trí S, 0 ≤ x ≤ 4.

Từ hình vẽ ta có: AS = 4 – x (km) và $SC=\sqrt{1+x^2}$ (km).

Chi phí kéo đường dây điện từ A đến S (đặt ngầm dưới đất) là: 3 000(4 – x) (USD).

Chi phí kéo đường dây điện từ S đến C (đặt ngầm dưới nước) là:$5000\sqrt{1+x^2}$ (USD).

Khi đó, tổng chi phí kéo đường dây điện từ A đến C là:

$C\left(x\right)=3000\left(4–x\right)+5000\sqrt{1+x^2}$

$=12000-3000x+5000\sqrt{1+x^2}\left(\text{US}D\right).$

Ta cần tìm x để C(x) đạt giá trị nhỏ nhất.

Ta có $C^{\text{'}}\left(x\right)=-3000+5000\cdot \frac{x}{\sqrt{1+x^2}}.$

$C^{\text{'}}\left(x\right)=0\iff -3000+5000\cdot \frac{x}{\sqrt{1+x^2}}=0\iff \frac{x}{\sqrt{1+x^2}}=\frac{3}{5}$

$\iff 5x=3\sqrt{1+x^2}$

Từ giả thiết x ≥ 0 ta suy ra 25x² = 3(1 + x²), hay 22x² = 3, do đó $x=\sqrt{\frac{3}{22}}=\frac{\sqrt{66}}{22}.$

Vận dụng phương pháp tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của hàm số trên một đoạn, ta có:

$C\left(0\right)=17000;C\left(\frac{\sqrt{66}}{22}\right)\approx 16222,20;C\left(4\right)\approx 20615,53.$

Vì giá trị $C\left(\frac{\sqrt{66}}{22}\right)$ là giá trị nhỏ nhất trong ba giá trị trên, nên giá trị nhỏ nhất của C(x) đạt được khi $x=\frac{\sqrt{66}}{22}\approx 0,369\text{ (km)}=369\text{ (m).}$

Vậy vị trí của điểm S cách B một khoảng 369 mét thì chi phí kéo đường dây điện là nhỏ nhất.