Tailieumoi.vn giới thiệu Giải bài tập Toán lớp 10 Bài 4: Tích vô hướng của hai vecto chi tiết sách Toán 10 Tập 1 Chân trời sáng tạo giúp học sinh xem và so sánh lời giải từ đó biết cách làm bài tập môn Toán 10. Mời các bạn đón xem:
Giải bài tập Toán lớp 10 Bài 4: Tích vô hướng của hai vecto
1. Góc giữa hai vecto
Giải toán lớp 10 trang 98 Tập 1 Chân trời sáng tạo
HĐ Khám phá 1 trang 98 Toán lớp 10: Cho hình vuông ABCD có tâm I (Hình 1).
a) Tính .
b) Tìm hai vectơ cùng có điểm đầu là D và điểm cuối lần lượt là I và C
c) Tìm hai vectơ có điểm đầu là D và lần lượt bằng vectơ và
Lời giải:
a) I là tâm của ABCD, suy ra
b) Vectơ có điểm đầu là D và điểm cuối là I là
Vectơ có điểm đầu là D và điểm cuối là C là
c) Vectơ có điểm đầu là D và bằng vectơ là
Vectơ có điểm đầu là D và bằng vectơ là
Giải toán lớp 10 trang 99 Tập 1 Chân trời sáng tạo
Thực hành 1 trang 99 Toán lớp 10: Cho tam giác đều ABC có H là trung điểm của cạnh BC. Tìm các góc:
.
Phương pháp giải:
Bước 1: Xác định hai vectơ cần tìm góc
Bước 2: Đưa 2 vectơ về cùng điểm đầu (chung gốc)
Bước 3: Xác định góc giữa 2 vectơ, chẳng hạn:
Lời giải:
+)
+) Dựng hình bình hành ABCD, ta có:
+), Ta có: ABC là tam giác đều, H là trung điểm BC nên
+) Hai vectơ và cùng hướng nên
+) Hai vectơ và ngược hướng nên
2. Tích vô hướng của hai vecto
Lời giải:
Theo giả thiết ta có:
Vậy công sinh bởi lực là (J)
Giải toán lớp 10 trang 100 Tập 1 Chân trời sáng tạo
Thực hành 2 trang 100 Toán lớp 10: Cho tam giác ABC vuông cân tại A, có cạnh huyền bằng .
Tính các tích vô hướng:
Phương pháp giải:
Bước 1: Vận dụng công thức
Bước 2: Xác định độ dài cạnh AB, AC và góc giữa hai vecto
Lời giải:
+) Ta có:
+)
Ta có:
+)
Phương pháp giải:
Sử dụng công thức
Lời giải:
Ta có:
Vậy góc giữa hai vectơ và là
Phương pháp giải:
Công thức tính công:
Tích vô hướng:
Lời giải:
Gọi vectơ dịch chuyển của vật là , ta có .
Theo giả thiết và cùng hướng nên
Công sinh ra bởi lực được tính bằng:
(J)
3. Tính chất của tích vô hướng
Giải toán lớp 10 trang 101 Tập 1 Chân trời sáng tạo
Thực hành 4 trang 101 Toán lớp 10: Cho hai vectơ vuông góc có cùng độ dài bằng 1.
a) Tính .
b) Cho . Tính tích vô hướng và tính góc
Phương pháp giải:
Sử dụng các tính chất của tích vô hướng giữa các vectơ
Lời giải:
a) Ta có hai vectơ và vuông góc nên
+)
+)
+)
b) Sử dụng kết quả của câu a) ta có:
Phương pháp giải:
Sử dụng kết quả của ví dụ 4 trang 101
Lời giải:
Từ điểm cuối của vectơ vẽ vectơ
Suy ra
Ta có:
Vậy độ dài của là 1,6 đơn vị
Bài tập
Bài 1 trang 101 Toán lớp 10: Cho hình vuông ABCD có cạnh bằng a. Tính các tích vô hướng:
Phương pháp giải:
Bước 1: Sử dụng công thức
Bước 2: Tính và góc
Lời giải:
Ta có:
+)
+)
+)
+)
Chú ý
Bài 2 trang 101 Toán lớp 10: Cho hình chữ nhật ABCD có tâm O và cho AD = a, AB = 2a. Tính:
a) ;
b) .
Phương pháp giải:
a) Bước 1: Tính đường chéo AC, BD
Bước 2: Xác định số đo góc
Bước 3: Sử dụng công thức
b) Sử dụng công thức
Lời giải:
a)
b)
a) Điểm O nằm ngoài đoạn thẳng AB;
b) Điểm O nằm trong đoạn thẳng AB.
Phương pháp giải:
Bước 1: Xác định góc giữa hai vectơ: và cùng hướng thì
Nếu và ngược hướng thì
Bước 2: Sử dụng công thức
Lời giải:
a) Ta có:
Ta thấy hai vectơ và cùng hướng nên
b) Ta có:
Ta thấy hai vectơ và ngược hướng nên
Phương pháp giải:
Sử dụng hằng đẳng thức phân tích
Lời giải:
Ta có:
Sử dụng công thức tính công:
Lời giải:
Công sinh bởi lực được tính bằng công thức
(J)
Vậy công sinh bởi lực có độ lớn bằng 4500 (J)
Phương pháp giải:
Sử dụng công thức
Lời giải:
Ta cho: và
Ta có công thức:
Lý thuyết Tích vô hướng của hai vectơ
1. Góc giữa hai vectơ
Cho hai vectơ và đều khác . Từ một điểm O bất kì ta vẽ , .
