Với giải sách bài tập Toán 10 Bài 3: Tích của một số với một vectơ sách Chân trời sáng tạo hay, chi tiết giúp học sinh dễ dàng xem và so sánh lời giải từ đó biết cách làm bài tập trong SBT Toán 10. Mời các bạn đón xem:

Giải SBT Toán lớp 10 Bài 3: Tích của một số với một vectơ

Giải SBT Toán 10 trang 96 Tập 1

Bài 1 trang 96 SBT Toán 10 Tập 1: Cho hình bình hành ABCD có G là trọng tâm tam giác ABD. Chứng minh rằng: $\overrightarrow{\text{AC}}=3\overrightarrow{\text{AG}}$.

Lời giải:

Gọi O là giao điểm của AC và BD. Khi đó 

G là trọng tâm tam giác ABD 

Vậy  hay .

Giải SBT Toán 10 trang 97 Tập 1

Bài 2 trang 97 SBT Toán 10 Tập 1: Gọi AM là trung tuyến của tam giác ABC và D là trung điểm của đoạn AM. Chứng minh rằng:

a) $2\overrightarrow{\text{DA}}+\overrightarrow{\text{DB}}+\overrightarrow{\text{DC}}=\overrightarrow{0}$;

b) $2\overrightarrow{\text{OA}}+\overrightarrow{\text{OB}}+\overrightarrow{\text{OC}}=4\overrightarrow{\text{OD}}$, với O là điểm tùy ý.

Lời giải:

a) Vì M là trung điểm của BC nên: $\overrightarrow{\text{DB}}+\text{}\overrightarrow{\text{DC}}=2\overrightarrow{\text{DM}}$.

Mặt khác do D là trung điểm đoạn AM nên $\overrightarrow{\text{DM}}=-\overrightarrow{\text{DA}}\text{}$

Vậy nên $\overrightarrow{\text{DB}}+\overrightarrow{\text{DC}}$ = –2$\overrightarrow{\text{DA}}$ hay $2\overrightarrow{\text{DA}}+\overrightarrow{\text{DB}}+\overrightarrow{\text{DC}}=2\overrightarrow{\text{DA}}-2\overrightarrow{\text{DA}}=\overrightarrow{0}$.

b) Ta có:

Vậy  hay 

Bài 3 trang 97 SBT Toán 10 Tập 1: Lấy một điểm M tùy ý. Chứng minh rằng:

a) I là trung điểm của đoạn thẳng AB khi và chỉ khi $\overrightarrow{\text{MA}}+\overrightarrow{\text{MB}}=2\overrightarrow{\text{MI}}$.

b) G là trọng tâm của tam giác ABC khi và chỉ khi $\overrightarrow{\text{MA}}+\overrightarrow{\text{MB}}+\overrightarrow{\text{MC}}=3\overrightarrow{\text{MG}}$.

Lời giải:

a) Với điểm M bất kì ta có: 

I là trung điểm đoạn thẳng AB nên 

Khi đó: 

Vậy I là trung điểm của đoạn thẳng AB khi và chỉ khi $\overrightarrow{\text{MA}}+\overrightarrow{\text{MB}}=2\overrightarrow{\text{MI}}$.

b) Với điểm M bất kì ta có:

G là trọng tâm tam giác ABC nên 

Khi đó 

Vậy G là trọng tâm của tam giác ABC khi và chỉ khi .

Bài 4 trang 97 SBT Toán 10 Tập 1: Cho hai điểm phân biệt A và B. Tìm điểm K sao cho $3\overrightarrow{\text{KA}}+2\overrightarrow{\text{KB}}=\overrightarrow{0}$.

Lời giải:

Vì $3\overrightarrow{\text{KA}}+2\overrightarrow{\text{KB}}=\overrightarrow{0}$ nên $3\overrightarrow{\text{KA}}=-2\overrightarrow{\text{KB}}$

Suy ra

Do đó 

Nên 

Vậy K nằm giữa A và B sao cho AK = $\frac{2}{5}$AB.

Bài 5 trang 97 SBT Toán 10 Tập 1: Cho lục giác ABCDEF. Gọi M, N, P, Q, R, S lần lượt là trung điểm của các cạnh AB, BC, CD, DE, EF, FA. Chứng minh rằng hai tam giác MPR và NQS có cùng trọng tâm.

