Thực hành 4 trang 101 Toán 10 Tập 1 | Chân trời sáng tạo Giải Toán lớp 10

Với giải Thực hành 4 trang 101 Toán lớp 10 Chân trời sáng tạo chi tiết trong Bài 4: Tích vô hướng của hai vecto học sinh dễ dàng xem và so sánh lời giải từ đó biết cách làm bài tập Toán 10. Mời các bạn đón xem:

Giải bài tập Toán lớp 10 Bài 4: Tích vô hướng của hai vecto

Thực hành 4 trang 101 Toán lớp 10: Cho hai vectơ $\vec{i}, \vec{j}$ vuông góc có cùng độ dài bằng 1.

a) Tính ${(\vec{i} + \vec{j})}^{2}; {(\vec{i} - \vec{j})}^{2}; (\vec{i} + \vec{j}) (\vec{i} - \vec{j})$ .

b) Cho $\vec{a} = 2 \vec{i} + 2 \vec{j}, \vec{b} = 3 \vec{i} - 3 \vec{j}$ . Tính tích vô hướng $\vec{a} . \vec{b}$ và tính góc $(\vec{a}, \vec{b})$

Phương pháp giải:

Sử dụng các tính chất của tích vô hướng giữa các vectơ

Lời giải:

a) Ta có hai vectơ $\vec{i}$ và $\vec{j}$ vuông góc nên $\vec{i} . \vec{j} = 0$

+) ${(\vec{i} + \vec{j})}^{2} = {(\vec{i})}^{2} + {(\vec{j})}^{2} + 2 \vec{i} . \vec{j} = {| \vec{i} |}^{2} + {| \vec{j} |}^{2} = 1 + 1 = 2$

+) ${(\vec{i} + \vec{j})}^{2} = {(\vec{i})}^{2} + {(\vec{j})}^{2} - 2 \vec{i} . \vec{j} = {| \vec{i} |}^{2} + {| \vec{j} |}^{2} = 1 + 1 = 2$

+) $(\vec{i} + \vec{j}) (\vec{i} - \vec{j}) = {(\vec{i})}^{2} - {(\vec{j})}^{2} = {| \vec{i} |}^{2} - {| \vec{j} |}^{2} = 1 - 1 = 0$

b) Sử dụng kết quả của câu a) ta có:

$\vec{a} . \vec{b} = (2 \vec{i} + 2 \vec{j}) . (3 \vec{i} - 3 \vec{j}) = 2.3. (\vec{i} + \vec{j}) . (\vec{i} - \vec{j}) = 6.0 = 0$

$\vec{a} . \vec{b} = 0 \Rightarrow \vec{a} ⊥ \vec{b} \Rightarrow (\vec{a}, \vec{b}) = 90^{\circ}$

Lý thuyết Tính chất của tích vô hướng

Với ba vectơ $\vec{a}, \vec{b}, \vec{c}$ bất kì và mọi số k, ta có:

$\vec{a} . \vec{b} = \vec{b} . \vec{a}$ ; $\vec{a} . (\vec{b} + \vec{c}) = \vec{a} . \vec{b} + \vec{a} . \vec{c}$ ; $(k \vec{a}) . \vec{b} = k (\vec{a} . \vec{b}) = \vec{a} . (k \vec{b})$ .

Ví dụ: Áp dụng các tính chất của tích vô hướng, chứng minh rằng:

${(\vec{a} - \vec{b})}^{2} = {\vec{a}}^{2} - 2 \vec{a} . \vec{b} + {\vec{b}}^{2}$ .

Hướng dẫn giải

Ta có: ${(\vec{a} - \vec{b})}^{2} = (\vec{a} - \vec{b}) (\vec{a} - \vec{b}) = \vec{a} . \vec{a} - \vec{a} . \vec{b} - \vec{a} . \vec{b} + \vec{b} . \vec{b} = {\vec{a}}^{2} - 2 \vec{a} . \vec{b} + {\vec{b}}^{2}$ .

Vậy ta có điều phải chứng minh.

Nhận xét: Chứng minh tương tự, ta cũng có:

${(\vec{a} + \vec{b})}^{2} = {\vec{a}}^{2} + 2 \vec{a} . \vec{b} + {\vec{b}}^{2}$ ;

$(\vec{a} + \vec{b}) (\vec{a} - \vec{b}) = {\vec{a}}^{2} - {\vec{b}}^{2}$ .

Ví dụ: Cho tam giác ABC có a = BC, b = AC, c = AB. Tính cạnh BC theo hai cạnh còn lại và góc A bằng cách sử dụng tính chất của vectơ và tích vô hướng của hai vectơ.

Hướng dẫn giải

Ta có BC² = ${\vec{B C}}^{2} = {(\vec{A C} - \vec{A B})}^{2} = {\vec{A C}}^{2} + {\vec{A B}}^{2} - 2. \vec{A C} . \vec{A B}$