Giải toán 10 trang 97 Tập 1 Chân trời sáng tạo

Lữ Ngọc My My Ngày: 17-02-2023 Lớp 10

863

Với Giải toán 10 trang 97 Tập 1 Chân trời sáng tạo chi tiết giúp học sinh dễ dàng xem và so sánh lời giải từ đó biết cách làm bài tập Toán 10. Mời các bạn đón xem:

Giải toán 10 trang 97 Tập 1 Chân trời sáng tạo

Bài 1 trang 97 Toán lớp 10: Cho hình bình hành ABCD có O là giao điểm hai đường chéo. Với M là điểm tùy ý, chứng minh rằng:

$a) \vec{M A} + \vec{M B} + \vec{M C} + \vec{M D} = 4 \vec{M O}$

$b) \vec{A B} + \vec{A C} + \vec{A D} = 2 \vec{A C}$

Phương pháp giải:

a) Sử dụng quy tắc ba điểm $\vec{M A} = \vec{M O} + \vec{O A}$ và tính chất trung điểm $\vec{O A} + \vec{O C} = \vec{0}$

b) Sử dụng tính chất của bình bình hành $\vec{A B} + \vec{A D} = \vec{A C}$

Lời giải:

a) $\vec{M A} + \vec{M B} + \vec{M C} + \vec{M D} = 4 \vec{M O}$

$\Leftrightarrow \vec{M O} + \vec{O A} + \vec{M O} + \vec{O B} + \vec{M O} + \vec{O C} + \vec{M O} + \vec{O D} = 4 \vec{M O}$

$\Leftrightarrow 4 \vec{M O} + (\vec{O A} + \vec{O B}) + (\vec{O C} + \vec{O D}) = 4 \vec{M O}$

$\Leftrightarrow 4 \vec{M O} + \vec{0} + \vec{0} = 4 \vec{M O} \Leftrightarrow 4 \vec{M O} = 4 \vec{M O}$ (luôn đúng)

(vì O là giao điểm 2 đường chéo nên là trung điểm của AB, CD)

b) ABCD là hình bình hành nên ta có $\vec{A B} + \vec{A D} = \vec{A C}$

Suy ra $\vec{A B} + \vec{A C} + \vec{A D} = (\vec{A B} + \vec{A D}) + \vec{A C} = \vec{A C} + \vec{A C} = 2 \vec{A C}$ (đpcm)

Bài 2 trang 97 Toán lớp 10: Cho tứ giác ABCD gọi M và N lần lượt là trung điểm của các cạnh AB và CD . Chứng minh rằng:

$a) \vec{A C} + \vec{B D} = 2 \vec{M N} b) \vec{A C} + \vec{B D} = \vec{B C} + \vec{A D}$

Phương pháp giải:

Chèn điểm M: $\vec{A B} = \vec{A M} + \vec{M B}$ ,

Tính chất trung điểm $\vec{M A} + \vec{M B} = \vec{0}$

Lời giải:

a) $\vec{A C} + \vec{B D} = \vec{A M} + \vec{M N} + \vec{N C} + \vec{B M} + \vec{M N} + \vec{N D} = (\vec{A M} + \vec{B M}) + (\vec{M N} + \vec{M N}) + (\vec{N C} + \vec{N D}) = \vec{0} + 2 \vec{M N} + \vec{0} = 2 \vec{M N}$ (đpcm)

b) $\vec{A C} + \vec{B D} = \vec{B C} + \vec{A D}$

$\vec{B C} + \vec{A D} = \vec{B M} + \vec{M N} + \vec{N C} + \vec{A M} + \vec{M N} + \vec{N D}$

$(\vec{B M} + \vec{A M}) + (\vec{M N} + \vec{M N}) + (\vec{N C} + \vec{N D}) = 2 \vec{M N}$

Mặt khác ta có: $\vec{A C} + \vec{B D} = 2 \vec{M N}$

Suy ra $\vec{A C} + \vec{B D} = \vec{B C} + \vec{A D}$

Cách 2:

$\begin{array}{l} \vec{A C} + \vec{B D} = \vec{B C} + \vec{A D} \\ \Leftrightarrow \vec{A C} - \vec{A D} = \vec{B C} - \vec{B D} \\ \Leftrightarrow \vec{D C} = \vec{D C} (đ p c m) \end{array}$

Bài 3 trang 97 Toán lớp 10: Cho hai điểm phân biệt A và B. Xác định điểm M sao cho $\vec{M A} + 4 \vec{M B} = \vec{0}$

Phương pháp giải:

Bước 1: Xác định hướng của hai vectơ

Bước 2: Xác định tỉ số độ dài $\frac{| \vec{M A} |}{| \vec{M B} |}$

Lời giải:

Cách 1:

$\vec{M A} + 4 \vec{M B} = \vec{0} \Leftrightarrow \vec{M A} = - 4 \vec{M B} \Rightarrow \frac{M A}{M B} = \frac{| \vec{M A} |}{| \vec{M B} |} = \frac{| - 4 \vec{M B} |}{| \vec{M B} |} = 4$ và hai vectơ $\vec{M A}, \vec{M B}$ ngược hướng

Suy ra M nằm giữa AB sao cho $\frac{M A}{M B} = 4$

Cách 2:

$\begin{array}{l} \vec{M A} + 4 \vec{M B} = \vec{0} \\ \Leftrightarrow \vec{M B} + \vec{B A} + 4 \vec{M B} = \vec{0} \\ \Leftrightarrow 5 \vec{M B} = \vec{A B} \end{array}$

Vậy A, M, B thẳng hàng, M nằm giữa A và B sao cho $M B = \frac{1}{5} A B$

Bài 4 trang 97 Toán lớp 10: Cho tứ giác ABCD. Gọi E, F, G lần lượt là trung điểm của các đoạn thẳng AB, CD, EF. Lấy điểm M tùy ý, chứng minh rằng

\vec{M A} + \vec{M B} + \vec{M C} + \vec{M D} = 4 \vec{M G}

Phương pháp giải:

Sử dụng quy tắc ba điểm $\vec{M A} = \vec{M O} + \vec{O A}$ và tính chất trung điểm $\vec{O A} + \vec{O B} = \vec{0}$

(với O là trung điểm của AB)

Lời giải:

$\begin{array}{l} \vec{M A} + \vec{M B} + \vec{M C} + \vec{M D} = (\vec{M G} + \vec{G E} + \vec{E A}) + (\vec{M G} + \vec{G E} + \vec{E B}) \\ + (\vec{M G} + \vec{G F} + \vec{F C}) + (\vec{M G} + \vec{G F} + \vec{F D}) \end{array}$

$= (\vec{M G} + \vec{M G} + \vec{M G} \vec{+ M G}) + 2 (\vec{G E} + \vec{G F}) + (\vec{E A} + \vec{E B}) + (\vec{F C} + \vec{F D})$

$= 4 \vec{M G} + 2. \vec{0} + \vec{0} + \vec{0} = 4 \vec{M G}$ (đpcm)

Bài 5 trang 97 Toán lớp 10: Máy bay A đang bay về hướng Đông Bắc với tốc độ 600 km/h. Cùng lúc đó, máy bay B đang bay về hướng Tây Nam với tốc độ 800 km/h. Biểu diễn vectơ vận tốc của máy bay B theo vectơ vận tốc của máy bay A

Lời giải:

Vecto $\vec{a}, \vec{b}$ là vecto vận tốc của máy bay A và máy bay b.

Do đó $| \vec{a} |, | \vec{b} |$ lần lượt là độ lớn của vecto vận tốc tương ứng.