Lời giải:

MN là đường trung bình của tam giác ABC nên ta có: $\overrightarrow{\text{MN}}=\frac{1}{2}\overrightarrow{\text{AC}}$.

Tương tự ta có: 

Suy ra

Vậy 

Gọi G là trọng tâm tam giác MPR ta có: 

Ta lại có:

Suy ra

Mà

Do đó 

Suy ra G là trọng tâm của tam giác NQS.

Như vậy hai tam giác MPR và NQS có cùng trọng tâm.

Bài 6 trang 97 SBT Toán 10 Tập 1: Máy bay A với vận tốc $\overrightarrow{\text{a}}$, máy bay B bay cùng hướng và có tốc độ chỉ bằng một nửa máy A. Biểu diễn vectơ vận tốc $\overrightarrow{\text{b}}$ của máy bay B theo vectơ vận tốc $\overrightarrow{\text{a}}$ của máy bay A.

Lời giải:

Máy bay B bay cùng hướng và có tốc độ chỉ bằng một nửa máy A nên vectơ vận tốc của máy bay B là: $\overrightarrow{\text{b}}=\frac{1}{2}\overrightarrow{\text{a}}$.

Xem thêm các bài giải SBT Toán 10 Chân trời sáng tạo hay, chi tiết khác:

Bài 2: Tổng và hiệu của hai vectơ

Bài 4: Tích vô hướng của hai vectơ

Bài tập cuối chương 5

Bài 1: Số gần đúng và sai số

Lý thuyết Tích của một số với một vectơ

1. Tích của một số với một vectơ và các tính chất

Cho số k ≠ 0 và $\overrightarrow{a}\ne \overrightarrow{0}$. Tích của số k với $\overrightarrow{a}\ne \overrightarrow{0}$ là một vectơ, kí hiệu là $k\overrightarrow{a}$.

Vectơ $k\overrightarrow{a}$ cùng hướng với $\overrightarrow{a}$ nếu k > 0, ngược hướng với $\overrightarrow{a}$ nếu k < 0 và có độ dài bằng $\left|k\right|.\left|\overrightarrow{a}\right|$.

Ta quy ước $0\overrightarrow{a}=\overrightarrow{0}$ và $k\overrightarrow{0}=\overrightarrow{0}$.

Người ta còn gọi tích của một số với một vectơ là tích của một vectơ với một số.

Ví dụ: Cho tam giác ABC có D, E, F lần lượt là trung điểm các cạnh AB, BC, CA. Tìm các vectơ bằng: $2\overrightarrow{DE};-\frac{1}{2}\overrightarrow{CA};-2\overrightarrow{EC}$.

Hướng dẫn giải

+ Vectơ bằng $2\overrightarrow{DE}$:

Tam giác ABC có D, E lần lượt là trung điểm của AB, BC.

Do đó DE là đường trung bình của tam giác ABC.

Suy ra DE // AC và 2DE = AC.

Vì k = 2 > 0 nên vectơ cần tìm cùng hướng với $\overrightarrow{DE}$ và có độ dài bằng 2DE.

Ta có $\overrightarrow{DE}$ cùng hướng với $\overrightarrow{AC}$ và 2DE = AC.

Do đó $2\overrightarrow{DE}=\overrightarrow{AC}$.

+ Vectơ bằng $-\frac{1}{2}\overrightarrow{CA}$:

Ta có F là trung điểm CA.

Do đó FA = CF = $\frac{1}{2}CA$.

Vì k = $-\frac{1}{2}$ < 0, nên vectơ cần tìm ngược hướng với $\overrightarrow{CA}$ và có độ dài bằng $\frac{1}{2}CA$.

Ta có $\overrightarrow{AF},\overrightarrow{FC}$ ngược hướng với $\overrightarrow{CA}$ và AF = FC = $\frac{1}{2}CA$.

Do đó $\overrightarrow{AF}=\overrightarrow{FC}=-\frac{1}{2}\overrightarrow{CA}$.

+ Vectơ bằng $-2\overrightarrow{EC}$:

Ta có E là trung điểm BC.

