Thực hành 2 trang 100 Toán 10 Tập 1 | Chân trời sáng tạo Giải Toán lớp 10

Nguyễn Linh Anh Ngày: 24-08-2024 Lớp 10

3.6 K

Với giải Thực hành 2 trang 100 Toán lớp 10 Chân trời sáng tạo chi tiết trong Bài 4: Tích vô hướng của hai vecto học sinh dễ dàng xem và so sánh lời giải từ đó biết cách làm bài tập Toán 10. Mời các bạn đón xem:

Giải bài tập Toán lớp 10 Bài 4: Tích vô hướng của hai vecto

Thực hành 2 trang 100 Toán lớp 10: Cho tam giác ABC vuông cân tại A, có cạnh huyền bằng $\sqrt{2}$ .

Tính các tích vô hướng: $\vec{A B} . \vec{A C}, \vec{A C} . \vec{B C}, \vec{B A} . \vec{B C}$

Phương pháp giải:

Bước 1: Vận dụng công thức $\vec{A B} . \vec{A C} = | \vec{A B} | . | \vec{A C} | . \cos (\vec{A B}, \vec{A C})$

Bước 2: Xác định độ dài cạnh AB, AC và góc giữa hai vecto $(\vec{A B}, \vec{A C}) = \hat{B A C}$

Lời giải:

+) Ta có: $A B ⊥ A C \Rightarrow \vec{A B} ⊥ \vec{A C} \Rightarrow \vec{A B} . \vec{A C} = 0$

+) $\vec{A C} . \vec{B C} = | \vec{A C} | . | \bar{B C} | . \cos (\vec{A C}, \vec{B C})$

Ta có: $B C = \sqrt{A B^{2} + A C^{2}} = \sqrt{2} \Leftrightarrow \sqrt{2 A C^{2}} = \sqrt{2}$ $\Rightarrow A C = 1$

$\Rightarrow \vec{A C} . \vec{B C} = 1. \sqrt{2} . \cos (45^{\circ}) = 1$

+) $\vec{B A} . \vec{B C} = | \vec{B A} | . | \vec{B C} | . \cos (\vec{B A}, \vec{B C}) = 1. \sqrt{2} . \cos (45^{\circ}) = 1$

Lý thuyết Tích vô hướng của hai vectơ

Cho hai vectơ $\vec{a}$ và $\vec{b}$ đều khác $\vec{0}$ .

Tích vô hướng của $\vec{a}$ và $\vec{b}$ là một số, kí hiệu là $\vec{a} . \vec{b}$ , được xác định bởi công thức: $\vec{a} . \vec{b} = |\vec{a}| . |\vec{b}| . \cos (\vec{a}, \vec{b})$ .

Chú ý:

a) Trường hợp có ít nhất một trong hai vectơ $\vec{a}$ và $\vec{b}$ bằng $\vec{0}$ , ta quy ước $\vec{a} . \vec{b} = 0$ .

b) Với hai vectơ $\vec{a}$ và $\vec{b}$ , ta có $\vec{a} ⊥ \vec{b} \Leftrightarrow \vec{a} . \vec{b} = 0$ .

c) Khi $\vec{a} = \vec{b}$ thì tích vô hướng $\vec{a} . \vec{b}$ được kí hiệu là ${\vec{a}}^{2}$ và được gọi là bình phương vô hướng của vectơ $\vec{a}$ .

Ta có ${\vec{a}}^{2} = |\vec{a}| . |\vec{a}| . \cos 0 ° = {|\vec{a}|}^{2}$ . Vậy bình phương vô hướng của một vectơ luôn bằng bình phương độ dài của vectơ đó.

Ví dụ: Cho tam giác ABC vuông cân tại A, có AB = AC = a. Tính các tích vô hướng: $\vec{A B} . \vec{A C}, \vec{A C} . \vec{B C}, \vec{B A} . \vec{B C}$ .

Hướng dẫn giải

- Tam giác ABC vuông cân tại A nên AB ⊥ AC.

Do đó $\vec{A B} ⊥ \vec{A C}$ .

Vậy $\vec{A B} . \vec{A C} = 0$ .

- Vẽ $\vec{B D} = \vec{A C}$ . Khi đó ta có $(\vec{A C}, \vec{B C}) = (\vec{B D}, \vec{B C}) = \hat{C B D}$ .

Vì $\vec{B D} = \vec{A C}$ nên ta có ABDC là hình bình hành.

Mà $\hat{B A C} = 90 °$ và AB = AC (tam giác ABC vuông cân tại A).

Do đó ABDC là hình vuông.

Ta suy ra đường chéo BC là phân giác của $\hat{A B D}$ .

Do đó $\hat{C B D} = \frac{\hat{A B D}}{2} = \frac{90 °}{2} = 45 °$ .

Khi đó ta có $(\vec{A C}, \vec{B C}) = \hat{C B D} = 45 °$ .

Tam giác ABC vuông cân tại A: BC² = AB² + AC² (Định lý Py ‒ ta ‒ go)

⇔ BC² = a² + a² = 2a²

⇒ BC = $a \sqrt{2}$ .

Ta có: $\vec{A C} . \vec{B C} = |\vec{A C} .| . |\vec{B C}| . \cos (\vec{A C}, \vec{B C}) = A C . B C . \cos 45 ° = a . a \sqrt{2} . \frac{\sqrt{2}}{2} = a^{2}$ .

- Tam giác ABC cân tại A. Ta suy ra $\hat{A C B} = \hat{A B C}$ .

Tam giác ABC vuông tại A: $\hat{A C B} + \hat{A B C} = 90 °$ .

$\Leftrightarrow 2 \hat{A B C} = 90 °$ .

Do đó $\hat{A B C} = 45 °$ .

Suy ra $(\vec{B A}, \vec{B C}) = \hat{A B C} = 45 °$ .

Ta có $\vec{B A} . \vec{B C} = |\vec{B A}| . |\vec{B C}| . \cos (\vec{B A}, \vec{B C}) = B A . B C . \cos 45 ° = a . a \sqrt{2} . \frac{\sqrt{2}}{2} = a^{2}$ .

Chú ý: Trong Vật lí, tích vô hướng của $\vec{F}$ và $\vec{d}$ biểu diễn công A sinh bởi lực $\vec{F}$ khi thực hiện độ dịch chuyển $\vec{d}$ . Ta có công thức: $A = \vec{F} . \vec{d}$ .

Ví dụ: Một người dùng một lực $\vec{F}$ có độ lớn là 150 N kéo một thùng gỗ trượt trên sàn nhà bằng một sợi dây có phương hợp góc 45° so với phương ngang. Tính công sinh bởi lực $\vec{F}$ khi thùng gỗ trượt được 40 m.

Hướng dẫn giải

Gọi A, $\vec{d}$ lần lượt là công sinh bởi lực $\vec{F}$ và độ dịch chuyển của thùng gỗ.

Theo đề, ta có lực $\vec{F}$ hợp với phương ngang (hướng dịch chuyển) một góc 45°.

Suy ra $(\vec{F}, \vec{d}) = 45 °$ .

Ta có A = $\vec{F} . \vec{d} = |\vec{F}| . |\vec{d}| . \cos (\vec{F}, \vec{d}) = 150.40. \cos 45 ° = 3000 \sqrt{2}$ (J).