Bài 4 trang 101 Toán 10 Tập 1 | Chân trời sáng tạo Giải Toán lớp 10

Với giải Bài 4 trang 101 Toán lớp 10 Chân trời sáng tạo chi tiết trong Bài 4: Tích vô hướng của hai vecto học sinh dễ dàng xem và so sánh lời giải từ đó biết cách làm bài tập Toán 10. Mời các bạn đón xem:

Giải bài tập Toán lớp 10 Bài 4: Tích vô hướng của hai vecto

Bài 4 trang 101 Toán lớp 10: Cho đoạn thẳng AB có O là trung điểm và cho điểm M tùy ý. Chứng minh rằng:

$\vec{M A} . \vec{M B} = {\vec{M O}}^{2} - {\vec{O A}}^{2}$

Phương pháp giải:

Sử dụng hằng đẳng thức $a^{2} - b^{2} = (a - b) (a + b)$ phân tích ${\vec{M O}}^{2} - {\vec{O A}}^{2}$

Lời giải:

Ta có: $\vec{O A} + \vec{O B} = \vec{0} \Leftrightarrow - \vec{O A} = \vec{O B}$

$\Rightarrow {\vec{M O}}^{2} - {\vec{O A}}^{2} = (\vec{M O} - \vec{O A}) (\vec{M O} + \vec{O A}) = (\vec{M O} + \vec{O B}) (\vec{M O} + \vec{O A}) = \vec{M B} . \vec{M A}$

Bài tập vận dụng:

Bài 1. Cho tam giác ABC đều cạnh bằng a và trọng tâm G. Tính:

a) $\vec{A B} . \vec{A C}$ .

b) $\vec{A G} . \vec{A B}$ .

Hướng dẫn giải

a) Tam giác ABC đều nên ta có AB = AC = BC = a và .

Ta có $\vec{A B} . \vec{A C} = |\vec{A B}| . |\vec{A C}| . \cos (\vec{A B}, \vec{A C}) = A B . A C . \cos \hat{B A C} = a . a . \cos 60 ° = \frac{a^{2}}{2}$ .

b) Vì G là trọng tâm của tam giác đều ABC.

Nên AG là đường trung tuyến của tam giác ABC.

Do đó AG cũng là đường phân giác và cũng là đường cao của tam giác ABC.

Ta suy ra $\hat{G A B} = \frac{\hat{B A C}}{2} = \frac{60 °}{2} = 30 °$ .

Gọi I là giao điểm của AG và BC.

Ta suy ra I là trung điểm BC.

Do đó BI = $\frac{B C}{2} = \frac{a}{2}$ .

Tam giác ABI vuông tại I: AI² = AB² – BI² (Định lý Py ‒ ta ‒ go)

$\Leftrightarrow A I^{2} = a^{2} - {(\frac{a}{2})}^{2} = \frac{3 a^{2}}{4}$

$\Rightarrow A I = \frac{a \sqrt{3}}{2}$ .

Tam giác ABC đều có G là trọng tâm.

Ta suy ra AG = $\frac{2}{3} A I = \frac{a \sqrt{3}}{3}$ .

Ta có: $\vec{A G} . \vec{A B} = |\vec{A G}| . |\vec{A B}| . \cos (\vec{A G}, \vec{A B}) = A G . A B . \cos \hat{G A B} = \frac{a \sqrt{3}}{3} . a . \cos 30 ° = \frac{a^{2}}{2}$ .

Bài 2. Cho tam giác ABC và một điểm M tùy ý. Chứng minh rằng:

$\vec{M A} . \vec{B C} + \vec{M B} . \vec{C A} + \vec{M C} . \vec{A B} = 0$ .

Hướng dẫn giải

Ta có $\vec{M A} . \vec{B C} = \vec{M A} (\vec{M C} - \vec{M B}) = \vec{M A} . \vec{M C} - \vec{M A} . \vec{M B}$ (1)

$\vec{M B} . \vec{C A} = \vec{M B} (\vec{M A} - \vec{M C}) = \vec{M B} . \vec{M A} - \vec{M B} . \vec{M C}$ (2)

$\vec{M C} . \vec{A B} = \vec{M C} (\vec{M B} - \vec{M A}) = \vec{M C} . \vec{M B} - \vec{M C} . \vec{M A}$ (3)

Lấy (1) + (2) + (3) vế theo vế, ta được: $\vec{M A} . \vec{B C} + \vec{M B} . \vec{C A} + \vec{M C} . \vec{A B} = 0$ .

Vậy ta có điều phải chứng minh.

Bài 3. Cho hai vectơ $\vec{a}$ và $\vec{b}$ thỏa mãn $|\vec{a}| = |\vec{b}| = 1$ và hai vectơ $\vec{u} = \frac{2}{5} \vec{a} - 3 \vec{b}$ và $\vec{v} = \vec{a} + \vec{b}$ vuông góc với nhau. Xác định góc giữa hai vectơ $\vec{a}$ và $\vec{b}$ .