Góc với số đo từ 0° đến 180° được gọi là góc giữa hai vectơ và .
Ta kí hiệu góc giữa hai vectơ và là .
Nếu thì ta nói rằng và vuông góc với nhau, kí hiệu .
Chú ý:
+ Từ định nghĩa, ta có .
+ Góc giữa hai vectơ cùng hướng và khác luôn bằng 0°.
+ Góc giữa hai vectơ ngược hướng và khác luôn bằng 180°.
+ Trong trường hợp có ít nhất một trong hai vectơ hoặc là thì ta quy ước số đo góc giữa hai vectơ đó là tùy ý (từ 0° đến 180°).
Ví dụ: Cho hình thoi ABCD có O là giao điểm của hai đường chéo và . Tính số đo các góc:
a) .
b) .
c) .
d) .
Hướng dẫn giải
a) Vì O là giao điểm của hai đường chéo nên O là trung điểm BD (tính chất hình thoi).
Suy ra OD = BO.
Mà cùng hướng.
Do đó (1).
Vì ABCD là hình thoi nên ta có CD // BA và CD = BA.
Mà cùng hướng.
Do đó (2).
Từ (1) (2), ta suy ra .
Vì ABCD là hình thoi nên AB = AD.
Do đó tam giác ABD cân tại A.
Mà .
Suy ra tam giác ABD đều.
Do đó hay .
Vậy .
b) Vì O là giao điểm của hai đường chéo nên O là trung điểm AC (tính chất hình thoi).
Do đó AO = OC.
Mà cùng hướng.
Do đó .
Ta suy ra .
Vì ABCD là hình thoi nên hai đường chéo AC và BD vuông góc với nhau.
Do đó .
Vậy .
c) Vì cùng hướng nên .
d) Vì ngược hướng nên .
2. Tích vô hướng của hai vectơ
Cho hai vectơ và đều khác .
Tích vô hướng của và là một số, kí hiệu là , được xác định bởi công thức:.
Chú ý:
a) Trường hợp có ít nhất một trong hai vectơ và bằng , ta quy ước .
b) Với hai vectơ và , ta có .
c) Khi thì tích vô hướng được kí hiệu là và được gọi là bình phương vô hướng của vectơ .
Ta có . Vậy bình phương vô hướng của một vectơ luôn bằng bình phương độ dài của vectơ đó.
Ví dụ: Cho tam giác ABC vuông cân tại A, có AB = AC = a. Tính các tích vô hướng: .
Hướng dẫn giải
- Tam giác ABC vuông cân tại A nên AB ⊥ AC.
Do đó .
Vậy .
- Vẽ . Khi đó ta có .
Vì nên ta có ABDC là hình bình hành.
Mà và AB = AC (tam giác ABC vuông cân tại A).
Do đó ABDC là hình vuông.
Ta suy ra đường chéo BC là phân giác của .
Do đó .
Khi đó ta có .
Tam giác ABC vuông cân tại A: BC2 = AB2 + AC2 (Định lý Py ‒ ta ‒ go)
⇔ BC2 = a2 + a2 = 2a2
⇒ BC = .
Ta có: .
- Tam giác ABC cân tại A. Ta suy ra .
Tam giác ABC vuông tại A: .
.
Do đó .
Suy ra .
Ta có .
Chú ý: Trong Vật lí, tích vô hướng của và biểu diễn công A sinh bởi lực khi thực hiện độ dịch chuyển . Ta có công thức: .
Ví dụ: Một người dùng một lực có độ lớn là 150 N kéo một thùng gỗ trượt trên sàn nhà bằng một sợi dây có phương hợp góc 45° so với phương ngang. Tính công sinh bởi lực khi thùng gỗ trượt được 40 m.
Hướng dẫn giải
Gọi A, lần lượt là công sinh bởi lực và độ dịch chuyển của thùng gỗ.
Theo đề, ta có lực hợp với phương ngang (hướng dịch chuyển) một góc 45°.
Suy ra .
Ta có A = (J).
Vậy công sinh bởi lực là (J).
3. Tính chất của tích vô hướng
Với ba vectơ bất kì và mọi số k, ta có:
; ; .
Ví dụ: Áp dụng các tính chất của tích vô hướng, chứng minh rằng:
.
Hướng dẫn giải
Ta có: .
Vậy ta có điều phải chứng minh.
Nhận xét: Chứng minh tương tự, ta cũng có:
;
.
Ví dụ: Cho tam giác ABC có a = BC, b = AC, c = AB. Tính cạnh BC theo hai cạnh còn lại và góc A bằng cách sử dụng tính chất của vectơ và tích vô hướng của hai vectơ.
Hướng dẫn giải
Ta có BC2 =
= AC2 + AB2 – 2AC.AB.cosA
Vậy BC2 = AC2 + AB2 – 2AC.AB.cosA hay a2 = b2 + c2 – 2bc.cosA.
Xem thêm các bài giải SGK Toán 10 Chân trời sáng tạo hay, chi tiết khác:
Bài 3: Tích của một số với một vecto
Bài 2: Mô tả và biểu diễn dữ liệu trên các bảng và biểu đồ