Ta có: $| \vec{a} | = 600, | \vec{b} | = 800$

$\Rightarrow \frac{| \vec{b} |}{| \vec{a} |} = \frac{800}{600} = \frac{4}{3}$

Hai hướng Đông Bắc và Tây Nam là ngược nhau, do đó $\vec{b} = - \frac{4}{3} \vec{a}$

Bài 6 trang 97 Toán lớp 10: Cho 2 điểm phân biệt A và B

a) Xác định điểm O sao cho $\vec{O A} + 3 \vec{O B} = \vec{0}$

b) Chứng minh rằng với mọi điểm M, ta có $\vec{M A} + 3 \vec{M B} = 4 \vec{M O}$

Phương pháp giải:

a) Chèn điểm: $\vec{O A} = \vec{O B} + \vec{B A}$

Từ đó tìm $\vec{O B}$ theo $\vec{A B}$ đã biết

b) Chèn điểm O, làm xuất hiện $\vec{M O}$ ở vế trái.

Lời giải:

a) $\vec{O A} + 3 \vec{O B} = \vec{0}$

$\begin{array}{l} \vec{O A} + 3 \vec{O B} = \vec{0} \\ \Leftrightarrow \vec{O B} + \vec{B A} + 3 \vec{O B} = \vec{0} \\ \Leftrightarrow \vec{O B} + 3 \vec{O B} = - \vec{B A} \\ \Leftrightarrow 4 \vec{O B} = \vec{A B} \\ \Leftrightarrow \vec{O B} = \frac{1}{4} \vec{A B} \end{array}$

Vậy O thuộc đoạn AB sao cho $O B = \frac{1}{4} A B$

b) Ta có:

$\begin{array}{l} \vec{M A} + 3 \vec{M B} = (\vec{M O} + \vec{O A}) + 3 (\vec{M O} + \vec{O B}) \\ = (\vec{M O} + 3 \vec{M O}) + (\vec{O A} + 3 \vec{O B}) \\ = 4 \vec{M O} + \vec{0} = 4 \vec{M O} . (đ p c m) \end{array}$

Bài 7 trang 97 Toán lớp 10: Cho tam giác ABC

a) Xác định các điểm M, N, P thỏa mãn: $\vec{M B} = \frac{1}{2} \vec{B C}, \vec{A N} = 3 \vec{N B}, \vec{C P} = \vec{P A}$

b) Biểu thị mỗi vectơ $\vec{M N}, \vec{M P}$ theo hai vectơ $\vec{B C}, \vec{B A}$

c) Chứng minh ba điểm M, N, P thẳng hàng

Phương pháp giải:

a) Xác định hướng và tỉ số độ dài

$\vec{M B} = k . \vec{B C} \Rightarrow \vec{M B}$ và $\vec{B C}$ cùng hướng; tỉ số độ dài $\frac{B C}{M B} = k$

b) Phân tích $\vec{M N}$ theo hai vecto $\vec{M B}, \vec{N B}$

c) $M, N, P$ thẳng hàng $\Leftrightarrow \vec{M N} = k . \vec{M P}$ $(k \in Z^{*})$

Lời giải:

a) Ta có:

+) $\vec{M B} = \frac{1}{2} \vec{B C} \Rightarrow \vec{M B}$ và $\vec{B C}$ cùng hướng; tỉ số độ dài $\frac{B C}{M B} = 2$

$\Rightarrow M$ nằm ngoài đoạn thẳng BC sao cho $M B = \frac{1}{2} B C$

+) $\vec{A N} = 3 \vec{N B} \Rightarrow \vec{A B} + \vec{B N} = 3 \vec{N B} \Rightarrow 4 \vec{N B} = \vec{A B} \Leftrightarrow \vec{N B} = \frac{1}{4} \vec{A B}$

$\Rightarrow N$ thuộc đoạn thẳng AB và $N B = \frac{1}{4} A B$

+) $\vec{C P} = \vec{P A} \Leftrightarrow \vec{P C} + \vec{P A} = \vec{0}$

$\Rightarrow P$ là trung điểm của CA

b) $\vec{M N} = \vec{M B} + \vec{B N} = \frac{1}{2} \vec{B C} + \frac{1}{4} \vec{B A}$

$\begin{array}{l} \vec{M P} = \vec{M C} + \vec{C P} = \vec{M C} + \frac{1}{2} \vec{C A} \\ = \frac{3}{2} \vec{B C} + \frac{1}{2} (\vec{B A} - \vec{B C}) \\ = \vec{B C} + \frac{1}{2} \vec{B A} \end{array}$