Do đó CB = 2EC.

Vì k = –2 < 0, nên vectơ cần tìm ngược hướng với $\overrightarrow{EC}$ và có độ dài bằng 2EC.

Ta có $\overrightarrow{CB}$ ngược hướng với $\overrightarrow{EC}$ và CB = 2EC.

Do đó $\overrightarrow{CB}=-2\overrightarrow{EC}$.

Tính chất:

 Với hai vectơ $\overrightarrow{a}$ và $\overrightarrow{b}$ bất kì, với mọi số thực h và k, ta có:

+) $k\left(\overrightarrow{a}+\overrightarrow{b}\right)=k\overrightarrow{a}+k\overrightarrow{b}$;

+) $\left(h+k\right)\overrightarrow{a}=h\overrightarrow{a}+k\overrightarrow{a}$;

+) $h\left(k\overrightarrow{a}\right)=\left(hk\right)\overrightarrow{a}$;

+) $1.\overrightarrow{a}=\overrightarrow{a}$;

+) $\left(-1\right).\overrightarrow{a}=-\overrightarrow{a}$.

Ví dụ: Ta có:

a) $6\left(\overrightarrow{x}+\overrightarrow{y}\right)=6\overrightarrow{x}+6\overrightarrow{y}$;

b) $\left(3+x\right)\overrightarrow{u}=3\overrightarrow{u}+x\overrightarrow{u}$;

c) $6.\left(-5\overrightarrow{i}\right)=\left[6.\left(-5\right)\right]\overrightarrow{i}=-30\overrightarrow{i}$;

d)  $2\overrightarrow{c}-7\overrightarrow{c}=\left(2-7\right)\overrightarrow{c}=-5\overrightarrow{c}$.

Ví dụ: Cho tam giác ABC. Chứng minh G là trọng tâm của tam giác ABC khi và chỉ khi $\overrightarrow{MA}+\overrightarrow{MB}+\overrightarrow{MC}=3\overrightarrow{MG}$.

Hướng dẫn giải

Ta có $\overrightarrow{MA}+\overrightarrow{MB}+\overrightarrow{MC}=3\overrightarrow{MG}$

$\iff \overrightarrow{MG}+\overrightarrow{GA}+\overrightarrow{MG}+\overrightarrow{GB}+\overrightarrow{MG}+\overrightarrow{GC}=3\overrightarrow{MG}$       (quy tắc ba điểm)

$\iff 3\overrightarrow{MG}+\overrightarrow{GA}+\overrightarrow{GB}+\overrightarrow{GC}=3\overrightarrow{MG}$

$\iff \overrightarrow{GA}+\overrightarrow{GB}+\overrightarrow{GC}=\overrightarrow{0}$ 

⇔ G là trọng tâm của tam giác ABC (đpcm).

2. Điều kiện để hai vectơ cùng phương

Hai vectơ $\overrightarrow{a}$ và $\overrightarrow{b}$ ($\overrightarrow{b}\ne \overrightarrow{0}$) cùng phương khi và chỉ khi có số k sao cho $\overrightarrow{a}=k\overrightarrow{b}$.

Nhận xét: Ba điểm phân biệt A, B, C thẳng hàng khi và chỉ khi có số k ≠ 0 để $\overrightarrow{AB}=k\overrightarrow{AC}$.

Chú ý: Cho hai vectơ $\overrightarrow{a}$ và $\overrightarrow{b}$ không cùng phương. Với mỗi $\overrightarrow{c}$ luôn tồn tại duy nhất cặp số thực (m; n) sao cho $\overrightarrow{c}=m\overrightarrow{a}+n\overrightarrow{b}$.

Ví dụ: Cho tam giác ABC. Lấy các điểm M, N, P sao cho $\overrightarrow{MB}=3\overrightarrow{MC}$, $\overrightarrow{NA}+3\overrightarrow{NC}=\overrightarrow{0}$, $\overrightarrow{PA}+\overrightarrow{PB}=\overrightarrow{0}$.

a) Biểu diễn $\overrightarrow{MP}$ theo $\overrightarrow{AB},\overrightarrow{AC}$.

b) Biểu diễn $\overrightarrow{MN}$ theo $\overrightarrow{AB},\overrightarrow{AC}$.

c) Chứng minh rằng: 3 điểm M, N, P thẳng hàng.

