Thực hành 3 trang 96 Toán 10 Tập 1 | Chân trời sáng tạo Giải Toán lớp 10

Nguyễn Linh Anh Ngày: 24-08-2024 Lớp 10

4.6 K

Với giải Thực hành 3 trang 96 Toán lớp 10 Chân trời sáng tạo chi tiết trong Bài 3: Tích của một số với một vecto học sinh dễ dàng xem và so sánh lời giải từ đó biết cách làm bài tập Toán 10. Mời các bạn đón xem:

Giải bài tập Toán lớp 10 Bài 3: Tích của một số với một vecto

Thực hành 3 trang 96 Toán lớp 10: Cho tứ giác ABCD có I và J lần lượt là trung điểm của AB và CD. Cho điểm G thỏa mãn $\vec{G A} + \vec{G B} + \vec{G C} + \vec{G D} = \vec{0}$ . Chứng minh ba điểm I, G, J thẳng hàng

Phương pháp giải:

Sử dụng tính chất trung điểm và quy tắc ba điểm

$\vec{G A} + \vec{G B} = 2 \vec{G I}$ với I là trung điểm AB

$\vec{G I} + \vec{G J} = \vec{0} \Leftrightarrow$ G là trung điểm IJ.

Lời giải:

Ta có:

$\vec{G A} + \vec{G B} + \vec{G C} + \vec{G D} = \vec{0} \Leftrightarrow (\vec{G I} + \vec{I A}) + (\vec{G I} + \vec{I B}) + (\vec{G J} + \vec{J C}) + (\vec{G J} + \vec{J D}) = \vec{0}$

$\Leftrightarrow 2 \vec{G I} + (\vec{I A} + \vec{I B}) + 2 \vec{G J} + (\vec{J C} + \vec{J D}) = \vec{0}$

$\Leftrightarrow 2 \vec{G I} + 2 \vec{G J} = \vec{0} \Leftrightarrow 2 (\vec{G I} + \vec{G J}) = \vec{0}$

$\Leftrightarrow \vec{G I} + \vec{G J} = \vec{0} \Rightarrow$ G là trung điểm của đoạn thẳng IJ

Vậy I, G, J thẳng hàng

Lý thuyết Điều kiện để hai vectơ cùng phương

Hai vectơ $\vec{a}$ và $\vec{b}$ ( $\vec{b} \neq \vec{0}$ ) cùng phương khi và chỉ khi có số k sao cho $\vec{a} = k \vec{b}$ .

Nhận xét: Ba điểm phân biệt A, B, C thẳng hàng khi và chỉ khi có số k ≠ 0 để $\vec{A B} = k \vec{A C}$ .

Chú ý: Cho hai vectơ $\vec{a}$ và $\vec{b}$ không cùng phương. Với mỗi $\vec{c}$ luôn tồn tại duy nhất cặp số thực (m; n) sao cho $\vec{c} = m \vec{a} + n \vec{b}$ .

Ví dụ: Cho tam giác ABC. Lấy các điểm M, N, P sao cho $\vec{M B} = 3 \vec{M C}$ , $\vec{N A} + 3 \vec{N C} = \vec{0}$ , $\vec{P A} + \vec{P B} = \vec{0}$ .

a) Biểu diễn $\vec{M P}$ theo $\vec{A B}, \vec{A C}$ .

b) Biểu diễn $\vec{M N}$ theo $\vec{A B}, \vec{A C}$ .

c) Chứng minh rằng: 3 điểm M, N, P thẳng hàng.

Hướng dẫn giải

a) Ta có $\vec{M B} = 3 \vec{M C} \Rightarrow |\vec{M B}| = |3| . |\vec{M C}| \Rightarrow M B = 3 M C$ .

Mà $\vec{M B}, \vec{M C}$ cùng hướng (do k = 3 > 0)

Do đó ba điểm B, C, M thẳng hàng và C nằm giữa B, M sao cho MB = 3MC.

Ta có $\vec{P A} + \vec{P B} = \vec{0}$ nên P là trung điểm AB.

Do đó AP = $\frac{1}{2}$ AB.

Mà $\vec{A P}, \vec{A B}$ cùng hướng.

Suy ra $\vec{A P} = \frac{1}{2} \vec{A B}$ .

Ta có: $\vec{M B} = \vec{M C} + \vec{C B} \Leftrightarrow \vec{M B} = \frac{1}{3} \vec{M B} + \vec{C A} + \vec{A B}$

$\Leftrightarrow \frac{2}{3} \vec{M B} = - \vec{A C} + \vec{A B} \Leftrightarrow \vec{M B} = \frac{3}{2} \vec{A B} - \frac{3}{2} \vec{A C}$

Ta có

$\vec{A M} = \vec{A B} + \vec{B M} = \vec{A B} - \vec{M B} = \vec{A B} - \frac{3}{2} \vec{A B} + \frac{3}{2} \vec{A C} = - \frac{1}{2} \vec{A B} + \frac{3}{2} \vec{A C}$ .

Ta có $\vec{M P} = \vec{A P} - \vec{A M} = \frac{1}{2} \vec{A B} + \frac{1}{2} \vec{A B} - \frac{3}{2} \vec{A C} = \vec{A B} - \frac{3}{2} \vec{A C}$

Vậy $\vec{M P} = \vec{A B} - \frac{3}{2} \vec{A C}$ (1)

b) Ta có $\vec{N A} + 3 \vec{N C} = \vec{0} \Leftrightarrow \vec{N A} = - 3 \vec{N C}$ .

Do đó $|\vec{N A}| = |- 3| . |\vec{N C}|$ hay NA = 3NC.

Khi đó ta có AN = $\frac{3}{4}$ AC.

Mà $\vec{N A}, \vec{N C}$ ngược hướng (do k = ‒3 < 0).

Do đó ba điểm A, N, C thẳng hàng và N nằm giữa hai điểm A và C sao cho $A N = \frac{3}{4} A C .$

Suy ra $\vec{A N} = \frac{3}{4} \vec{A C}$ .

Ta có $\vec{M N} = \vec{A N} - \vec{A M} = \frac{3}{4} \vec{A C} + \frac{1}{2} \vec{A B} - \frac{3}{2} \vec{A C} = \frac{1}{2} \vec{A B} - \frac{3}{4} \vec{A C}$