Hướng dẫn giải

a) Ta có $\overrightarrow{MB}=3\overrightarrow{MC}\Rightarrow \left|\overrightarrow{MB}\right|=\left|3\right|.\left|\overrightarrow{MC}\right|\Rightarrow MB=3MC$.

Mà $\overrightarrow{MB},\overrightarrow{MC}$ cùng hướng (do k = 3 > 0)

Do đó ba điểm B, C, M thẳng hàng và C nằm giữa B, M sao cho MB = 3MC.

Ta có $\overrightarrow{PA}+\overrightarrow{PB}=\overrightarrow{0}$ nên P là trung điểm AB.

Do đó AP = $\frac{1}{2}$AB.

Mà $\overrightarrow{AP},\overrightarrow{AB}$ cùng hướng.

Suy ra $\overrightarrow{AP}=\frac{1}{2}\overrightarrow{AB}$.

Ta có: $\overrightarrow{MB}=\overrightarrow{MC}+\overrightarrow{CB}\iff \overrightarrow{MB}=\frac{1}{3}\overrightarrow{MB}+\overrightarrow{CA}+\overrightarrow{AB}$

$\iff \frac{2}{3}\overrightarrow{MB}=-\overrightarrow{AC}+\overrightarrow{AB}\iff \overrightarrow{MB}=\frac{3}{2}\overrightarrow{AB}-\frac{3}{2}\overrightarrow{AC}$

Ta có

$\overrightarrow{AM}=\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{BM}=\overrightarrow{AB}-\overrightarrow{MB}=\overrightarrow{AB}-\frac{3}{2}\overrightarrow{AB}+\frac{3}{2}\overrightarrow{AC}=-\frac{1}{2}\overrightarrow{AB}+\frac{3}{2}\overrightarrow{AC}$.

Ta có $\overrightarrow{MP}=\overrightarrow{AP}-\overrightarrow{AM}=\frac{1}{2}\overrightarrow{AB}+\frac{1}{2}\overrightarrow{AB}-\frac{3}{2}\overrightarrow{AC}=\overrightarrow{AB}-\frac{3}{2}\overrightarrow{AC}$   

Vậy $\overrightarrow{MP}=\overrightarrow{AB}-\frac{3}{2}\overrightarrow{AC}$ (1)

b) Ta có $\overrightarrow{NA}+3\overrightarrow{NC}=\overrightarrow{0}\iff \overrightarrow{NA}=-3\overrightarrow{NC}$.

Do đó $\left|\overrightarrow{NA}\right|=\left|-3\right|.\left|\overrightarrow{NC}\right|$ hay NA = 3NC.

Khi đó ta có AN = $\frac{3}{4}$AC.

Mà $\overrightarrow{NA},\overrightarrow{NC}$ ngược hướng (do k = ‒3 < 0).

Do đó ba điểm A, N, C thẳng hàng và N nằm giữa hai điểm A và C sao cho $AN=\frac{3}{4}AC.$ 

Suy ra $\overrightarrow{AN}=\frac{3}{4}\overrightarrow{AC}$.

Ta có $\overrightarrow{MN}=\overrightarrow{AN}-\overrightarrow{AM}=\frac{3}{4}\overrightarrow{AC}+\frac{1}{2}\overrightarrow{AB}-\frac{3}{2}\overrightarrow{AC}=\frac{1}{2}\overrightarrow{AB}-\frac{3}{4}\overrightarrow{AC}$ 

Vậy $\overrightarrow{MN}=\frac{1}{2}\overrightarrow{AB}-\frac{3}{4}\overrightarrow{AC}.$ (2)

c) Từ (1), ta suy ra $2\overrightarrow{MP}=2\overrightarrow{AB}-3\overrightarrow{AC}$.

Từ (2), ta suy ra $4\overrightarrow{MN}=2\overrightarrow{AB}-3\overrightarrow{AC}$.

Do đó ta có $2\overrightarrow{MP}=4\overrightarrow{MN}$ hay $\overrightarrow{MP}=2\overrightarrow{MN}$.

Vậy ba điểm M, N, P thẳng hàng.